《事件的独立性》教学设计
概率的最大乐趣是能够让学生参与到教学中来，由于它与实际生活联系紧密，学生在学习这部分内容时是渴望学好，学懂，学出兴趣来的，因此这部分教学，教师要紧紧抓住生活中学生感兴趣的事件，主要不在于讲授知识，而在于激发学生的学习动机，唤起学生的求知欲望，让他们兴趣盎然地参与到教学全过程中来，经过自己的思维活动和动手操作获得知识。新一轮课程改革很重要的一个方面是改变学生的学习状态，在教学中更重要的是关注学生的学习过程，以及情感、态度、价值观、能力等方面的发展。就学习数学而言，学生一旦“学会”，享受到教学活动的成功喜悦，便会强化学习动机，从而更喜欢数学。为保证施教活动的有效性，本节课的教学设计具体流程如下：
一、课前设计
设计科比来我班进行篮球友谊赛，若科比的投篮命中率为0.91，自己组为A队，班长和体育委员命中率都为0.6,组为B队，三人轮流投篮一次（ B队中有一人投中即可获胜）。请问A、B两队谁获胜概率更大？
[设计意图] 用学生感兴趣的话题来激发他们学习本节的兴趣，这个问题的解决对学生现有的知识体系提出了挑战，在学生已有的认知体系中没有解决这个问题的知识，这样就让他渴望去解决这个问题，从而为本节的学习铺垫好了基础。
二、课上设计
（一）问题探究
试验1： 在大小均匀的五个球中，有3个红球，2个白球， 每次取一个，不放回的取两次，设
[设计意图]通过学生自己动手计算两个事件的概率，在计算过程中学生用古典概型和条件概率进行计算，注意样本空间的个数，采用单个学生回答两个概率的结果，并叙述解答过程，其目的可以让同学们复习旧知识，此时老师提出问题“事件A的发生影响事件B发生的概率了吗？”学生通过两个概率的结果可以发现事件A的发生影响事件B发生的概率。
试验2： 在大小均匀的五个球中，有3个红球，2个白球， 每次取一个，有放回的取两次，设
[设计意图]通过第一个试验的计算，同学们很快可以算出第二个试验的两个概率结果，老师采用启发式教学方式，继续让学生观察两个结果，并引导学生有什么发现，通过第一个试验老师的问题，学生可以发现事件A的发生没有影响事件B发生的概率。
试验3：教师继续引导，在试验2的背景下，再让同学们计算，并再次比较刚才的计算结果，会有什么发现？
[设计意图]通过计算，引导学生发现事件A不发生也不影响事件B发生的概率
探究4：教师对试验2下计算的三个结果进行总结，事件A发生不发生都不影响事件B发生的概率，我们把这样的两个事件称为是相互独立的，也就是本节课我们学习的主要内容，教师在黑板上给出相关定义，指导学生看课本P51第九行至第十一行的内容，并标出关键词。
相互独立事件的定义：
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，P(B|A)=P(B)，这时我们称两个事件相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。
[设计意图]通过试验的探究，让学生自己发现问题，并找到相应结论，阅读课本可以让学生加深对知识的理解。
（二）合作探究 概念深化
思考1：，，这个式子的意义是什么？
[设计意图] 把本节的新定义拿来再研究，启发学生观察把分母乘过来的结果，这个结果让学生自己探究意义，从而为本节课的第二个重要知识点---相互独立事件的概率乘法公式做铺垫，教师提出这个公式是用来判定两个事件是否是相互独立事件的依据，并提醒同学们在后面我们可以用这个公式来进行判断。
重要知识---相互独立事件的概率乘法公式
思考2：？
[设计意图] 这个问题比较抽象，学生会遇到困难，此时教师应该以通俗易懂的方式将该问题讲解清楚，，并鼓励学有余力的同学可以去图书馆借阅概率论相关书籍自己研究其严谨证明过程，这样可以让大多数同学理解这个结论，并对渴望研究的同学提供机会。
（三）尝试应用，巩固概念
环节1、小组讨论由学生举出生活中相互独立的两个事件
环节2、教师给出两个实例让学生运用所学判断是否是相互独立事件
①在期末考试中，
事件A：同学甲获得数学第一名；
事件B：同学乙获得数学第二名。
②一个家庭有两个孩子，假定生男生女等可能的，A=“一个家庭有男孩，有女孩”，B=“一个家庭至多有一个女孩”
活动1：学生很快可以回答第一个例子是相互独立的，对第二个例子可以小组内讨论，最后小组代表回答问题。
[设计意图]先用一个简单的例子让同学们巩固相互独立事件的定义 ，第二个例子是结合大学概率课本上的一个经典的不是相互独立的两个事件的例子，这个问题会让学生一下子感知不出到底是不是，教师让同学们小组讨论，集合大家的智慧找到解决的办法，看看同学们能否用上前面的乘法公式来判断。
活动2：当第二个例子讲解完后，可能会有同学提出三个孩子是否是相互独立的，如果提出的，可以让同学们小组讨论自行解决，如果没有，老师可以当做一个课下思考。
（四）知识应用
1、典例分析
例1、经过多年努力，中国女排时隔11年再次站上世界冠军的领奖台，她们和中国男篮双双获得了里约奥运会的参赛资格，已知女排夺冠的概率是0.7，男篮夺冠的概率是0.6，那么两只球队双双夺冠的概率是多少？
[设计意图] 规范步骤，让学生在应用知识的过程中做到严谨，完善。让学生在板演过程中找到问题，解决问题。
引申：1、只有女排夺冠的概率是多少？
2、只有一支球队夺冠的概率是多少？
3、至少有一队夺冠的概率是多少？
[设计意图] 变式的练习让学生熟悉概率乘法公式的应用，在不同题设背景下加深对这个公式的理解。
2、前后呼应：PK科比
练习完例1和三个变式，把本节课开始的问题拿过来解决，相信同学们会很快解决出来，这样设计的目的是前后呼应，带着问题进入，学习新知后解决问题，学生很感兴趣，因为他们可以马上学以致用，此时可以再带动一下课堂气氛。
3、乘法公式推广
1、若A、B是相互独立事件，则有
2、如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即：
4、例2、在一段线路中串（并）联着3个自动控制的常开开关，假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
