3.2等比数列的前n项和 课件（23张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.2等比数列的前n项和 课件（23张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-20 22:00:55 | ||
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文档简介
课件23张PPT。欢迎来到数学课堂等比数列§1.3.2 等比数列的前n项和教学目标1.知识目标
理解等比数列的前n项和公式 的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题
2.能力目标
通过对等比数列前n项和公式的探究，渗透类比、分类讨论、方程的思想，培养学生严密的逻辑思维能力
3.情感目标
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学能力。
教学重难点【教学重点】
1、等比数列的前n项和公式。
2、等比数列的前n项和公式的应用
【教学难点】
等比数列的前n项和公式的推导。
教学过程 一、复习提问
回顾等比数列的定义，通项公式
（1）等比数列的定义：如果一个数列的首项不为零，且从第二项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。即：
（2）等比数列的通项公式：
（3）等差数列前n项和公式推导方法：倒序相加法
二、问题引入 阅读：课本第15页“国王赏麦的故事”相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者，问他要什么样的奖赏，发明者西萨.班.达依尔说：“请在棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子，并把这些麦粒赏给您的仆人吧”同学们，这位大臣的要求高吗？国王一开始认为这份奖赏很轻，可结果呢？这位大臣所要求的麦粒数是多少呢？
我们先看一下各个格的麦粒数组成的这个数列，各个格的麦
粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣达依尔所要的
奖赏就是这个数列的前64项的和。问题：如何计算引出课题：等比数列的前n项和三、问题探讨
问题：如何求等比数列{ }的前n项和
回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法，倒序相加法，
其本质就是构造相同项，化繁为简。（1）（2）……（1）+（2）探究：等比数列的前n项和公式是否能用这种思想指导呢？根据等比数列的定义：
变形：具体： 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，不难发现由
于等比数列中的每一项乘以公比q都等于其后一项，所以将这
一特点应用在前n项和上。由此构造相同项，从而化繁为简。（1）（2）q∴（1）-（2）得 我们能不能直接写出：根据等比数列
的通项公式：
？根据分母不能为零，必须加一个附加条件：（ ）由于当q=1时，等比数列就变成各项都相同的常数列，此时四、知识整合：1、等比数列的前n项和公式：当q=1时当（ q ≠1 ）时2、公式特征：
（1）等比数列求和时，应考虑q ≠1与q=1两种情况
（2）当q ≠1时，等比数列前n项和公式有两种形式。涉及四个量a1,q,n,Sn 四个量中“知三求一”涉及四个量，a1,q, an,Sn ,四 个量中“知三求一”(方程思想）五：知识巩固：
例1、运用公式解决国王赏麦故事中的难题 例2：写出等比数列1，-3, 9，-27，…的前n项和公式，并求出
数列的前8项的和解：∴等比数列的前n项和公式为故例3、变式练习：（1）求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63
（2）求等比数列1,2,4,8…的第4项到第7项的和解：（1）在这个 题中，知a1,q,Sn,求n根据公式n=6 (2)第4项到第7项的和，即前7项的和减去前3项的和知：例4：银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息。小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%。如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱？（精确到0.000001万元）？如果每年一期，分5期等额本息还款（每期以相等的额度平均尝还本息），那么小王每年偿还银行多少钱？
解 （1）贷款第一年后的本利和为
20+20 ×5.76%=20（1+0.0576）=1.0576× 20
第二年后的本利和为
1.0576×2 0+1.0576×2 0×5 .76%=1.05762×2 0，
依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576×2 0,1.05762×2 0,1.05763×2 0，…，
其通项公式为 ，
故5年后一次性还款小王应还款数为 （万元）.
（2）设小王每次应偿还银行 万元，则
第4次还款万元，已还款数为第 5次还款万元，已还款数为（万元）由于第5次将款还清，所以因此（万元）这类问题为等额本息分期付款模型，计算每期偿还本息的公式为
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率。
可以看到，本例中一次性付款数为26.482886万元，而采用分5期付款的方式总共付款数为 4.716971×5=23.5849（万元），
分期付款比到期一次性付款节省了约2.898万元。
六、课堂小结
1、等比数列的前n项和公式：
当q=1时2、等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法
3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想
七：课堂练习1、求等比数列的前10项的和2、已知等比数列的公比为2，S4=1，求S83、已知等比数列的公比为八、课后作业1、在等比数列2、等比数列
的首项是1，共比为-2，求其前8项的和3、某人从银行贷款10000元，贷款期限为2年，年利率为5.40%。
（1）计算到期后，此人一次性还款，应偿还银行多少钱？
（2）若按照每月为一期等额本息还款，每月需要还银行多少钱？（提示：月利率=年利率÷12）
选做题：
1、已知等比数列2、在等比数列九：板书设计等比数列前n项和一、复习提问
等比数列的定义，通项公式
等差数列的前n项和公式推导方法二、问题引入
“国王赏麦的故事”三、问题探讨四、知识整合五、知识巩固六、课堂小结七、课堂练习十、教学反思：
根据教学经历和学生的反馈信息，我对本节课有如下几点反思：
1、在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了三个活动
环节（1）公式的探究活动（2）公式的应用（3）学生课后的
