《独立重复试验与二项分布》教学设计
教学目标：
知识与技能目标：
能够从具体实例中归纳总结出n次独立重复试验的概念，并准确描述概念特征；通过由特殊到一般的引例分析，总结n次独立重复试验概率计算的规律，总结出二项分布的形式；
过程与方法目标：
能解决与课本例题同等难度或通过对问题进行观察、对比和交流讨论，能把问题化归为二项分布问题进行解决；
情感态度价值观目标：
通过经历对实际问题的解答，感受数学的应用价值，体会数学来源于生活并应用于生活。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
【课前游戏】
在学习本节课内容之前，我们先来玩一个抽奖游戏吧！游戏规则如下：我手里的口袋中有3个白球，2个黄球，现一次性从中抓出3个球，看其中黄球的个数，若其中恰有一个黄球为三等奖，恰有两个黄球为二等奖，若没有黄球则为一等奖，来试试你的手气吧！
学生上前来抓球，摸出球对应的奖项有相应奖品
学生对这种摸球游戏非常感兴趣，上课前的紧张状态一扫而光，于是本节课有着非常热闹的开端，学生思维也较为放松。
【问题引入】
问题1：
请问抓到奖的同学，你能否运用你所学概率知识来求一下你抓到这个奖的概率是多少？如果抓出三个球中黄球个数为随机变量，那么它服从的是什么分布？
问题2：
还是这个口袋中的这几个球，如果我依次从中有放回的抓出3个球，其中恰有一个黄球的概率是多少呢？如何计算？
请抓奖的同学回答问题，其他同学也进行思考
在轻松的游戏过后，通过问题让学生的思维回到课堂中来，引导学生先运用前面所学知识解决问题1、2，进行简单的知识回顾，同时紧接着问题3又将学生引入到对未知问题的探究中来，不自觉的开始本节课的思考。
【概念形成】
对于上面提出的问题3，学生应该是没办法直接给出解答的，因此给予学生充分时间讨论，然后引导学生形成独立重复试验的概念，再进行解答。
独立重复试验定义：
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验结果相互独立，一般称它们为n次独立重复试验。
从中提炼关键词：
相互独立、等可能性、重复性
学生进行小组交流，形成对独立重复试验概念的理解后顺利解决问题3.
问题的解决并不是由教师手把手教出来的，而是学生面对困惑独立探究进而接近问题本质的过程，一定不能由老师全权代劳，所以，问题抛出后，给足学生讨论时间，让学生在互相交流中感受知识形成。
【生活实例】
问题3：
生活中有很多类似的独立重复试验，你能否举几个例子？
学生思考后发言
引发学生观察生活细节，体会知识来源于生活，感受到所学知识的有趣及有用之处。
【深化探究】
回到刚才的问题2，
如果第一次是黄球，后两次都是白球，概率应该是
还有第二次或第三次是黄球的两种情况，概率计算方法同上。
我们可以看到这三种情况的概率都是一样的，都是一个乘以两个，所以可以合起来
另外3可以写成，因为三种情况的产生实际上就是三个位置选出一个放黄球。
因此所求概率为
那么三个球中恰有两个黄球的概率也能类比给出，继续思考如下问题：
问题4：
若随机变量X表示黄球个数，你能否列出X的分布列？
学生交流后发言，在这个过程中体会思路的形成及问题解决的过程。
这个问题的解决是本节课难点的突破点，因此，这里的处理做的很细，每一步的概率如何求解以及为什么都要让学生准确理解，这样，接下来的问题便能迎刃而解了。
【模型建构】
问题5：
问题推广：如果有放回的依次摸出n个球，其中黄球数X的分布列如何求？
为了让学生有思路可循，我提出如下思考帮助学生解决问题。
思考1：摸出的n个球中黄球数X的所有可能取值有哪些？
思考2：每一次摸出黄球的概率是多少？
思考3：摸出的n个球中有1个黄球的概率是多少？
思考4：摸出的n个球中有k个黄球的概率是多少？
解决以上几个问题后，学生能顺利写出X的分布列，并从中发现概率与二项展开式的关系，进而提出伯努利概型和二项分布的定义。
若随机变量X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，每次试验中事件A发生的概率都为p，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为：
于是得到随机变量X的概率分布,
此时我们称随机变量X服从参数为n,p 的二项分布
记作：X~B（n,p）
学生思考几个小问题，进而从中体会每一步设置的意义，体悟知识形成的过程
问题5的设置是由特殊到一般的数学思想的体现，学生由特殊推广到一般的能力不强，所以拆分几个小的思考题帮助学生进行探究，在这样的设置下，相信学生不仅能顺利解决问题，并且还能从中感受到问题解决的方法与途径，体会其中渗透的数学思想，学习能力有相应提高。