[设计意图] 例2是多个事件相互独立的例子，先设计一个简单的串联电路，并提问“怎样才能正常工作”，学生在回答过程中要提醒三个开关都闭合是相互独立事件，进而可以运用三个事件的概率乘法公式。在并联电路中，可以让学生自由发挥，可以正面去做，也可以从对立事件角度去解决，反复强调本节的重点，事件的相互独立性，并对学生的回答进行点评总结。
（五）小结
请你归纳总结本节课的收获，并
活动：学生思考后个别回答,师生共同补充完善。
学生总结
1、相互独立事件的定义
2、两个相互独立事件的概率乘法公式
教师总结 事件独立关系找
规范书写不能少
正难则反要牢记
灵活运用最重要
[设计意图] 数学学习的过程，是一个不断探究、不断总结的过程。学生自己梳理本节所学知识，充分实现了学生的主体地位，这样既发展了学生的概括总结能力和表达能力，又使学生对知识有了一个系统的理解与认识。
三、课后设计
1、布置作业
基础题：课本练习A 1-5 发展题：课本练习B
[设计意图]基础题和检测练习可以使大部分同学巩固本节所学知识。发展题激励学生自己提出问题，用自己己有的概率统计知识去解决问题，同时使教师下节课的教学有的放矢。
2、评价检测：在完成检测练习的基础上，结合量规进行全面评价。
[设计意图]通过多元化的评价，帮助学生正确地认识自己的态度、能力、知识等方面的成就和问题，增强自尊心与自信心，改进学习方法，提高学习质量。
总之，素质教育的课堂关键在于教师能否根据学科特点和学生的心理特征，以恰当的教学方法诱发学生学习；以生动的直观形象推动学生学习；以融洽的情感和氛围掀起学生学习；以巧妙的语言去激发学生学习；以丰富的数学美刺激学生学习；以人性解放式的教学组织形式和多媒体现代技术在课堂上的运用实施学生学习。只有把这些课前、课上和课后的工作做扎实了，才能使课堂教学高潮迭起、效率倍增。
课件21张PPT。事件的独立性我班同学PK科比若科比的投篮命中率为0.91，自己组为A队
班长和体育委员命中率都为0.6,组为B队，三人轮流投篮一次（ B队中有一人投中即可获胜）。请问A、B两队谁获胜概率更大？问题探究试验1 在大小均匀的五个球中，有3个红球，2个白球，
每次取一 个，不放回的取两次，设事件A的发生影响事件B发生的概率了吗？试验2 在大小均匀的五个球中，有3个红球，2个白球，
每次取一 个，有放回的取两次，设问题探究事件A的发生影响事件B发生的概率了吗？概念形成 相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，定义：这时我们称两个事件相互独立，并把这P(B|A)=P(B)，两个事件叫做相互独立事件思考1：判断相互独立事件的重要依据相互独立事件的概率乘法公式思考2：概念深化概念形成 理解巩固①在期末考试中，
事件A：同学甲获得数学第一名；
事件B：同学乙获得数学第二名。判断：下列哪些事件相互独立。是A=“一个家庭有男孩，有女孩”B=“一个家庭至多有一个女孩”②一个家庭有两个孩子，假定生男生女等可能的不是W={（男、男）， （男、女），
（女、男）， （女、女）}B={（男、男）， （男、女）， （女、男）}A={（男、女）， （女、男）}A、B不独立AB={（（男、女）， （女、男）}概念形成 理解巩固知识运用解：A=“女排夺冠”，B=“男篮夺冠”记事件由题知：A,B相互独立判关系套公式答：所以两只球队双双夺冠的概率是0.42写答案例1、经过多年努力，中国女排时隔11年再次站上世界冠
军的领奖台，她们和中国男篮双双获得了里约奥运
会的参赛资格，已知女排夺冠的概率是0.7，男篮夺
冠的概率是0.6，那么两只球队双双夺冠的概率是多少？变式练习例1、经过多年努力，中国女排时隔11年再次站上世界冠
军的领奖台，她们和中国男篮双双获得了里约奥运
会的参赛资格，已知女排夺冠的概率是0.7，男篮夺
冠的概率是0.6，那么两只球队双双夺冠的概率是多少？引申：下列情况中概率分别为多少？1、只有女排夺冠的概率是多少？2、只有一支球队夺冠的概率是多少？3、至少有一队夺冠的概率是多少？0.280.460.88我班同学PK科比若科比的投篮命中率为0.91，自己组为A队
班长和体育委员命中率都为0.6,组为B队，三人轮流投篮一次（ B队中有一人投中即可获胜）。请问A、B两队谁获胜概率更大？1.若A、B是相互独立事件，则有2.推广：
如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即：相互独立事件的概率乘法公式推广拓展应用例2、在一段线路中串联着3个自动控制的常开开关，
假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是
0.7,计算在这段时间内 线路正常工作的概率.并0.343拓展应用例2、在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，
假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是
0.7,计算在这段时间内 线路正常工作的概率.拓展应用例2、在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，
假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是
0.7,计算在这段时间内 线路正常工作的概率.课堂小结：1、相互独立事件的定义2、两个相互独立事件的概率乘法公式今天的收获:事件独立关系找
规范书写不能少
正难则反要牢记
灵活运用最重要课后作业：必做题：P53 习题A 1-5
选做题： P54 习题B
《事件的独立性》检测练习
（限时30分钟，满分100）
小组： 姓名： 成绩：
一、选择题 1．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为( ) A．p＋q－2pq B．p＋q－pq C．p＋q?? D．pq
