课件9张PPT。2.1.2指数函数及其性质（第三课时）例1。用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y= 的图象的关系， ⑴y= 与y= . ⑵y= 与y= .例2． ⑴已知函数 作出函数 图像，求定义域、值域 并探讨 与 图像的关系⑵已知函数 作出函数 图像，求定义域、值域，并探讨 与 图像的关系例3．探讨函数 和 的图象的关系，并证明它们图象关于y轴对称 例4．求函数 的单调区间 例5．已知 求 z 的取值范围。例6．已知函数f(x)=3x，且f(a+2)=18,
g(x)=3ax-4x的定义域为区间[-1,1]
(1)求g(x)的解析式;
(2)判断g(x)的单调性;
(3)若方程g(x)=m有解,求m的取值范围. 课后作业：P82复习题，B组3，4补充： 1．作下列函数图象：1? 2? 3? 4? 2．已知函数的图象过点(0,2)、(?2,11)，求f(x) 2. 1.2指数函数的性质的应用
【教学目标】
（1）能熟练说出指数函数的性质。
（2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。
（3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。
【教学重难点】
教学重点：指数函数的性质的应用。
教学难点：指数函数的性质的应用。
【教学过程】
㈠情景导入、展示目标
1.指数函数的定义，特点是什么？
2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0
㈡检查预习、交流展示
１．函数的定义域是，值域．
２．函数．
当ａ＞１时，若ｘ＞０时，ｙ１，
若ｘ＜０时，ｙ１；若ｘ＝１时，ｙ１；
当０＜ａ＜１时，若ｘ＞０时，ｙ１，
若ｘ＜０时，ｙ１；若ｘ＝１时，ｙ１．
３．函数是函数（就奇偶性填）．
㈢合作探究、精讲精练
探究点一：平移指数函数的图像
例１：画出函数的图像，并根据图像指出它的单调区间．
解析：由函数的解析式可得：
＝
其图像分成两部分，一部分是将（ｘ＜－１）的图像作出，而它的图像可以看作的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将的图像作出，而它的图像可以看作将的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的．
解：图像由老师们自己画出
单调递减区间［－，－１］，单调递增区间［－１，＋］．
点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。
变式训练一：已知函数
(1)作出其图像；
(2)由图像指出其单调区间；
解：（１）的图像如下图：
(2)函数的增区间是(－∞，－2]，减区间是[－2，＋∞)．
探究点二：复合函数的性质
例2：已知函数
（１）求ｆ（ｘ）的定义域；
（２）讨论ｆ（ｘ）的奇偶性；
解析：求定义域注意分母的范围，判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。
解：（１）要使函数有意义，须－１，即ｘ１，所以，定义域为（－，０）（０，＋）．
（２）
则ｆ（－ｘ）＝=
所以，ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是偶函数．
点评：此问题难度不是太大，但是很多同学不敢尝试去化简，只要按照常规的方式去推理，此函数的奇偶性很容易判断出来。
变式训练二：已知函数,试判断函数的奇偶性；
简析：∵定义域为,且是奇函数；
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
【板书设计】
一、指数函数性质
1. 图像
2. 性质
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
指数函数的性质的应用
课前预习学案
预习目标
能熟练说出指数函数的定义及其性质．
预习内容
１．函数的定义域是，值域．
２．函数．
当ａ＞１时，若ｘ＞０时，ｙ１，
若ｘ＜０时，ｙ１；若ｘ＝１时，ｙ１；
当０＜ａ＜１时，若ｘ＞０时，ｙ１，
若ｘ＜０时，ｙ１；若ｘ＝１时，ｙ１．
３．函数是函数（就奇偶性填）．
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
（1）能熟练说出指数函数的性质。
（2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。
（3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。
教学重点：指数函数的性质的应用。
教学难点：指数函数的性质的应用。
二、教学过程
探究点一：平移指数函数的图像
例１：画出函数的图像，并根据图像指出它
的单调区间．
解：
变式训练一：已知函数
(1)作出其图像；
(2)由图像指出其单调区间；
解：
探究点二：复合函数的性质
例2：已知函数
（１）求ｆ（ｘ）的定义域；
（２）讨论ｆ（ｘ）的奇偶性；
解：
变式训练二：已知函数,试判断函数的奇偶性；
反思总结
四．当堂检测
１．函数y＝a|x|(0＜a＜1)的图像是（）
２．函数，，若恒有，那么底数ａ的取值范围是（）
A．a＞1 B．0＜a＜1 C．0＜a＜1或a＞1D．无法确定
