2.2等差数列的前n项和 课件（25张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.2等差数列的前n项和 课件（25张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-20 21:56:41 | ||
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文档简介
课件25张PPT。你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗？世界七大奇迹之一——印度泰姬陵 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
探究发现这是个什么问题呢？
从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝石… …第一百层是100颗宝石即: 1+2+3+······+100=？2.2 等差数列的前n项和 德国古代著名数学家高斯10岁的时候就已经解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？高斯的算法计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？
（1+100）+（2+99）+ …+（50+51）
=101×50=5050?? 高斯的思路有什么特点？适合哪种类型？特点：首尾配对（变不同数求和为相同数求和，变加法为乘法）
类型：项数是偶数的数列求和高斯的办法行吗？能否有更简洁的求法？S21=1 + 2 + 3 + … + 21 2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1)S21 =21 + 20 + 19 + … + 1
21个22探究问题1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？这实质上就是数学中数列求和的一种重要方法--------倒序相加法总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？问题2:等差数列1,2,3,…,n, …的前n项和怎么求？ sn=1 + 2 + … + n-1 + n
2sn =(n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) sn=n + n-1 + … + 2 + 1n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？利用倒序相加法上式相加得：由等差数列性质可知：问题3: 对于一般等差数列{an}，首项为a1公差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？等差数列前n项和公式 一、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公式一中有an,公式二中有d 。 若a1，d, n, an中已知三个量就可以求出Sn 。
二、 a1，d, n, an，Sn五个量可“知三求二”。（公式一）（公式二）说明从结构特征看，公式(1)反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质；公式(2)反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两个公式从不同角度反映了等差数列的性质．两个公式的共同点是需要知道a1和n，不同点是前者还需知道an，后者还需要知道d.从方程角度看，两公式共涉及5个元素：a1，d，n，an，Sn，教师要点拨学生注意这5个元素，其中a1，d称为基本元素．因为已知等差数列的首项a1，公差d，则此数列完全确定．因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题，这往往要根据已知条件列出关于a1，d的方程组，再解这个方程组求出a1，d.应用实例例1 计算：
(1)1＋3＋5＋…＋(2n－1)；
(2)2＋4＋6＋…＋2n；
(3)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n－1)－2n.
答案解：
(1)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2；
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝＝n(n＋1)；
3略变式训练 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50例题讲解 例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？例题讲解
用公式一做做方法2用公式二做做变式训练设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，求S9.答案解：由S4＝14，S10－S7＝30，
得
即解得a1＝2，d＝1.∴S9＝9a1＋36d＝5 归纳总结 收获分享 1.倒序相加法求和的思想及应用2.等差数列前n项和公式的推导过程 4.前n项和公式的灵活应用及方程的思想3.公式课后分层作业一、必做题
1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。
2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成 等差数列,求这10个数的和。
二，选做题
已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什
二、课后思考：
等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
探究发现这是个什么问题呢？
从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝石… …第一百层是100颗宝石即: 1+2+3+······+100=？2.2 等差数列的前n项和 德国古代著名数学家高斯10岁的时候就已经解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？高斯的算法计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？
（1+100）+（2+99）+ …+（50+51）
=101×50=5050?? 高斯的思路有什么特点？适合哪种类型？特点：首尾配对（变不同数求和为相同数求和，变加法为乘法）
类型：项数是偶数的数列求和高斯的办法行吗？能否有更简洁的求法？S21=1 + 2 + 3 + … + 21 2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1)S21 =21 + 20 + 19 + … + 1
21个22探究问题1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？这实质上就是数学中数列求和的一种重要方法--------倒序相加法总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？问题2:等差数列1,2,3,…,n, …的前n项和怎么求？ sn=1 + 2 + … + n-1 + n
2sn =(n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) sn=n + n-1 + … + 2 + 1n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？利用倒序相加法上式相加得：由等差数列性质可知：问题3: 对于一般等差数列{an}，首项为a1公差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？等差数列前n项和公式 一、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公式一中有an,公式二中有d 。 若a1，d, n, an中已知三个量就可以求出Sn 。
二、 a1，d, n, an，Sn五个量可“知三求二”。（公式一）（公式二）说明从结构特征看，公式(1)反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质；公式(2)反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两个公式从不同角度反映了等差数列的性质．两个公式的共同点是需要知道a1和n，不同点是前者还需知道an，后者还需要知道d.从方程角度看，两公式共涉及5个元素：a1，d，n，an，Sn，教师要点拨学生注意这5个元素，其中a1，d称为基本元素．因为已知等差数列的首项a1，公差d，则此数列完全确定．因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题，这往往要根据已知条件列出关于a1，d的方程组，再解这个方程组求出a1，d.应用实例例1 计算：
(1)1＋3＋5＋…＋(2n－1)；
(2)2＋4＋6＋…＋2n；
(3)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n－1)－2n.
答案解：
(1)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2；
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝＝n(n＋1)；
3略变式训练 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50例题讲解 例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？例题讲解
用公式一做做方法2用公式二做做变式训练设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，求S9.答案解：由S4＝14，S10－S7＝30，
得
即解得a1＝2，d＝1.∴S9＝9a1＋36d＝5 归纳总结 收获分享 1.倒序相加法求和的思想及应用2.等差数列前n项和公式的推导过程 4.前n项和公式的灵活应用及方程的思想3.公式课后分层作业一、必做题
1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。
2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成 等差数列,求这10个数的和。
二，选做题
已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什
二、课后思考：
等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?