拓展练习。根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好。
2、学生探究等比数列前n项和公式的过程中，大多数学生忽略了对q=1的讨论，这放映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强。谢谢！
理解等比数列的前n项和公式 的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题
2.能力目标
通过对等比数列前n项和公式的探究，渗透类比、分类讨论、方程的思想，培养学生严密的逻辑思维能力
3.情感目标
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学能力。
教学重难点【教学重点】
1、等比数列的前n项和公式。
2、等比数列的前n项和公式的应用
【教学难点】
等比数列的前n项和公式的推导。
教学过程 一、复习提问
回顾等比数列的定义，通项公式
（1）等比数列的定义：如果一个数列的首项不为零，且从第二项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。即：
（2）等比数列的通项公式：
（3）等差数列前n项和公式推导方法：倒序相加法
二、问题引入 阅读：课本第15页“国王赏麦的故事”相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者，问他要什么样的奖赏，发明者西萨.班.达依尔说：“请在棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子，并把这些麦粒赏给您的仆人吧”同学们，这位大臣的要求高吗？国王一开始认为这份奖赏很轻，可结果呢？这位大臣所要求的麦粒数是多少呢？
我们先看一下各个格的麦粒数组成的这个数列，各个格的麦
粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣达依尔所要的
奖赏就是这个数列的前64项的和。问题：如何计算引出课题：等比数列的前n项和三、问题探讨
问题：如何求等比数列{ }的前n项和
回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法，倒序相加法，
其本质就是构造相同项，化繁为简。（1）（2）……（1）+（2）探究：等比数列的前n项和公式是否能用这种思想指导呢？根据等比数列的定义：
变形：具体： 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，不难发现由
于等比数列中的每一项乘以公比q都等于其后一项，所以将这
一特点应用在前n项和上。由此构造相同项，从而化繁为简。（1）（2）q∴（1）-（2）得 我们能不能直接写出：根据等比数列
的通项公式：
？根据分母不能为零，必须加一个附加条件：（ ）由于当q=1时，等比数列就变成各项都相同的常数列，此时四、知识整合：1、等比数列的前n项和公式：当q=1时当（ q ≠1 ）时2、公式特征：
（1）等比数列求和时，应考虑q ≠1与q=1两种情况
（2）当q ≠1时，等比数列前n项和公式有两种形式。涉及四个量a1,q,n,Sn 四个量中“知三求一”涉及四个量，a1,q, an,Sn ,四 个量中“知三求一”(方程思想）五：知识巩固：
例1、运用公式解决国王赏麦故事中的难题 例2：写出等比数列1，-3, 9，-27，…的前n项和公式，并求出
数列的前8项的和解：∴等比数列的前n项和公式为故例3、变式练习：（1）求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63
（2）求等比数列1,2,4,8…的第4项到第7项的和解：（1）在这个 题中，知a1,q,Sn,求n根据公式n=6 (2)第4项到第7项的和，即前7项的和减去前3项的和知：例4：银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息。小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%。如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱？（精确到0.000001万元）？如果每年一期，分5期等额本息还款（每期以相等的额度平均尝还本息），那么小王每年偿还银行多少钱？
解 （1）贷款第一年后的本利和为
20+20 ×5.76%=20（1+0.0576）=1.0576× 20
第二年后的本利和为
1.0576×2 0+1.0576×2 0×5 .76%=1.05762×2 0，
依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576×2 0,1.05762×2 0,1.05763×2 0，…，
其通项公式为 ，
故5年后一次性还款小王应还款数为 （万元）.
（2）设小王每次应偿还银行 万元，则
第4次还款万元，已还款数为第 5次还款万元，已还款数为（万元）由于第5次将款还清，所以因此（万元）这类问题为等额本息分期付款模型，计算每期偿还本息的公式为
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率。
可以看到，本例中一次性付款数为26.482886万元，而采用分5期付款的方式总共付款数为 4.716971×5=23.5849（万元），
分期付款比到期一次性付款节省了约2.898万元。
六、课堂小结
1、等比数列的前n项和公式：
当q=1时2、等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法
3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想
七：课堂练习1、求等比数列的前10项的和2、已知等比数列的公比为2，S4=1，求S83、已知等比数列的公比为八、课后作业1、在等比数列2、等比数列
的首项是1，共比为-2，求其前8项的和3、某人从银行贷款10000元，贷款期限为2年，年利率为5.40%。
（1）计算到期后，此人一次性还款，应偿还银行多少钱？
（2）若按照每月为一期等额本息还款，每月需要还银行多少钱？（提示：月利率=年利率÷12）
选做题：
1、已知等比数列2、在等比数列九：板书设计等比数列前n项和一、复习提问
等比数列的定义，通项公式
等差数列的前n项和公式推导方法二、问题引入
“国王赏麦的故事”三、问题探讨四、知识整合五、知识巩固六、课堂小结七、课堂练习十、教学反思：
根据教学经历和学生的反馈信息，我对本节课有如下几点反思：
1、在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了三个活动
环节（1）公式的探究活动（2）公式的应用（3）学生课后的
拓展练习。根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好。
2、学生探究等比数列前n项和公式的过程中，大多数学生忽略了对q=1的讨论，这放映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强。谢谢！