第二章 点、直线、平面之间的位置关系（立体几何计算问题）单元测试AB卷(非向量法）解析版

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A卷
1．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，E为线段AD的中点，且．．．

（1）证明：平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
【解析】
（1）由面面垂直的性质得平面ABCD，故，结合可得平面PBE，由面面垂直的判定定理可得到证明；（2）根据四边形BCDE是平行四边形可证明，利用勾股定理计算各线段长度，代入棱锥的体积公式计算即可．
【详解】
（1）证明：∵，E是AD的中点，∴，
又∵平面平面ABCD，平面平面，
∴平面ABCD，又平面ABCD，
∴，又，，
∴平面PBE，又平面PAC，
∴平面平面PAC．
（2）解：由（1）知平面PBE，故，
∵，
∴四边形BCDE是平行四边形，∴，
∴，
∵，，∴，
∴，即，∴．
∴．

2．如图,正方体中．
(Ⅰ)求与所成角的大小；
(Ⅱ)求二面角的正切值．

【解析】(I)连接B1C，则易证B?1C//A1D,所以就是异面与所成角,然后解三角形求此角即可.
(II)连接BD交AC于O点，则易证就是二面角的平面角，然后再直角三角形B1BO中求此角即可.
(Ⅰ)在正方体中, --------------------1
∴A1B1CD为平行四边形,∴,--------------------------- 2
所以∠ACB1或其补角即异面直线与所成角………………3
设正方形边长为
在中,AC=B1A=B1C=,………………………….5
∴∠ACB1=
所以异面直线与所成角为……………………………..6
(Ⅱ)连结BD交AC于O,连结B1O,…………………………………….7
∵O为AC中点, B1A=B1C,BA=BC
∴B1O⊥AC,BO⊥AC………………………………….9
∴∠B1OB为二面角的平面角.---------------------------10
在中, B1B=,BO=--------------------12
∴∠B1OB=
故二面角的正切值为---------------------13.
3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面⊥底面

（1）求证：⊥平面
（2）求直线与底面所成角的余弦值；
（3）设，求点到平面的距离.
【解析】
试题分析：（1）∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD, ∵平面PAD⊥底面ABCD，AB底面ABCD，底面ABCD∩平面PAD=AD，∴AB⊥平面PAD.
（2）取AD的中点F，连结AF，CF，∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，
∴PF⊥平面BCD，∴CF是PC在平面ABCD上的射影，
∴∠PCF是直线PC与底面ABCD所成的角
（3）设点D到平面PBC的距离为h，

在△PBC中，易知PB=PC=，
又
即点D到平面PBC的距离为


4．如图，在正方体中，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求异面直线和所成角的大小．
【详解】
(1)证明：如图，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1，
∵O、O1分别是AC和D1C的中点，
∴OO1∥AD1.
又OO1?平面DOC1，AD1?平面DOC1，
∴AD1∥平面DOC1.
(2)由OO1∥AD1知，AD1和DC1所成角等于OO1和DC1所成的锐角或直角．设正方体的棱长为1.
在△OO1D中，DO1＝，DO＝，OO1＝AD1＝，
∴△OO1D是等边三角形．
∴异面直线AD1与DC1所成的角为60°.
5．四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为， 求二面角的余弦值．
(I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且OBC
中点，由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，
由三垂线定理知，AD⊥CE--------------------------------4分

（II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧
面ABC。
作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，
∠CEF=45°，由CE=，得CF=
又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形作CG⊥AD，垂足为G，连GE。
由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，
故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。
CG=
GE=
cos∠CGE=
所以二面角C-AD-E的余弦值为---------------------12分

6．四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知
∠ABC = 45°AB=2，BC=，SA=SB =
（Ⅰ）证明SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小.


【解析】（I）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
因为SA=SB，所以AO=BO.
又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，
由三垂线定理，得SA⊥BC.
（II）由（I）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，
故SA⊥AD，由AD=BC=2，SA=，AO=，得
SO=1，.
△SAB的面积.
连结AB，得△DAB的面积=2.
设D到平面SAB的距离为h，由，得
，
解得.
设SD与平面SAB所成角为α，则sinα=.
所以，直线SD与平面SAB所成的角为

B卷
7．在多面体中，点是矩形的对角线的交点，三角形是等边三角形，棱且．
（Ⅰ）证明：平面；[来源:学科网]
（Ⅱ）设，，，
求与平面所成角的正弦值。

【答案】（Ⅰ）【证明】取CD中点M，连结OM．………………1分
在矩形ABCD中，，又，则，………………3分
连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形．
∴………………5分
又平面CDE，且EM平面CDE，
∴FO∥平面CDE ………………6分
（Ⅱ）连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
且，又．
因此平行四边形EFOM为菱形，………………8分
过作于
∵，
∴平面，∴[来源:学科网ZXXK]
因此平面
所以为与底面所成角………………10分
在中， 则为正三角形。
∴点到平面的距离为，………………12分
所以
即与平面所成角的正弦值为。………………14分
8．如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面互相垂直，已知BD=AF，且点M是线段EF的中点.
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求平面DEF与平面BEF所成的角.

【解析】






9．在如图所示的几何体中，，平面，，，，.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
详解：(1)在中，.
所以，所以为直角三角形，.
又因为平面，所以.
而，所以平面.
(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，
则平面平面.
二面角就是平面与平面所成二面角.
因为，所以是的中位线.
，这样是等边三角形.
取的中点为，连接，因为平面.
所以就是二面角的平面角.
在，所以.


10．如图，已知面，，；
(1)在线段上找一点Ｍ，使面。
(2)求由面与面所成角的二面角的正切值。

【解析】
试题分析：(1)根据题目条件可以猜测M为PC的中点，然后利用线线垂直证明线面垂直；（2）利用作证求三部曲，作出二面角的平面角，证明后利用解三角形知识求解即可.
（1）M为PC的中点，设PD中点为N，
则MN=CD，且MN//CD，∴MN=AB，MN//AB
∴ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，
又PA=AD，∠PAD=90°
∴AN⊥PD，
又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，∴面，
(2)延长CB交DA与E，连接PE，
∵AB＝CD。AB∥CD
∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE，又∵PE⊥CD，∴PE⊥PCD，
∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角；PD=AD，CD=2AD；
∴tan∠CPD=.
11．如图，在四棱锥中，四边形为正方形， 平面， ， 是上一点，且.

（1）求证： 平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
试题解析：
（1）连接，由平面， 平面得，
又， ，
∴平面，得，
又， ，
∴平面.
（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，易证，而，
不妨设，则， ， ，
在中，由射影定理得，
可得，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.


12．如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，，为的中点，平面，，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
【解析】(1)由题意可证得AD⊥AC.PO⊥AD，则AD⊥平面PAC.
(2)连接DO，取DO的中点N，连接MN，AN，由题意可知∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．由几何关系计算可得直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
详解： (1)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，
所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.
又PO⊥平面ABCD，AD平面ABCD，
所以PO⊥AD，而AC∩PO＝O，
所以AD⊥平面PAC.
(2)连接DO，取DO的中点N，连接MN，AN.
因为M为PD的中点，所以MN∥PO，
且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，
所以DO＝，从而AN＝DO＝.
在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.













B

A

C

D

O

E

F

M

G

A

B

C

D

E

F

M

Ａ

Ｂ

Ｄ

Ｃ

Ｐ






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