3.4.1 函数与方程 课件 19张PPT

课件19张PPT。二次函数与方程1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0);一、二次函数的解析式2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点
的横坐标);　 注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时,
要根据题设条件, 合理地设出解析式. 二、二次函数的图象　　有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标;
截 x 轴线段长.三、二次函数的性质四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m, n]上的最值2.若 x0?[m, n], 则(1)当 x0n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).五、不等式 ax2+bx+c>0 恒成立问题1. ax2+bx+c>0在R上恒成立. ?ax2+bx+c<0在R上恒成立. ?2. f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立. ?? f(x)min>0(x∈[m, n]) f(x)=ax2+bx+c<0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立. ?1.方程 f(x)=0 有两正根 ?六、二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的实根分布问题记 f(x)=ax2+bx+c(a>0),2.方程 f(x)=0 有两负根 ?4.方程 f(x)=0 的两实根都小于 k ?3.方程 f(x)=0 有一正根一负根 ?c<0.5.方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k ?f(k)<0.6.方程 f(x)=0 的两实根都大于 k7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内.? f(m)f(n)<0, 或　思考 方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于?9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n0, 且当 x≥a 时, S=(x -3)2+y2 的最小值为 4, 求参数 a 的值.解: 由已知 S=(x -3)2+y2=(x -3)2+4a(x -a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2. ∵当 x≥a 时, S(x)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2 的最小值为 4, ∴对正数 a, 可分情况讨论如下: (1)当 3-2a1 时, 函数 S(x) 在[a, +∞]上是增函数.　∴ S(x)min=S(a)=(a-3)2. 由 (a-3)2=4 得: a=1 或 5. ∵a>1, ∴a=5. (2)当 3-2a≥a, 即 00, 求实数 a 的取值范围; (2)若对 [-1, 1] 上的一切实数 m, 都有 f(m)>0, 求实数 a 的取值范围.解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线 x=a-1. (1)问题等价于“对于 x∈[-1, 1], 有 f(x)max>0.”讨论如下: ①当 a-1≤0 即 a≤1 时, f(x)max=f(1)=-a2-2a+15. 由 -a2-2a+15>0 得: -50 即 a>1 时, f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7. 由 -a2+6a+7>0 得: -11, ∴ 10.”讨论如下: ①当 a-1<-1 即 a<0 时, f(x)min=f(-1)=-a2+6a+7. 由 -a2+6a+7>0 得: -10 恒成立. ∴ 0≤a≤2. 注: 亦可用补集法求解. 综上所述, -11 即 a>2 时, f(x)min=f(1)=-a2-2a+15. 由 -a2-2a+15>0 得: -52, ∴ 20 有: F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0. 即 f(x) -x>0, 从而 f(x)>x. 又 x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]. ∴ x1-f(x)>0, 从而 x1>f(x).　故当 x∈(0, x1) 时, 有 x0 在[0, ?]上恒成立, 求实数 a 的取值范围.解: (1)令 t=sinx, 则方程 2sin2x-4asinx+1-a=0 在[0, ?]上有两个
不同的解等价于:方程 2t2-4at+1-a=0 有一根为 0, 另一根不在 (0, 1) 内; 或方程 2t2-4at+1-a=0 在 (0, 1) 内有两等根; 或方程 2t2-4at+1-a=0 有一解在 (0, 1) 内, 另一解在[0, 1]外. 当 t=0 时, a=1, 方程 2t2-4at+1-a=0 的另一根为 2 且 2?(0, 1), ∴a=1 适合题意;　 方程 2t2-4at+1-a=0 有两等根时, 由 △=16a2-8(1-a)=0 得: ∵a=-1时, 方程 2t2-4at+1-a=0 的两等根为-1 但 - 1?(0, 1), ∴a=-1 不合题意, 舍去; 设 f(t)=2t2-4at+1-a, 则方程 2t2-4at+1-a=0有一解在(0, 1)内, 另一解在[0, 1]外等价于: f(0)f(1)<0, 即 (1-a)(3-5a)<0. 　　(2)令 t=sinx, 则不等式 2sin2x-4asinx+1-a>0 在[0, ?]上恒成立等价于不等式 2t2-4at+1-a>0 在[0, 1]上恒成立.此即为所求实数 a 的取值范围.　解法二: 分离参数: a=…(0≤sinx<1) 来求.要注意不适合题意的情况.　9.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab, 当 x?(-3, 2)时, f(x)>0, 当x?(-∞, -3)∪(2, +∞) 时, f(x)<0. (1)求 f(x) 在[0, 1]上的值域; (2) c 为何值时, ax2+bx+c≤0 的解集为 R.　11.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0, a, b?R). 设关于 x 的方程f(x)=0 的两根分别为 x1, x2, f(x)=x 的两根分别为?, ?. (1)若|?-?|=1, 求 a, b 满足的关系式; (2)若 a, b 均为负整数, 且|?-?|=1, 求f(x)的解析式; (3)若?<1