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( ) A.1425 ??B.1225 C.34 ?? D.35 3．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是( ) (假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响) A.1320? ? ??B.15? ?C.14? ? ??D.25 4．(2010?湖北理，4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( ) A.512? ? ??B.12?? C.712? ???D.34 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A． B． (1－)＋ (1－) C．1－ D．1－(1－)(1－) 6．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( ) A．2个球都是白球 B．2个球都不是白球 C．2个球不都是白球 D．2个球中恰好有1个白球 7．(2010?广州模拟)在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是( ) A.320? ?? ?B.15?? C.25? ?? ?D.920 8．若事件A、B发生的概率都大于零，则( ) A．如果A、B是互斥事件，那么A与B也是互斥事件 B．如果A、B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件 C．如果A、B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件 D．如果A＋B是必然事件，那么它们一定是对立事件 二、填空题 9．设A、B互不相容，且P(A)＞0，P(B|A)＝__________，若A、B相互独立，且P(A)＞0，则P(B|A)＝______________. 10．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A＋B)＝________，P(A|B)＝________. 11．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________． 12．(2010?重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________． 三、解答题 13．有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验． (1)求恰有一件不合格的概率；
(2)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)．
14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
15．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
16．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a、b、c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率；(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小(说明理由)．
答案解析
一、选择题 1． [答案] A [解析] 恰有一株成活的概率为p(1－q)＋(1－p)q＝p＋q－2pq，故选A. 2． [答案] A [解析] P甲＝810＝45，P乙＝710，所以P＝P甲?P乙＝1425. 3． [答案] D [解析] 设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝0.15，P(B)＝0.14.又A，B相互独立，则A，B也相互独立，则P(A B)＝P(A)P(B)＝0.45×0.34＝0.35，故至少有一项合格的概率为P＝1－P(A B)＝0.25，故选D. 4． [答案] C [解析] 由题意P(A)＝12，P(B)＝16，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－12×56＝712. 5． [答案] B [解析] 设甲解决问题为事件A，乙解决问题为事件B，则恰有一人解决为事件AB＋A B，由题设P(A)＝p1，P(B)＝p2，∴P(AB＋A B)＝P(AB)＋P(A B)＝P(A)?P(B)＋P(A)?P(B) ＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)． 6． [答案] C [解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝13×12＝16，∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝56. 7． [答案] C [解析] 解法一：考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，则至少1人去此地的概率为P＝P(A)?P(B－)＋P(A－)P(B)＋P(A)?P(B)＝14×45＋34×15＋14×15＝25.故选C. 解法二：考查对立事件P＝1－P(A－)?P(B－)＝1－34×45＝25. 8． [答案] C [解析] 当事件A、B如图(1)所示时，A与B互斥，但A与B不互斥，故A错；当事件A、B如图(2)时，A＋B是必然事件，但不是对立事件，故D错；如果A与B相互独立，则A的发生与否对B没有影响，故不是互斥事件；A与B不相互独立时也未必是互斥事件． ? 二、填空题 9． [答案] 0 P(B) [解析] ∵A、B互不相容，∴A发生则B一定不发生，从而P(B|A)＝0；又A、B相互独立时，P(B|A)＝P(B)． 10 [答案] 0.65 0.3 [解析] ∵A、B相互独立，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A)?P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65. P(A|B)＝P(A)＝0.3. 