课件11张PPT。2.1.1 分数指数幂一.复习回顾填空（1） （2）； （3） （4）（5）（6）二.讲授新课 1.正数的正分数指数幂的意义：注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式； 二注意公式成立的前提条件,m,n互为质数;
根式与分数指数幂可以进行互化。 问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，
行不行？问题4：如何定义正数的负分数指数幂
和0的分数指数幂？2.负分数指数幂： 3.0的分数指数幂： 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义 说明： （1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所
举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概
念就从整数指数推广到了有理数指数；（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于
有理数幂也同样适用， ；
(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式
指数幂可以直接化成根式计算，也可利用来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。（5）同样可规定(见课本第52到53页) 三.例题讲解 例１．求值：四.课堂练习课本P54练习：1、2、3五.课时小结通过本节学习，要求大家理解分数指数幂
的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，
熟练运用有理指数幂的运算性质。六.课后作业 课本P59习题2.1A组题第2,3,4. B组 ２2. 1.1第二课时分数指数幂教案
【教学目标】
通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.
掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力
能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
【教学重难点】
教学重点：
（1）分数指数幂概念的理解.
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质.
（3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.
教学难点：
（1）分数指数幂概念的理解
（2）有理数指数幂性质的灵活应用.
【教学过程】
1、导入新课
同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂
2、新知探究
提出问题
整数指数幂的运算性质是什么？
观察以下式子，并总结出规律：
①；
②；
③；
④.
利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
， 且n>1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
规定：正数的正分数指数幂的意义是.
提出问题
负整数指数幂的意义是怎么规定的？
你能得出负分数指数幂的意义吗？
你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？
综合上述，如何规定分数指数幂的意义？
分数指数幂的意义中，为什么规定，去掉这个规定会产生什么样的后果？
既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？
活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明的必要性，教师及时作出评价.
讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：
对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：
①②③
3、应用示例
例1 求值：
点评：本题主要考察幂值运算，要按规定来解.要转化为指数运算而不是转化为根式.
例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.
变式训练
求值：（1）； （2）
4、拓展提升
已知探究下列各式的值的求法.
（1）
点评:：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值
5、课堂小结
分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是，正数的负分数指数幂的意义是零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
有理数指数幂的运算性质：
①②
③
【板书设计】
一、分数指数幂
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】课本习题2.1A组 2、4.
2.1.1-2分数指数幂
课前预习学案
预习目标
通过自己预习进一步理解分数指数幂的概念
能简单理解分数指数幂的性质及运算
预习内容
１．正整数指数幂：一个非零实数的零次幂的意义是：．
负整数指数幂的意义是：．
２．分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是：．
正数的负分数指数幂的意义是：．
０的正分数指数幂的意义是：．
０的负分数指数幂的意义是：．
３．有理指数幂的运算性质：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓＱ，那么
＝；＝；＝．
４．根式的运算，可以先把根式化成分数指数幂，然后利用
的运算性质进行运算．
提出疑惑
通过自己的预习你还有哪些疑惑请写在下面的横线上
课内探究学案
学习目标
理解分数指数幂的概念
掌握有理数指数幂的运算性质，并能初步运用性质进行化简或求值
学习重点：
（1）分数指数幂概念的理解.
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质.
（3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.
学习难点：
（1）分数指数幂概念的理解
（2）有理数指数幂性质的灵活应用.
学习过程
探究一
１．若，且为整数，则下列各式中正确的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
２．c＜0，下列不等式中正确的是
（ ）
３．若有意义，则ｘ的取值范围是（）
Ａ．ｘＲＢ．ｘ０．５Ｃ．ｘ＞０．５Ｄ．Ｘ＜０．５
4．比较a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三个数的大小关系是________．
探究二
例１：化简下列各式：（1）；
（２）
例２：求值：（１）已知（常数）求的值；
已知ｘ＋ｙ＝１２，ｘｙ＝９ｘ，且ｘ＜ｙ，求的值
例３：已知，求的值．
当堂检测
１．下列各式中正确的是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ． Ｄ．
2. 等于（ ）
A、 B、 C、 D、
３．下列互化中正确的是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
４．若,且,则的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、2
５．使有意义的ｘ的取值范围是（）
Ａ．ＲＢ．且Ｃ．－３＜Ｘ＜１Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１
课后练习与提高
１．已知ａ＞０，ｂ＞０，且，ｂ＝９ａ，则ａ等于（）
Ａ．Ｂ．９Ｃ．Ｄ．
２．且ｘ＞１，则的值（）
Ａ．２或－２Ｂ．－２Ｃ．Ｄ．２
３．．
４．已知则＝．
５．已知,求的值．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
§2.1 指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
1．如果____________________，那么x叫做a的n次方根．
2．式子叫做________，这里n叫做__________，a叫做____________．
3．(1)n∈N*时，()n＝____.
(2)n为正奇数时，＝____；n为正偶数时，＝______.
