第二章 点、直线、平面之间的位置关系（立体几何证明题）单元测试AB卷（解析版）

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A卷

1．边长为2的正方形ABCD所在平面外有一点P，平面ABCD，，E是PC上的一点．

（Ⅰ）求证：AB//平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）线段为多长时，平面？
【解析】
（Ⅰ）证明：正方形ABCD中， AB//，又AB平面，平面
所以AB//平面
（Ⅱ）证明：正方形ABCD中，，
平面ABCD，平面ABCD，，
又，所以平面，
平面，平面平面
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以只需可证平面，
在中，可求，，，








2．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点．

（1）求证： 平面；
（2）若， ，求证： ．
试题解析：
证明：（1）连接交于，连接．
在中，因为， 分别为， 的中点，所以，
又因为平面， 平面，所以平面．
（2）直三棱柱，故底面， 平面，所以．
又因为为棱的中点， ，所以，
因为，所以平面，所以，
因为为棱中点，不妨设，所以，
又因为，所以在和中， ，
所以，即，所以，
因为，所以平面，
因为平面，故．

3．如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，
且BF⊥平面ACE.
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．
求证：MN∥平面DAE．


【答案】同解析

【解析】证明：（1）∵，，∴，
又，，∴，…………………………（3分）
又，∴，又，
∴．…………………………（6分）
（2）取的中点，连接，
∵点为线段的中点．
∴∥，且， ……………………（8分）
又四边形是矩形，点为线段的中点，∴∥，且，
∴∥，且，故四边形是平行四边形，
∴∥…………（10分）
而平面，平面，∴∥平面． …………………（12分）
4．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
试题解析：（1）连交于点， 为中点， ，
为中点， ，
，四边形是平行四边形， 4分
，又平面，平面， 平面. 7分
（2）由（1）知， ，为中点，所以，所以， 9分
又因为底面，而底面，所以，
则由，得，而平面，且，
所以面， 12分
又平面，所以平面平面. 14分
5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点．

（1）求证：CN⊥AB1；
（2）求证：CN//平面AB1M．
试题分析：证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC，

∴BB1⊥平面ABC， ∴BB1⊥CN．
∵AC=BC，N是AB的中点，∴CN⊥AB．
又∵AB∩BB1=B，∴CN⊥平面AB B1A1，∴CN⊥AB1．
（2）连结A1B交AB1于P．∵三棱柱ABC-A1B1C1，
∴P是A1B的中点．∵M，N分别是CC1，AB的中点，
∴NP // CM，且NP = CM，∴四边形MCNP是平行四边形，
∴CN//MP．∵CN平面AB1M，MP平面AB1M，

∴CN //平面AB1M．
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点．
求证：（Ⅰ）MN//平面ABCD；（Ⅱ）MN⊥平面B1BG．

【解析】证明：（1）取CD的中点记为E，连NE，AE．
由N，E分别为CD1与CD的中点可得
NE∥D1D且NE=D1D， ………………………………2分
又AM∥D1D且AM=D1D………………………………4分
所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形所以MN∥AE，……6分
又AE面ABCD,所以MN∥面ABCD……7分
（２）由AG＝DE　，，DA＝AB可得与全等 …10分
所以， 又，所以所以， ………………………12分
又,所以， 又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG ……13分

7．
如图所示，凸多面体中，平面，平面，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．


【解析】证明：（1）作的中点，连接，，∵平面，平面，∴，且平面平面，… 2分∵为三角形的中位线，
∴，，……………… 4分
∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面． ……6分
（2）∵，为的中点
　∴，又，∴平面，　　　　　　　　…… 9分
∵，∴平面，又平面，
∴平面平面． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　……… 12分
8．如图，四棱锥的底面是正方形， 平面， 是的中点．
（）求证： 平面．
（）求证：平面平面．

试题解析：
（）证明：连接交于，连接，
∵底面是正方形，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴，
又∵平面， 平面，
∴平面．

（）证明：∵平面， 平面，
∴，
∵底面是正方形，
∴，
又，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
9．如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的中点

Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面．
【解析】
（Ⅰ）证明：如图连结，

………………………………………………………………1分
则O为中点，……………………………………………………………………………2分
连OD，∵D为AC中点，
在△中，有OD∥.………………………………………………………………3分
又平面，……………………………………4分
平面，……………………………………5分
∴∥平面.……………………………………6分
（Ⅱ）证明：由，
三棱柱为直三棱柱，
为正方形，
…………………………………………7分
又，
，
，………………………………………8分
又，



又
.……………………………………………………………………9分
又

……………………………………………………………………10分
又

………………………………………………………………11分
……………………………………………………………12分

B卷


10．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，求证：平面平面.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由底面是菱形，可得再根据线面平行的性质定理可直接证得平面。（Ⅱ）由面面垂直的性质定理可证得平面，即可证得。（Ⅲ）当时为正三角形，可得，可根据面面的性质定理证得，再根据面面垂直的判定定理可证得面平面。法二时，因为（Ⅱ）中已证，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而证得面平面
试题解析：解：（Ⅰ）因为底面是菱形，
所以. 1分
又因为平面， 3分
所以平面. 4分
（Ⅱ）因为，点是棱的中点，

