课件11张PPT。2.2.1 对数及对数运算（1） 思考: 在2.1.2(P57)例8中,我们得到了函数关系式:y=13?1.01x , 问题1:在这个例题中,对于给定的一个年份,你能计算相应的人口总数吗? 问题2:哪一年的人口数可达到18亿? 20亿呢? 一、对数的定义: 一般地,如果 的b次幂等于N, 即 (叫指数式)， 那么数 b叫做 a为底N的对数 记作 (叫对数式)，a叫做对数的底数， N叫做真数 二．思考：为什么在定义中要规定：a＞0且a≠1，而且 N>0?三．几个常用结论：（1）负数与零没有对数 （1）常用对数：通常将以10为底的对数
叫做常用对数(common logarithm)。
N的常用对数简记作lgN4．常用的两种对数：（2）自然对数:以无理数e=2.71828……
为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
为了简便，N的自然对数简记作lnN。例题与练习例1将下列指数式化为对数式，
对数式化为指数式.例2 求下列各式中x的值例3、求 x 的值： 练习（书上P64第1、2、3、4题）： 小结 ：课后作业：
书上P74：1、2
2. 2.1第一课时 对数的概念教案
【教学目标】
1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化
2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力
【教学重难点】
重点：对数的概念
难点：对数概念的理解.
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、情景导入、展示目标。
（一）复习引入：
1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？
2假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1. ＝？，＝0.125x=? 2. =2x=?
也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？
（二）新授内容：
定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数
例如： ;
;
探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵，
∵对任意 且 , 都有 ∴
同样易知：
⑶对数恒等式
如果把 中的 b写成 , 则有
⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数简记作lgN
例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.
⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN
例如：简记作ln3 ; 简记作ln10
（6）底数的取值范围；真数的取值范围
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：指对互化
例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）
（1）=625 （2）= （3）=27 (4) =5.73
解析：直接用对数式的定义进行改写．
解：（1）625=4； （2）=-6；
（3）27=a； （4）
点评：主要考察了底真树与幂三者的位置．
变式练习１： 将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）128=7；
（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303
解：（1） （2）=128；
（3）=0.01； （4）=10
探究二：计算
例２计算： ⑴，⑵，⑶，⑷
解析：将对数式写成指数式，再求解．
解：⑴设 则 , ∴
⑵设 则, , ∴
⑶令 =,
∴, ∴
⑷令 , ∴, , ∴
点评：考察了指数与对数的相互转化．
(四)小结：
本节主要学习了对数的概念，要熟练的进行指对互化．
【板书设计】
一、对数函数概念
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2.2.1对数的概念导学案
课前预习学案
一、预习目标
了解对数的概念，知道常用对数与自然对数以及这两种对数符号的记法，了解对数恒等式，
二、预习内容
对数概念：
1.一般地，如果()的次幂等于，即，那么数叫做 ，记作．其中，叫做对数的 ，叫做 ．
例如：，读作：以3为底9的对数为2 ．
（1）概念分析：对数式中各字母的取值范围：
： ； ： ； ： ．
（2）零和负数没有对数；1的对数为0，即（且）；底数的对数为1，即（且）．
2.以10为底的对数称为 ，以e为底的对数称为
3.
三、提出疑惑
课内探究学案
学习目标
理解指数式与对数式的相互关系，能熟练进行指数式与对数式的互化。2‘
并能运用恒等式进行计算。
学习重难点：理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化、
学习过程
（一）合作探究
探究一.指数式和对数式互化
1.将下列指数式写成对数式：
解析：直接用对数式的定义进行改写．
解：
点评：主要考察了底真树与幂三者的位置．
变1.将下列对数式写成指数式：
探究二.求对数值
2、⑴，⑵，⑶，⑷
解析：将对数式写成指数式，再求解．
解：
点评：考察了指数与对数的相互转化．
变2.求下列对数的值
（1） （2） （3）
（二）反思总结
（三）当堂检测
1.完成下列指数式与对数式的互化：
（1）2 ， （2） ，
（3） ， （4） ，
（5） ， （6） ．
2．求下列对数的值
（1）= ，（2）= ，（3）= ，
（4）= ，（5）=
课后练习与提高
1．对数式的值为???? （?? ）
（A） 1（B）-1（C）（D）-
2、若log[ log( logx)] = 0，则x为( )．
(A)． (B)． (C)． (D)．
3.计算
（1） （2）
4.已知且，，，求
的值。
课件31张PPT。2.2.1 对数与
对数运算复 习 引 入 假设2002年我国国民生产总值为a
亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？复 习 引 入 假设2002年我国国民生产总值为a
亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？复 习 引 入 假设2002年我国国民生产总值为a
亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 已知底数和幂的值，求指数．你能
看得出来吗？怎样求呢？ 讲 授 新 课 一般地，如果(a＞0, a≠1)的b次幂
等于N，就是ab＝N ，那么数b叫做以a
为底N的对数，记作logaN＝b.讲 授 新 课 一般地，如果(a＞0, a≠1)的b次幂
等于N，就是ab＝N ，那么数b叫做以a