4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝__________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝_______________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂________________．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝______(a>0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝______(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．
一、选择题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( )
A．①③④ B．②③④
C．②③ D．③④
2．若2
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
3．在(－)－1、、、2－1中，最大的是( )
A．(－)－1 B．
C． D．2－1
4．化简的结果是( )
A．a B．
C．a2 D．
5．下列各式成立的是( )
A.＝ B．()2＝
C.＝ D.＝
6．下列结论中，正确的个数是( )
①当a<0时，＝a3；
②＝|a|(n>0)；
③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
A．0 B．1
C．2 D．3
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.－＋的值为________．
8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.
9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.
三、解答题
10．(1)化简：··(xy)－1(xy≠0)；
(2)计算：＋＋－·.
11．设－3能力提升
12．化简：÷(1－2)×.
13．若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
1.与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，＝a；当n为大于1的偶数时，＝|a|.
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0，由此看只要()n有意义，其值恒等于a，即()n＝a.
2．有理指数幂运算的一般思路
化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．
3．有关指数幂的几个结论
(1)a>0时，ab>0；
(2)a≠0时，a0＝1；
(3)若ar＝as，则r＝s；
(4)a±2＋b＝(±)2(a>0，b>0)；
(5)( ＋)(－)＝a－b(a>0，b>0)．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
§2.1 指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
知识梳理
1．xn＝a(n>1，且n∈N*) 2.根式 根指数 被开方数
3．(1)a (2)a |a| 4.(1) (2) (3)0 没有意义
5．(1)ar＋s (2)ars (3)arbr
作业设计
1．D [①错，∵(±2)4＝16，
∴16的4次方根是±2；
②错，＝2，而±＝±2.]
2．C [原式＝|2－a|＋|3－a|，
∵23．C [∵(－)－1＝－2, ＝，＝，2－1＝，
∵>>>－2，
∴>>2－1>(－)－1.]
4．B [原式＝＝.]
5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；()2＝，B选项错；>0，<0，C选项错．故选D.]
6．B [①中，当a<0时，
＝(－a)3＝－a3，
∴①不正确；
②中，若a＝－2，n＝3，
则＝－2≠|－2|，∴②不正确；
③中，有即x≥2且x≠，
故定义域为[2，)∪(，＋∞)，∴③不正确；
④中，∵100a＝5,10b＝2，
∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10，即102a＋b＝10.
∴2a＋b＝1.④正确．]
7.
解析 原式＝－＋
＝－＋＝.
8．9
解析 ＝(ax)2·＝32·＝9.
9．－23
解析 原式＝4－33－4＋4＝－23.
10．解 (1)原式＝·(xy)－1
＝·
＝·＝.
(2)原式＝＋＋＋1－22
＝2－3.
11．解 原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝.
12．解 原式＝×
13．解 ∵x－－2y＝0，x>0，y>0，
∴()2－－2()2＝0，
∴(＋)(－2)＝0，
由x>0，y>0得＋>0，
∴－2＝0，∴x＝4y，
∴＝＝.
课件42张PPT。2.1.1指数与指数幂
的运算复习引入问题1 据国务院发展研究中心2000年发表
的《未来20年我国发展前景分析》判断，
未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平
均增长率可望达到7.3%. 那么，在2001~
2020年，各年的GDP可望为2000年的多
少倍？复习引入提问：正整数指数幂1.073x的含义是什么？
它具有哪些运算性质？ 问题1 据国务院发展研究中心2000年发表
的《未来20年我国发展前景分析》判断，
未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平
均增长率可望达到7.3%. 那么，在2001~
2020年，各年的GDP可望为2000年的多
少倍？(1) 整数指数幂的概念：(2) 运算性质： 问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳
14会按确定的规律衰减，大约每经过5730
年衰减为原来的一半，这个时间称为“半
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内
碳14含量P与死亡年数t之间的关系问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳
14会按确定的规律衰减，大约每经过5730
年衰减为原来的一半，这个时间称为“半
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内
碳14含量P与死亡年数t之间的关系的意义是提问：什么？讲授新课(1)求：
①9的算数平方根，9的平方根；
②8的立方根，－8的立方根；
③什么叫做a的平方根？a的立方根？根式：(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根. n 叫做根指数，
a 叫做被开方数．叫做根式，例如：27的3次方根表示为－32的5次方根表示为a6的3次方根表示为例如：27的3次方根表示为－32的5次方根表示为a6的3次方根表示为例如：27的3次方根表示为－32的5次方根表示为a6的3次方根表示为例如：27的3次方根表示为－32的5次方根表示为a6的3次方根表示为例如：27的3次方根表示为－32的5次方根表示为a6的3次方根表示为16的4次方根表示为例如：27的3次方根表示为－32的5次方根表示为a6的3次方根表示为16的4次方根表示为例如：27的3次方根表示为－32的5次方根表示为a6的3次方根表示为16的4次方根表示为另一个是即16的4次方根有两个，一个是它们的绝对值相等而符号相反.(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．(3)性质记作： ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．(3)性质记作： ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．(3)性质记作： ②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)． ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．(3)性质记作： ②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．记作： ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．(3)性质记作： ②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．记作： ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．(3)性质记作： ②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．记作：③负数没有偶次方根.
