课件15张PPT。§2.1.1 指数
-----根式的运算一.复习回顾3．注意
① 可看作
② 可看作； (P48)在问题2中,我们已经知道的意义是什么呢?二.引入问题:平方根和立方根是如何定义的? th root）,其中三.新课例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次
方根，-32的5次方根，a6的3次方根。
（要求完整地叙述求解过程）例2．根据n次方根的概念，分别求出
16的4次方根，-81的4次方根。例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3
次方根，0的4次方根。2.正数a的n次方根的性质：其中 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 3.根式运算性质： 问题1：若对一个数先开方，再乘方（同次），
结果是什么？问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），
结果又是什么？课堂练习一：
求下列各式的值:(1) (2) (3) (4)备选练习:化简下列各式:通过本节学习，大家要能在理解根式概念
的基础上，正确运用根式的运算性质解题。课堂小结书面作业：
a.求下列各式的值 b.书P59习题2.1 A组题第1题。
第一课时根式教案
【教学目标】
1、通过与初中所学的知识进行类比，理解根式的意义，掌握根式的性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。
2、掌握根式的化简，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
【教学重难点】
教学重点：
（1）根式概念的理解。
（2）根式的化简
教学难点：
（1）根式的化简
【教学过程】
一、导入新课
同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：根式
二、新知探究
1、提出问题
（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
（2）如根据上面的结论我们又能得到什么呢？
（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？
（4）可否用一个式子表达呢？
活动：教师指示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比比方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题（2）的结论进行引申、推广、相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。
讨论结果：
（1）若，则叫做的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，
如：4的平方根为，负数没有平方根，同理，若，则叫做的立方根，一个数的立方根只有一个。
（2）类比平方根、立方根的定义，得到相应的结果。
（3）类比（2）得到一个数的次方等于，则这个数叫的次方根。
（4）用一个式子表达是，若，则叫做的次方根。
教师板书次方根的意义：一般地，如果，则叫做的次方根，其中。
2、提出问题
（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？教师板书于黑板
①4的平方根；②8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦的立方根。
（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，8，16，-32，32，0，分别对应什么性质的数，有什么特点？
（3）问题（2）中，既然方根有奇次的也有偶次的，数有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？
（4）任何一个数的偶次方根是否存在呢？
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题（2）中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。
讨论结果：（1）因为2的平方等于4，2的立方等于8，2的4次方等于16，2的5次方等于32，-2的5次方等于-32，0的7次方等于0，的立方等于，所以4的平方根，8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，的立方根分别是2，2，2，2，-2，0，。
（2）方根的指数是2，3，4，5，7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。
（3）一个数的奇次方根只有一个，一个正数的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0。
（4）任何一个数的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。
类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：
①当n为偶数时，的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用表示，如果是负数，负的n次方根用-表示，正的n次方根与负的n次方根合并写在（>0）。
②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时的n次方根和符号表示。
③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.
活动：让学生举例说明上述几种情况，教师巡视，及时纠正学生在举例过程中的问题.
思考表示的n次方根，等式= 一定成立吗？如果不成立，那么等于什么？
活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和的符号，充分让学生多举例，分组讨论，教师点拨，注意归纳整理.
结论：①n为奇数，= ,②当n为偶数
3、应用示例
例1、求下列各式的值
（1） ； ；
解：（1）； ；
点评：不注意n的奇偶对式子的值影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础之上，记准，记熟，会用.
变式训练：
例2、求下列各式的值
拓展提升
问题：与哪个是恒等式，为什么？请举例说明.
活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义.
通过归纳，得出问题结果，对是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，再对是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论.
4、课堂小结
①如果，如果，则叫做的次方根，其中。用式子表示，式子叫根式，其中叫被开方数，n叫根指数.
说明：
当n为偶数时，的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用表示，如果是负数，负的n次方根用表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成(>0)
n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时的n次方根用符号表示.
负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.