3．函数y＝2-x的图像可以看成是由函数y＝2-x+1＋3的图像平移后得到的，平移过程是 [ ]
A．向左平移1个单位，向上平移3个单位
B．向左平移1个单位，向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，向上平移3个单位
D．向右平移1个单位，向下平移3个单位
4．函数y=ax+2－3(a＞0且a≠1)必过定点________．
参考答案: １．Ｃ２．Ｂ３．A４．（－２，－２）
课后练习与提高
１．函数是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
２．函数的单调递减区间是（）
Ａ．（－∞，＋∞）Ｂ．（－∞，０）
Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（－∞，０）和（０，＋∞）
3.函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列
结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）满足对任意，
有ｆ（＋）＝ｆ（）ｆ（），且ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＜１，那么函数ｆ（ｘ）在定义域上的单调性为．
5．函数y=4x与函数y=4-x的图像关于________对称．
6.已知函数，若为奇函数，求a的值。
课件36张PPT。2.1.2指数函数
及其性质复 习 引 入指数函数的图象和性质：复 习 引 入指数函数的图象和性质：复 习 引 入指数函数的图象和性质：复 习 引 入指数函数的图象和性质：复 习 引 入指数函数的图象和性质：复 习 引 入指数函数的图象和性质：复 习 引 入指数函数的图象和性质：复 习 引 入指数函数的图象和性质： y＝1复 习 引 入指数函数的图象和性质： y＝1 y＝1复 习 引 入指数函数的图象和性质： y＝1 y＝1(0,1)(0,1)复 习 引 入指数函数的图象和性质： y＝1 y＝1(0,1)(0,1)复 习 引 入指数函数的图象和性质： y＝1 y＝1(0,1)(0,1)1.解不等式：练习复 习 引 入2.练习复 习 引 入复 习 引 入3. 函数y＝a x－1＋4恒过定点 .A．(1，5) B．(1，4)
C．(0，4) D．(4，0)练习4. 下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数
是 ( )复 习 引 入练习讲 授 新 课1.说明下列函数图象与指数函数y＝2x的
图象关系，并画出它们的图象: 一、指数函数图象的变换作出图象，显示出函数数据表987654321-4-224Oxy 987654321-4-224Oxy 987654321-4-224Oxy 作出图象，显示出函数数据表987654321-4-224Oxy 987654321-4-224Oxy 987654321-4-224Oxy 987654321-4-224Oxy 987654321-4-224Oxy 987654321-4-224Oxy 小 结：向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象;
向右平移a个单位得到f(x－a)的图象;
向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象;
向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.f(x)的图象小 结：例 某种放射性物质不断变化为其他物
质，每经过1年剩留的这种物质是原来
的84%. 画出这种物质的剩留量随时间
变化的图象，并从图象上求出经过多少
年，剩留量是原来的一半 (结果保留一
个有效数字)．二、实际问题课 堂 小 结1. 指数复合函数的单调性；
2. 指数函数图象的变换．1．阅读教材P.54-P.58；
2．《习案》作业十九.课 后 作 业2.1.2 指数函数及其性质（三）
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
（2）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法，以及单调性、奇偶性判断；
（3）培养学生数学应用意识
2．过程与方法：
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；
（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.
3．情感、态度与价值观
（1） 认识从特殊到一般的研究方法.
（2） 了解数学在生产实际中的应用.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数形式的函数图象、性质的应用.
2．教学难点：判断单调性.
（三）教学方法
启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步判断.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
引入
回顾
1.指数函数的定义、图象、性质.
2.函数的单调性、奇偶性的定义，及其判定方法.
3. 复合函数单调性的判定方法.