【数学文化】
学生也许会疑惑为什么二项分布用字母B来表示，从这里对数学家雅各布·伯努利进行简单介绍。
雅各布·伯努利献是在概率论研究方面；他一生最有创造力的著作就是 1713年出版的《猜度术》；
伯努利家族是一个数学家辈出的家族。
除了雅各布 · 伯努利外，在 17 - 18世纪期间，伯努利家族共产生过11位数学家。
大屏幕展示伯努利的照片及生平简介，为学生简单介绍。
学生对伯努利的了解较少，通过简单介绍伯努利对概率论的巨大贡献，让学生体会到知识来之不易，体会数学家的伟大，了解数学的美，渗透数学文化。
【知能达标】
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1/3,求这名学生在上学路上遇到红灯次数X的分布列.
学生上黑板板书，教师巡视。
学生做完后我对板演进行点评，并从此题的解题过程中提炼出如下几点：
判概型；定参数、写概率、分布列
这样的几个过程在解决相应求分布列问题是需要依次思考的，通过强调帮助学生建立规范答题的意识。
学生板演，教师巡视并指导。
通过这个环节的设置，不仅帮助学生及时应用所学知识，并且还建立规范答题的意识，在思路和书写上都有所提高。
【随堂检测】
（1）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是____;
（2）已知随机变量X服从二项分布，则______;
（3）抛掷一枚骰子3次，得到点数为6的次数记为X，则;
（4）在五次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是_______;
（5）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求甲恰好比乙多击中目标2次的概率_______.
通过这几个小题从本节课所学知识点的各个方面对学生进行考察，及时反馈本节课所学知识，了解学生掌握情况，以便后面对教学进行及时调整。
【归纳小结】
知识上：了解独立重复试验的定义，并学会了通过看三个特征来判断一个试验是不是独立重复试验；明确伯努利概型的定义，符合这个概型下的随机变量的分布列叫做二项分布；
方法上：由特殊到一般的数学思想，以及解题四步走。
学生思考并组织语言回答
通过回顾本节课内容并用自己的语言来总结，锻炼学生的语言表达能力，并帮助学生再一次回顾所学知识，及时巩固。
【课后作业】
巩固与提高： 课本??56?57 练习??、??
探索与研究： 研究高尔顿（钉）板与二项分布的关系.
课后题目的练习加深对本节课内容的理解；探索与研究又为有能力同学提供进一步探究的平台，帮助学生有适合自己的发展。
【板书设计】
2.2.3独立重复试验与二项分布
一、独立重复试验
相互独立 学生板演例题
等可能性 步骤强调
重复性
二、二项分布（伯努利概型）
板书设计清楚整洁，便于突出知识目标。
课件18张PPT。独立重复试验与二项分布抽奖啦！规则：口袋中有5个球，其中3个白球，2个黄球现一次性从中抓出3个球，看其中黄球的个数：一等奖：没有黄球二等奖：恰有2个黄球三等奖：恰有1个黄球概念形成 问题：
口袋中有5个球，其中3个白球，2个黄球.若
依次有放回的摸出3个球，则其中恰有一个黄球的概率是多少？
概念形成 在 下， 做n次试验，各次试验结果 ，一般称它们为相同的条件重复地相互独立n次独立重复试验问题探究 问题一：
其中恰有一个黄球的概率是多少？
口袋中有5个球，其中3个白球，2个黄球.从中依次有放回的摸出3个球：问题探究 问题二：
若随机变量X表示其中黄球的个数，你能否写出X的分布列？ 口袋中有5个球，其中3个白球，2个黄球.从中依次有放回的摸出3个球：问题推广 问题三：
若随机变量X表示其中黄球的个数，你能否写出X的分布列？ 口袋中有5个球，其中3个白球，2个黄球.从中依次有放回的摸出n个球：问题推广 问题三：若随机变量X表示其中黄球的个数，你能否写出X的分布列？ 口袋中有5个球，其中3个白球，2个黄球.从中依次有放回的摸出n个球：思考1：摸出的n个球中黄球数X的所有可能取值有哪些？思考2：每一次摸出黄球的概率是多少？思考3：摸出的n个球中有1个黄球的概率是多少？问题推广 问题三：若随机变量X表示其中黄球的个数，你能否写出X的分布列？ 口袋中有5个球，其中3个白球，2个黄球.从中依次有放回的摸出n个球：思考1：摸出的n个球中黄球数X的所有可能取值有哪些？思考2：每一次摸出黄球的概率是多少？思考3：摸出的n个球中有k个黄球的概率是多少？问题推广 问题三：若随机变量X表示其中黄球的个数，你能否写出X的分布列？ 口袋中有5个球，其中3个白球，2个黄球.从中依次有放回的摸出n个球：于是得到随机变量X的概率分布如下：概念形成 此时我们称随机变量X服从参数为 的二项分布 记作： 若随机变量X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，每次试验中事件A发生的概率都为p，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为：