为底N的对数，记作logaN＝b.ab＝N ? logaN＝b.底数指数底数指数幂底数指数底数幂底数指数真数底数幂底数指数真数底数对数幂底数1. 是不是所有的实数都有对数？
logaN＝b中的N可以取哪些值？ 探究：1. 是不是所有的实数都有对数？
logaN＝b中的N可以取哪些值？ 负数与零没有对数探究：1. 是不是所有的实数都有对数？
logaN＝b中的N可以取哪些值？ 负数与零没有对数2. 根据对数的定义以及对数与指数的
关系， loga1＝? logaa＝? 探究：1. 是不是所有的实数都有对数？
logaN＝b中的N可以取哪些值？ 负数与零没有对数2. 根据对数的定义以及对数与指数的
关系， loga1＝? logaa＝? loga1＝0，logaa＝1 探究：3. 对数恒等式 如果把ab＝N 中的b写成logaN，则有探究：3. 对数恒等式 如果把ab＝N 中的b写成logaN，则有 我们通常将以10为底的对数叫做常
用对数. 为了简便，N的常用对数log10N
简记作lgN.4. 常用对数：探究： 在科学技术中常常使用以无理数
e＝2.71828……为底的对数，以e为底
的对数叫自然对数，为了简便，N的自
然对数logeN简记作lnN．5. 自然对数探究： 在科学技术中常常使用以无理数
e＝2.71828……为底的对数，以e为底
的对数叫自然对数，为了简便，N的自
然对数logeN简记作lnN．5. 自然对数6. 底数的取值范围
探究： 在科学技术中常常使用以无理数
e＝2.71828……为底的对数，以e为底
的对数叫自然对数，为了简便，N的自
然对数logeN简记作lnN．5. 自然对数6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, ＋∞)；
探究： 在科学技术中常常使用以无理数
e＝2.71828……为底的对数，以e为底
的对数叫自然对数，为了简便，N的自
然对数logeN简记作lnN．5. 自然对数6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, ＋∞)；
真数的取值范围探究： 在科学技术中常常使用以无理数
e＝2.71828……为底的对数，以e为底
的对数叫自然对数，为了简便，N的自
然对数logeN简记作lnN．5. 自然对数6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, ＋∞)；
真数的取值范围(0, ＋∞).探究：例1 将下列指数式写成对数式例题与练习例2 将下列对数式写成指数式例题与练习例3 求下列各式中的x的值例题与练习例4 计算例题与练习练习 教材P.64练习第1、2、3、4题例4 计算例题与练习课 堂 小 结1. 对数的定义；
2. 指数式与对数式互换；
3. 求对数式的值．1．阅读教材P.62-P.64；
2．《习案》作业二十.课 后 作 业2.2.1对数与对数运算（一）
（一）教学目标
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
②理解和掌握对数的性质；
③掌握对数式与指数式的关系 .
2. 过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .
3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .
（3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.
（二）教学重点、难点
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
（2）难点：推导对数性质的
（三）教学方法
启发式
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
问题
1．提出问题
（P72思考题）中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？
即：在个式子中，分别等于多少？
象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.
老师提出问题，
学生思考回答.
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，
由实际问题引入，激发学生的学习积极性.
概念
形成
合作探究：若1.01x=，则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？
一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
举例：如：，读作2是以4为底，16的对数.
，则，读作是以4为底2的对数.
合作探究
师：适时归纳总结，引出对数的定义并板书.
让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力．
概念
深化
1. 对数式与指数式的互化
在对数的概念中，要注意：
（1）底数的限制＞0，且≠1
（2）
指数式对数式
幂底数←→对数底数
指 数←→对数
幂 ←N→真数
说明：对数式可看作一记号，表示底为（＞0，且≠1），幂为N的指数工表示方程（＞0，且≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为（＞0，且≠1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式又可看幂运算的逆运算.
2. 对数的性质：
提问：因为＞0，≠1时，
则 由１、0=1 ２、1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义，=？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （＞0，且≠1）
② ∵＞0，且≠1对任意的力，常记为.
恒等式：=N
3. 两类对数
① 以10为底的对数称为常用对数，常记为.
② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.
以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.
掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.
应用
举例
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）54=625；
（2）2－6=；
（3）（）m=5.73；
（4）log16=－4；
（5）lg0.01=－2；
（6）ln10=2.303.
例2：求下列各式中x的值
（1）
（2）
（3）
（4）
课本P74练习第1，2，3，4题.
例1分析：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.
（生口答，师板书）
解：（1）log5625=4；
（2）log2=－6；
（3）log5.73=m；
（4）（）－4=16；
（5）10－2=0.01；
（6）e2.303=10.