老师提问
学生回答
复合函数y=f［g（x）］是由函数u=g（x）和y=f（u）构成的，函数u=g（x）的值域应是函数y=f（u）的定义域的子集.在复合函数y=f［g（x）］中，x是自变量，u是中间变量.当u=g（x）和y=f（u）在给定区间上增减性相同时，复合函数
y=f［g（x）］是增函数；增减性相反时，y=f［g（x）］是减函数.
为学习新课作好了知识上的准备.
应用
举例
例1 当a＞1时，判断函数y=是奇函数.
例2 求函数y=（）的单调区间，并证明之.
课堂练习
1. 求函数y=3的单调区间和值域.
2. 设a是实数，
试证明对于任意a,为增函数；
例1
师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性？
（生口答，师生共同归纳总结）
方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：
（1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.
（3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f（－x）和f（x）之间的关系.
若f（－x）=f（x），则函数f（x）是定义域上的偶函数；若f（－x）=－f（x），则函数f（x）是定义域上的奇函数；若f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），则函数f（x）在定义域上既是奇函数又是偶函数.
师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.
（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题）
证明：由ax－1≠0，得x≠0，
故函数定义域为{x|x≠0}，易判断其定义域关于原点对称.
又f（－x）
===
=－f（x），
∴f（－x）=－f（x）.
∴函数y=是奇函数.
例2
师：证明函数单调性的方法是什么?
（生口答，师生共同归纳总结）
方法引导：（1）在区间D上任取x1＜x2.（2）作差判断f（x1）与f（x2）的大小：化成因式的乘积，从x1＜x2出发去判断.（3）下结论：如果f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数；如果f（x1）＞f（x2），则函数f（x）在区间D上是减函数.
解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，
则==（）=（）.
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即＞1.
∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.
当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即＜1.
∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.
综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.
合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.
解法二、（用复合函数的单调性）：
设：
则：
对任意的，有，
又∵是减函数
∴ ∴在
是减函数
对任意的，有，
又∵是减函数
∴ ∴在
是增函数
小结：在讨论比较复杂的函数的单调性时，首先根据函数关系确定函数的定义域，进而分析研究函数解析式的结构特征，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数（）和外层函数（）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.
课堂练习答案
1.解：由题意可知，函数y=3的定义域为实数R.
设u=－x2+2x+3（x∈R），
则f（u）=3u，
故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成.
∵f（u）=3u在R上是增函数，
而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.
∴y=f（x）在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.
又知u≤4，此时x=1，
∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3＞0，
∴函数y=f（x）的值域为（0，81］.
2.分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法
（1）证明：设∈R,且
则
由于指数函数 y=在R上是增函数,且,
所以即<0，
又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数
小结：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性
掌握指数形式函数奇偶性的判断.
掌握指数形式函数单调性的判断.
归纳
总结
1.复合函数单调性的讨论步骤和方法；
2.复合函数奇偶性的讨论步骤和方法.
学生先自回顾反思，教师点评完善．
形成知识体系.
课后
作业
作业：2.1 第六课时 习案
学生独立完成
巩固新知
提升能力
备选例题
例1已知且，讨论的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，
指数，当≥时是减函数，≤时是增函数，
而的单调性又与和两种范围有关，应分类讨论.
【解析】设
，
则当≥时，是减函数，
当≤时，是增函数，
又当时，是增函数，
当时，是减函数，
所以当时，原函数在上是减函数，在上是增函数.
当时，原函数在上是增函数，在上是减函数.
【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.
例2已知函数 求函数的定义域、值域
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理.
定义域为 R
由得
∵x(R, ∴△0, 即 , ∴, 又∵，∴
∴值域为.
§2.1 习题课
课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．
1．下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
A．0 B．1
C．2 D．3
2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
3．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．无最大值
4．将化成指数式为________．
5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝()－0.5，则a，b，c的大小顺序为______________．
6．已知＋＝3，求x＋的值．
一、选择题
1．的值为( )
A. B．－
C. D．－
2．化简＋的结果是( )
A．3b－2a B．2a－3b
C．b或2a－3b D．b
3．若0A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x
C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x
4．若函数则f(－3)的值为( )
A. B.
C．2 D．8
5．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b>0
B．a>1，b<0
C．00
D．06．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．计算：－(－)0＋160.75＋＝___________________________________.