②掌握两个公式：n为奇数时，，n为偶数时，
【板书设计】
一、活动一
二、活动二
三、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】 课本习题2.1A组 1
第一课时 根式学案
课前预习学案
一．预习目标
1.通过填写下面知识空白更好理解根式的概念
2.准确把握根式的性质
二．预习内容
1．ｎ次方根的定义：如果＝ａ，那么ｘ叫做 ．（其中ｎ＞１且）
2．根式：形如 式子叫根式．这里ｎ叫做 ， 叫做被开
数
3．根式的性质：（１）＝ ；（２） ＝ ；（３）当ｎ是奇数时＝ ；当是偶数时＝ ．
三．提出疑惑
通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面的横线上
课内探究学案
学习目标：1.理解n次根式.根式，根指数，被开方数等概念。
2.理解并记住方根的性质，并能熟练应用于相关计算中
学习重点：
（1）根式概念的理解。
（2）根式的化简
学习难点：
（1）根式的化简
二．课内探究
例１：化简下列根式：
（１）；（２）
（３）
例２：计算：（１），（２）
（３）
例３：求使等式＝成立的实数的取值范围．
三．当堂检测
１．以下说法正确的是（ ）
Ａ．正数的ｎ次方根是正数 Ｂ．负数的ｎ次方根是负数
Ｃ．０的ｎ次方根是０ Ｄ．ａ的ｎ次方根是
２．有意义，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． 且
Ｃ． Ｄ．
３．若
４．若＝－，则 ．
５．若，则ｎ的取值范围是 ．
课后练习与提高
1、当１＜ｘ＜３时，化简的结果是（ ）
Ａ．４－２Ｘ Ｂ．２ Ｃ．２Ｘ－４ Ｄ．４
2、已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、若有意义，则ｘ的取值范围是（ ）
Ａ．ｘ２ Ｂ．ｘ－２ Ｃ．ｘ－２或ｘ２ Ｄ．ｘＲ
4．某企业生产总值的月平均增长率为，则年平均增长率为 。
5．若＝３ａ－１，则ａ的取值范围是 ．
6．若ｘ＜２，则的值是 ．
7．化简 （１） ＋（２）
课件26张PPT。2.1.1指数与指数幂
的运算复 习 引 入1. 整数指数幂的运算性质：1. 整数指数幂的运算性质：复 习 引 入复 习 引 入2. 根式的运算性质：复 习 引 入2. 根式的运算性质：① 当n为奇数时， 复 习 引 入2. 根式的运算性质：① 当n为奇数时， 复 习 引 入2. 根式的运算性质：① 当n为奇数时， 当n为偶数时， 复 习 引 入2. 根式的运算性质：① 当n为奇数时， 当n为偶数时， 复 习 引 入2. 根式的运算性质：② 当n为任意正整数时， ① 当n为奇数时， 当n为偶数时， 复 习 引 入2. 根式的运算性质：② 当n为任意正整数时， ① 当n为奇数时， 当n为偶数时， 复 习 引 入3. 引例：当a＞0时， ①②③④是否可以呢？ 讲 授 新 课1. 正数的正分数指数幂的意义：(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)． 讲 授 新 课1. 正数的正分数指数幂的意义：(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)． 注意两点:
(1)分数指数幂是根式的另一种表示形式；
(2)根式与分数指数幂可以进行互化.2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数
幂的规定：2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数
幂的规定：(1)(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)． 2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数
幂的规定：(1)(2) 0的正分数指数幂等于0；(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)． 2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数
幂的规定：(1)(2) 0的正分数指数幂等于0；(3) 0的负分数指数幂无意义．(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)． 3. 有理数指数幂的运算性质: 例1 求值：4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式
(其中a＞0)：4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式
(其中a＞0)：练习：教材P.54练习第2题．4. 例题与练习: 例3 计算下列各式(式中字母都是正数)4. 例题与练习: 例3 计算下列各式(式中字母都是正数)练习：教材P.54练习第3题．4. 例题与练习: 例44. 例题与练习: 课 堂 小 结1. 分数指数幂的意义；
2. 分数指数幂与根式的互化；
3. 有理数指数幂的运算性质．1．阅读教材P.50-P.52；
2．《习案》作业十六.课 后 作 业2.1.1 指数与指数幂的运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解分数指数幂的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质；
（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.
2．过程与方法
通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；
2．教学难点：分数指数幂概念的理解
（三）教学方法
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
问题
回顾初中时的整数指数幂及运算性质.
,
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
老师提问，
学生回答.
学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.
复习
引入
观察以下式子，并总结出规律：＞0
①
②
③
④
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：
即：
老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.
数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.
形成
概念
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．
让学生经历从“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．
深化
概念
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）
（2）
（3）
若＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58.
即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.
所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)
所以，是一个确定的实数.
一般来说，无理数指数幂
是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考：的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
让学生讨论、研究，教师引导．
通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
应用
举例
例题
例1（P56，例2）求值
；；；.
例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）
；；.
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
解：；
；
.
课堂练习：P59练习 第 1，2，3，4题
补充练习：
1. 计算：的结果；
2. 若
.
学生思考，口答，教师板演、点评．
例1解：
①
；
②
；
③
；
④
.
例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
解：
；
；
.
练习答案：
1.解：原式=
==512；
2.解：原式=
=.
通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．
归纳
总结
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.
先让学生独自回忆，然后师生共同总结．
巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．
课后
作业
作业：2.1 第二课时 习案
学生独立完成
巩固新知
提升能力
备选例题
例1计算
（1）
（1）；
【解析】
（1）原式
（2）原式=
=
=.
【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负
指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.
例2 化简下列各式：
（1）；
（2）.
【解析】
（1）原式=
=
=
=
=；
（2）原式=
.
【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如
.
（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.
2、1、1指数与指数幂的运算 同步练习
一、选择题
1、 已知，则的关系是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、三个数，则的关系是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、三个数的大小顺序是 （ ）
A、 B、
B、 D、
4、若，且为整数，则下列各式中正确的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、设，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、当时，的大小关系是 （ ）
A、 B、
C、 D、
7、化简［3］的结果为 （ ）
A、5 B、 C、－ D、－5
8、下列各式正确的是
A、 B、
C、 D、
二、填空题
9、=_________________
10、化成分数指数幂为 。
11、=_________________
12、已知（a为常数），则的值是________________。
三、解答题
13、用分数指数幂的形式表示下列各式：
14、已知求的值、
15、已知，求的值。
答案：
选择题
D；2、C；3、D；4、5、D；6、B； 7、B；8、D
填空题
9、
10、
11、
12、1
解答题
13、解：
14、解：由可得x＋x－1=7
∵
∴=27
∴ =18，
故原式=2
15、解：因为
所以=。