所以. 5分
因为平面平面,平面平面,平面, 7分
所以平面, 8分
因为平面,
所以. 9分
（Ⅲ）因为，点是棱的中点，
所以. 10分
由（Ⅱ）可得， 11分
所以平面， 13分
又因为平面,
所以平面平面. 14分





11．(2013·辽宁高考)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC.
(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证：QG∥平面PBC.
【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC;
由PA垂直于圆O所在的平面,得PA⊥平面ABC;又BC?平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,
所以BC⊥平面PAC,又BC?平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.
(2)连接OG并延长交AC于M,

连接QM,QO.由G为△AOC的重心,知M为AC的中点,
由Q为PA的中点,则QM∥PC,
又O为AB中点,得OM∥BC.
因为QM∩MO=M,QM?平面QMO,
MO?平面QMO,BC∩PC=C,BC?平面PBC,PC?平面PBC,
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG?平面QMO,所以QG∥平面PBC.
12．如图：在四棱锥中，底面是菱形，，平面，
点、分别为、的中点，．
（I）证明：平面；
（II）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。

【解析】解：（Ⅰ）因为为菱形，所以
又，所以，
又为中点，所以
而平面，平面，所以
又，所以平面（6分）
（II）存在
取中点，连结，，，（8分）
因为，分别为、中点，所以且
又在菱形中，，
所以，，即是平行四边形
所以，又平面，平面
所以平面，即在上存在一点，使得平面，（10分）
此时．（12分）
13．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，求证：

（1）平面 ；
（2）．
【详解】
（1）连接AC交BD于O，连接OE，
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵在△PAC中，E是PC的中点，
∴OE∥PA，
∵OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．

（2）∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．
∴AD⊥PC．
14．如图，在空间几何体ABCDFE中，底面是边长为2的正方形，，，.
（1）求证：AC//平面DEF；
（2）已知，若在平面上存在点，使得平面，试确定点的位置.

试题解析：
（1）连BD交AC于O，取DE中点K，连结OK、KF
∵AC、BD是正方形的对角线
∴O为BD中点，∴，∴四边形AOKF为平行四边形，∴
又∵平面DEF，平面DEF
∴AC//平面DEF
（2）在△DAF中，，，，所以
又因为，，平面ABCD
∴平面.
以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图）.

则，，，，，
设，因为，，
又，

所以，
∵∴
解得即.所以是线段上靠近的三等分点.
15．在正方体中，E,F分别是CD，A1D1中点
（1）求证：AB1⊥BF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，
确定点P的位置；若不存在，说明理由






【解析】解：（1）证明：连结A1B,CD1 ∵AB1⊥A1B, AB1⊥BC,A1B∩BC=B ∴AB1⊥平面A1BCD1 , 又BF平面A1BCD1 ,所以AB1⊥BF
(2) 证明：取AD中点M，连结FM，BM
∵ABCD为正方形，E,M分别为所在棱的中点，
∴AE⊥BM，又∵FM⊥AE，BM∩FM=M,
∴AE⊥平面BFM， 又BF平面BFM，∴AE⊥BF
(3) 存在，P是CC1的中点，则易证PE∥AB1，故A,B1,E,P四点共面
证明：由（1）（2）知AB1⊥BF，AE⊥BF，AB1∩AE=A，∴BF⊥平面AEB1，
即BF⊥平面AEP
16．如图, 在直三棱柱中，，，，，点是的中点．

（1）求证：；
（2）求证：//平面．
试题解析：(Ⅰ)∵三棱柱底面三边长

∴
又∵底面
∴.?
∵
∴平面
∴
(Ⅱ)设与的交点为， 连结
∵是的中点，是的中点,
∴∥????????????????????????
∵平面，平面
∴∥平面.?
17．如图，在三棱锥中， 分别为的中点．
（1）求证： 平面；
（2）若平面平面，且， ，
求证：平面平面．
【答案】（1）证明：连结, 、分别为、的中点，
. ……………………2分
又平面， 平面， EF∥平面PAB. …………5分
（2）， 为的中点， ………6分
又平面平面
面……………………8分
……………………9分
又因为为的中点，
……………10分
面……………………11分
又面 面面

18．如图，边长为4的正方形与矩形所在平面互相垂直，分别为的中点，．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
试题解析：（I）因为为正方形，所以。
因为平面,,，所以.
（Ⅱ）连结

因为是的中点，且为矩形，所以也是的中点。因为是的中点，所以∥，因为,所以MN∥平面CDFE。
（Ⅲ）过点作交线段于点,则点即为所求。因为ABCD为正方形，所以∥。因为，所以，因为,所以。因为，且，所以,因为,所以。因为与相似，所以,因为，所以。
考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直。









第18题图

D






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