11． [答案] 1124 [解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝12×1－13×1－14＝14， 乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝13×1－12×1－14＝18， 丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝14×1－12×1－13＝112. 甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1＋A2＋A3)＝14＋18＋112＝1124. 12． [答案] 370 [解析] 本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法． 设加工出来的零件为次品为事件A，则A为加工出来的零件为正品． P(A)＝1－P(A)＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝370. 三、解答题 13． [解析] 设从三种产品中各抽取一件，抽到合格品的事件为A、B、C. (1)∵P(A)＝0.90，P(B)＝P(C)＝0.95， ∴P(A)＝0.10，P(B)＝P(C)＝0.05. 因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为： P(A?B?C)＋P(A?B?C)＋P(A?B?C)＝P(A)?P(B)?P(C)＋P(A)?P(B)?P(C)＋P(A)?P(B)?P(C)＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95＝0.176. (2)方法1：至少有两件不合格的概率为 P(A?B?C)＋P(A?B?C)＋P(A?B?C)＋P(A?B?C)＝0.90×0.052＋2×0.10×0.05×0.95＋0.10×0.052＝0.012. 方法2：三件产品都合格的概率为P(A?B?C) ＝P(A)?P(B)?P(C)＝0.90×0.952＝0.812. 由(1)知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P(A?B?C)＋0.176]＝1－(0.812＋0.176)＝0.012. 14． [解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则 P(A)＝C26C14＋C36C310＝60＋20120＝0.23， P(B)＝C28C12＋C38C310＝56＋56120＝0.1415. ?(2)方法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(A?B)＝P(A)?P(B)＝1－0.23×1－0.1415 ＝0.145. 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P＝1－P(A?B)＝1－0.145 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445. 方法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P＝P(A?B)＋P(A?B)＋P(A?B)＝P(A)?P(B)＋P(A)?P(B)＋P(A)?P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445. 15． [解析] (1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有P(A?B)＝14，P(B?C)＝112，P(A?C)＝29， 即P(A)?[1－P(B)]＝14， ①P(B)?[1－P(C)]＝112，? ②P(A)?P(C)＝29.? ③ 由①、③得P(B)＝1－98P(C)，代入②得 27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0. 解得P(C)＝23或 119(舍去)． 将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、 P(B)＝14， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23. (2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56. 16．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a、b、c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响． (1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率； (2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小(说明理由)． [解析] 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A、B、C，则P(A)＝a、P(B)＝b、P(C)＝c. (1)应聘者用方案一考试通过的概率 P1＝P(A?B?C)＋P(A?B?C)＋P(A?B?C)＋P(A?B?C)＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc＝ab＋bc＋ca－2abc， 应聘者用方案二考试通过的概率为 P2＝13P(A?B)＋13P(B?C)＋13P(A?C)＝13(ab＋bc＋ca)； (2)因为a、b、c∈[0,1]，所以P1－P2＝23(ab＋bc＋ca)－2abc＝23[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)]≥0，故P1≥P2.即采用第一种方案，该应聘者通过的概率大．