例2分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：（1）
（2）
（3）
（4）
所以
练习（生完成，师组织学生进行课堂评价）
解答：1.（1）log28=3；
（2）log232=5；
（3）log2=－1；
（4）log27=－.
2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=；（4）3－4=.
3.（1）设x=log525，则5x=25=52，所以x=2；
（2）设x=log2，则2x==2－4，所以x=－4；
（3）设x=lg1000，则10x=1000=103，所以x=3；
（4）设x=lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x=－3.
4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.
通过这二个例题的解答，巩固所学的指数式与对数式的互化，提高运算能力．
归纳
总结
1.对数的定义及其记法；
2.对数式和指数式的关系；
3.自然对数和常用对数的概念.
先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善．
巩固本节学习成果，形成知识体系.
课后
作业
作业：2.2 第一课时 习案
学生独立完成
巩固新知
提升能力
备选例题
例1 将下列指数式与对数式进行互化.
（1） （2） （3） （4）
【分析】利用ax = Nx = logaN，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式.
【解析】（1）∵，∴x =64
（2）∵，∴
（3）∵，∴
（4）∵logx64 = –6，∴x－6 = 64.
【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义ab = Nb = logaN进行转换即可.
例2 求下列各式中的x.
（1）；
（2）；
（3）；
【解析】（1）由
得= 2–2，即 .
（2）由，得，
∴.
（3）由log2 (log5x) = 0得log5x = 20 = 1.
∴x = 5.
【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.
（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log2(log5x) = 0及对数性质loga1=0.
知log5x = 1，又log55 = 1. ∴x = 5.
§2.2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数
课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__________________，记作____________，其中a叫做__________，N叫做______．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做____________，以e为底的对数叫做____________，log10N可简记为______，logeN简记为________．
3．对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝____.
对数恒等式：alogaN＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)1的对数为____；
(2)底的对数为____；
(3)零和负数__________．
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2
B．2
C．2D．34．方程＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
5．若loga＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5c B．b5＝ac
C．b＝5ac D．b＝c5a
6．的值为( )
A．6 B.
C．8 D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.
8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
9．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则＝________.
三、解答题
10．(1)将下列指数式写成对数式：
①10－3＝；②0.53＝0.125；③(－1)－1＝＋1.
(2)将下列对数式写成指数式：
①log26＝2.585 0；②log30.8＝－0.203 1；
③lg 3＝0.477 1.
11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．
能力提升
12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75
C．45 D．225
13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：
①log68；②log62；③log26.
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2) ＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运
算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化
§2.2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数
知识梳理
1．以a为底N的对数 x＝logaN 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数
作业设计
1．C [①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．]
2．C [∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确；
∵ln e＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；
由lg x＝10，得1010＝x，故x≠100，故③错误；
由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．]
3．C [由对数的定义知?
?24．A [∵＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.]
5．A [由loga＝c，得ac＝，
∴b＝(ac)5＝a5c.]
6．C [()－1＋log0.54＝()－1·()＝2×4＝8.]
7.
解析 由题意得：log3(log2x)＝1，
即log2x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
∴＝＝＝＝.
8．3
解析 由题意得：logx9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3，
又∵x>0，∴x＝3.
9.
解析 依据ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1)，
有a＝102.431 0，b＝101.431 0，
∴＝＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝.
10．解 (1)①lg＝－3；②log0.50.125＝3；
③log－1(＋1)＝－1.
(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.
11．解 A＝·()＝.
又∵x＝a4，y＝a5，∴A＝＝1.
12．C [由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]
13．解 (1)①因为log2x＝－，所以x＝＝.
②因为logx3＝－，所以＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即＝2，所以log62＝.
③由＝2得＝6，所以log26＝.
2、2、1对数与对数的运算 同步练习
一、选择题
1、在中，实数a的范围是（ ）
A、 或 B、
C、 或 D、
2、 若，则等于（ ）
A、 B、 C、 8 D、 4
3、的值是（ ）
A、 16 B、 2 C、 3 D、 4
4、 已知，则是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、 已知，则x的值是（ ）
A、 B、 C、 或 D、 或
6、 计算（ ）
A、 1 B、 3 C、 2 D、 0
7、 已知，则的值为（ ）
A、 3 B、 8 C、 4 D、
8、 设a、b、c都是正数，且，则（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
9、 若，则x=________，若，则y=___________。
10、 若，且，则a=_____________
11、 已知，则_________
12、 ___________
三、解答题
13、计算：(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)
14、已知，用a、b表示。
15、设，是否存在实数a，使得？
答案：
选择题
C；2、A；3、A；4、B；5、B；6、A；7、A；8、B
填空题
9、
10、10
11、
12、4
解答题
13、解：原式=
=
=
==13、
14、解：
15、解：
要使，只需且
若，则，这时，这与集合中元素的互异性矛盾，
若，则，与矛盾
若，则，这时无意义，
若，则，
此时，这与已知条件矛盾
因此不存在a的值，使
