1.1正弦定理 课件（31张PPT）

课件31张PPT。2.1.2 余弦定理必修5第二章《解三角形》 正弦定理的外在形式是什么？其数学意义如何？
复习回顾1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，且等于外接圆直径.2.用正弦定理能解决的问题(1) 已知三角形的两角和任一边解三角形
(2) 已知两边和其中一边的对角解三角形
(注意解的情况)
(3) 判断三角形的形状. 甲乙两位同学均住在世博圆的附近，已知甲同学家距离世博园入口处300米，乙同学家距离世博园入口处400米，某天，甲乙两位同学相约一同参观世博园，请问，你能求出甲乙两同学家相距多少米吗？ 已知三角形的两边及其夹角，解三角形。能解这个三角形吗？ 根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？ 这就是我们这节课要讲的内容.实际问题数学化1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.（重点）2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(难点)问题 已知两边和它们的夹角,求三角形的另一边 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c. 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题.即：如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.已知a, b和C，求边c. 思考1：在△ABC中，已知边a，b和角C，从向量的角度考虑，可以求出什么？c思考2：c边的长即为 ，向量 与 ， 有什么关系？思考3：如何将 转化为c与a，b，C的关系？利用向量的数量积可求长度 和夹角。探究（一）：余弦定理的推导思考4：根据上述推导可得，

此式对任意三角形都成立吗？根据上述推导同理可得：思考5：如图所示建立直角坐标系，点A，B的坐标分别是什么？
根据两点间的距离公式可得什么结论？ A(bcosC，bsinC)B(a，0)c思考6：通过类比，a2，b2分别等于什么？思考7：上述三个等式称为余弦定理.如何用文字语言描述余弦定理？ 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍. 探究（二）：余弦定理的变式思考1：在△ABC中，若已知边a，b和角C，如何求边c和角A，B？ 当已知两边及其夹角解三角形时，先用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论来求；二是利用正弦定理来求。但用正弦定理求解时，要注意角的取舍，而用余弦定理求解就不存在角的取舍问题，故用余弦定理求解较好。思考2：已知三角形的三边a，b，c，求三内角A，B，C，其计算公式如何？思考3：上述三个公式是余弦定理的推论，如何通过三边的大小关系判断∠A是锐角、直角还是钝角？勾股定理A为钝角;A为锐角.根据余弦定理的推论:推论：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形△ABC是锐角三角形△ABC是直角三角形与思考3对比思考4：若已知边a，b和角A，能直接用余弦定理求边c吗？ 可以注意：边长 只取 ，因为 。正值三角形边长为正思考5：结合正弦定理，可作什么变形？同理可得其它两种变形：剖析余弦定理（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从
方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理 的特例；（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角；
已知两边及它们的夹角，求第三边；（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式是完全一致的。思考6：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. 思考7．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2b2＋c2，a2若a2>b2＋c2，则△ABC是钝角三角形；
若a2 思维突破：已知两边及其夹角，可直接使用
余弦定理求解．
课堂互动讲练解：由余弦定理，得反思与感悟：当已知两边及其夹角解三角形时，先用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论来求；二是利用正弦定理来求。但用正弦定理求解时，要注意角的取舍，而用余弦定理求解就不存在角的取舍问题，故用余弦定理求解较好。【变式与拓展】
D注意：本题也可用正弦定理直接求解。题型 2已知三边（或三边的关系）解三角形
三角形的最大内角．
思维突破：已知三边，可直接使用余弦定理求解．
解：显然，角 C 最大． ∴C＝120°.反思与感悟：当已知三边（或三边的关系）解三角形时， 若已知三角形三边的比例关系时，常根据比例的性质引入参数 k ,从而转化为已知三边求解。 若已知三角形三边时，可用余弦定理的推论与三角形内角和定理求出三个角。 【变式与拓展】
2．在△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则△ABC是( )
A．锐角三角形
C．直角三角形
B．钝角三角形
D．不能判断3．已知三角形三边之比为 5∶7∶8，则最大角与最小角的和为_______.120°B2. 余弦定理的应用范围： 1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例.①已知三边求三角；
②已知两边及它们的夹角，求第三边.课后作业P51 练习：1,2,3
P53 习题2--1:2,3,5,6被人揭下面具是一种失败，自己揭下面具却是一种胜利.
——雨果再见