8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.
9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．
三、解答题
10．比较下列各组中两个数的大小：
(1)0.63.5和0.63.7；(2)()－1.2和()－1.4；
(3) 和；(4)π－2和()－1.3.
11．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
能力提升
12．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．
13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？
1．(1)根式的运算中，有开方和乘方并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a≥0时，＝()m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定．
(2)分数指数幂不能对指数随意约分．
(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．
2．指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y＝ax＋k(a>0且a≠
1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y＝a－x(a>0且a≠1)，因为它可以化为y＝()x，其中>0，且≠1.
3．学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响，对于a>1与0§2.1 习题课
双基演练
1．B [只有③中y＝3x是指数函数．]
2．A [因f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即1＋b＝0，b＝－1.
所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.]
3．A [当x≤0时，f(x)＝2x；
当x>0时，f(x)＝－x＋1.显然，其最大值是1.]
4．2
解析
5．b解析 a＝20.4，b＝20.3，c＝20.5.
又指数函数y＝2x在R上是增函数，
∴b则x＋x－1＝7，即x＋＝7.
作业设计
1．C [原式＝＝＝.]
2．C [原式＝(a－b)＋|a－2b|＝]
3．D [当01，()x<1，
对于()x，(0.2)x，不妨令x＝，
则有>.]
4．A [f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.]
5．D [f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象左右平移|b|个单位得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以06．D [f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．]
7.
＝0.4－1－1＋23＋0.1＝－1＋8＋＝.
8.
9．[－8，]
解析 因为y＝3x是R上的单调增函数，所以当x∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈
[－9，－]，所以y＝1－3x∈[－8，]．
10．解 (1)考查函数y＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.
(2)考查函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以()－1.2>()－1.4.
(3)考查函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为<，所以<.
(4)∵π－2＝()2<1，()－1.3＝31.3>1，
∴π－2<()－1.3.
11．解 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴a2－a＝，
即a＝或a＝0(舍去)．
(2)若0∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，所求a的值为或.
12．解 ∵f(x)＝(ax－)，
∴函数定义域为R，
设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1∴当a>1时，ax10
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)当0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)综上，f(x)在R上为增函数．
13.
解 函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．
函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：
当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；
当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；
当02.1.2指数函数及其性质 同步练习
一、选择题
1．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、a< D、1<
2.下列函数式中，满足f(x+1)=f(x)的是( )
A、 (x+1) B、x+ C 、2x D、2-x
3.下列f(x)=(1+ax)2是（ ）
A、奇函数 B、偶函数
C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数
4．函数y=是（ ）
A、奇函数 B、偶函数
C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
5．函数y=的值域是（ ）
A、（-） B、（-0）（0，+）
C、（-1，+） D、（-，-1）（0，+）
6．下列函数中，值域为R+的是（ ）
A、y=5 B、y=()1-x
C、y= D、y=
7．已知0A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
二、填空题
8．函数y=的定义域是
9．函数y=()(-3)的值域是
10．直线x=a(a>0)与函数y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是
11．函数y=3的单调递减区间是
12．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=
三、解答题
13、已知关于x的方程2a－7a+3=0有一个根是2, 求a的值和方程其余的根
14、设a是实数，试证明对于任意a,为增函数
15、已知函数f(x)=(a－a)(a>0且a1)在(－, +)上是增函数, 求实数a的取值范围
答案：
选择题
1、D；2、D；3、B；4、A；5、D；6、B；7、A
填空题
8.(-,0)(0,1) (1,+ )
9．[（）9，39]
10．D、C、B、A。
11．（0，+）
12．0
解答题
13、解: 2a－7a+3=0, a=或a=3.
a=时, 方程为: 8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log3
a=2时, 方程为: ·2－·2+3=0x=2或x=－1－log2
14、证明：设∈R,且
则
由于指数函数 y=在R上是增函数,且,
所以即<0，
又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数
15、解: 由于f(x)递增， 若设x 则f(x)－f(x)=[(a－a)－(a－a)]=(a －a)(1+a·a)<0, 故(a－9)( (a －a)<0.
(1), 解得a>3; (2) , 解得0 综合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。