①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．(3)性质记作： ②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．记作：③负数没有偶次方根.
④0的任何次方根为0． ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．注：(4)常用公式(4)常用公式① 当n为奇数时， (4)常用公式① 当n为奇数时， (4)常用公式① 当n为奇数时， 当n为偶数时， (4)常用公式① 当n为奇数时， 当n为偶数时， (4)常用公式② 当n为任意正整数时， ① 当n为奇数时， 当n为偶数时， (4)常用公式② 当n为任意正整数时， ① 当n为奇数时， 当n为偶数时， 例1 求下列各式的值：例2 求下列各式的值：例3 求出使下列各式成立的x的取值范围：例4例5课堂小结1．根式的概念；2．根式的运算性质：② 当n为任意正整数时， ① 当n为奇数时， 当n为偶数时， 1．阅读教材P.48-P.50；
2．《习案》作业十四.课后作业思考题：2.1.1 指数与指数幂的运算（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解n次方根与根式的概念；
（2）正确运用根式运算性质化简、求值；
（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.
2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（2）培养学生认识、接受新事物的能力.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质.
2．教学难点：根式概念的理解.
（三）教学方法
本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
问题
先让我们一起来看两个问题（见教材P52—53）.
在问题2中，我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.
下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.
老师提出问题，
学生思考回答.
由实际问题引入，激发学生的学习积极性.
复习
引入
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若，则叫做a的平方根.同理，若，则叫做a的立方根.
根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.
师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的定义.
学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.
形成
概念
类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.
n次方根：一般地，若，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ＊,
当n为偶数时，正数a的n次方根中，正数用表示，如果是负数，用表示.
当n为奇数时，a的n次方根用符号表示，
叫做根式.其中n称为根指数，a为被开方数.
老师点拨指导，由学生观察、归纳、概括出n次方根的概念.
由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力.
深化
概念
类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
零的n次方根为零，记为
举例：16的次方根为，
等等，而的4次方根不存在.
小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.
根据n次方根的意义，可得：
肯定成立，表示an的n次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？
让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.
通过探究得到：n为奇数，
n为偶数,
如
小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误.
让学生对n为奇偶数进行充分讨论.通过探究得到：
n为奇数，；
n为偶数,
.
举出实例，加深理解.
通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握n次方根概念，培养学生掌握知识的准确性、全面性，同时培养学生的分类讨论的能力
应用
举例
例题：求下列各式的值
思考：是否成立，举例说明.
课堂练习：1. 求出下列各式的值
；
；
.
2．若
.
3．计算
学生思考，口答，教师版演、点评.
例题分析：当n为偶数时，应先写，然后再去绝对值.
解：= —8；
=|—10|=10；
= ；
=
课堂练习
1.解：（1）—7；
（2）；
（3）
=.
2.解：.
3.解：原式=—8+1+
=.
通过例题的解答，进一步理解根式的概念、性质.
归纳
总结
1．根式的概念：若n＞1且，则.
为偶数时，；
2．掌握两个公式：
先让学生独自回忆，然后师生共同总结.
通过小结使学生加强对知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯.
课后
作业
作业：2.1 第一课时 习案
学生独立完成
巩固新知
提升能力
备选例题
例1 计算下列各式的值.
（1）；
（2） （，且）
（3）（，且）
【解析】（1）.
（2）当为奇数时，=；
当为偶数时，=.
（3）=，
当时，=；
当时，=.
【小结】（1）当n为奇数时，；
当n为偶数时，
（2）不注意n的奇偶性对式子值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.
例2 求值：
【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
【解析】
【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.
2、1、1指数与指数幂的运算 同步练习
一、选择题
1、 已知，则的关系是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、三个数，则的关系是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、三个数的大小顺序是 （ ）
A、 B、
B、 D、
4、若，且为整数，则下列各式中正确的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、设，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、当时，的大小关系是 （ ）
A、 B、
C、 D、
7、化简［3］的结果为 （ ）
A、5 B、 C、－ D、－5
8、下列各式正确的是
A、 B、
C、 D、
二、填空题
9、=_________________
10、化成分数指数幂为 。
11、=_________________
12、已知（a为常数），则的值是________________。
三、解答题
13、用分数指数幂的形式表示下列各式：
14、已知求的值、
15、已知，求的值。
答案：
选择题
D；2、C；3、D；4、5、D；6、B； 7、B；8、D
填空题
9、
10、
11、
12、1
解答题
13、解：
14、解：由可得x＋x－1=7
∵
∴=27
∴ =18，
故原式=2
15、解：因为
所以=。