雅各布·伯努利
(Jakob Bernoulli?,1654－1705)，名人简介 对数学最大的贡献是在概率论研究方面；
一生最有创造力的著作就是 1713年出版的《猜度术》；
伯努利家族是一个数学家辈出的家族。
除了雅各布 · 伯努利外，在 17 - 18世纪期间，伯努利家族共产生过11位数学家。知能达标 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 .求这名学生在上学路上遇到红灯次数X的分布列.当堂检测判断下列试验是不是独立重复试验：（1）依次投掷4枚质地不同的硬币，投掷5次；
（2）抽奖箱中有8张奖券，5张没奖，3张有奖，从中有放回依次抽取了3张奖券；
（3）箱子中有10件正品，3件次品，从中依次抽取4件产品；
（4）每棵树苗成活概率为0.8，在校园里栽种了200棵树苗。不是不是是是当堂检测小结归纳独立重复等可能条件缺一可不行二项分布伯努利规范表达一定赢通过本节课的学习你有什么收获？课后延伸巩固与提高：课本P56-57 练习A、B探索与研究：研究高尔顿（钉）板与二项分布的关系《独立重复试验与二项分布》评测练习
一、选择题
1．独立重复试验应满足的条件是（ ）．
①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中某事件发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
2．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（ ）
A． B． C． D．
3．若X～B（50，0.1），则P（X≤2）等于（ ）．
A．0.0725 B．0.00856 C．0.91854 D．0.11173
4．设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它 （ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
5．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是（ ）．
A． B． C． D．
6．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰好有3次取到白球的概率为（ ）．
A． B． C． D．
7．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
8．某仪表内装有m个同样的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作，如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率都是p，则这段时间内这个仪表不能工作的概率是（ ）．
A．pm B．(1－p)m C．1－pm D．1－(1－p)m
二、填空题
9．下列四个随机变量：
①随机变量ξ表示重复投掷一枚硬币n次中正面向上的次数；
②有一批产品共有N件，其中M件是次品，采用有放回抽取的方法，用η表示n次抽取中出现次品的件数；
③某命中率为p（0＜p＜1）的射手对同一目标进行射击，一旦命中目标则停止射击，记ξ为该射手从开始射击到命中目标所需要的射击次数；
④随机变量ξ为n次射击中命中目标的次数．
上述四个随机变量服从二项分布的是________．
10．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________．（用数字作答）
11．某人猜谜的猜中率为60％，他共猜10个谜，其中猜中的个数最多为________个，10次猜谜猜中个数最多的概率为________．（只列出式子即可）
12．设有八门大炮独立地同时向某一目标各射击一发炮弹，若有不少于2发炮弹命中目标时，目标被击毁．若每门大炮命中目标的概率都是0.6，则目标被击毁的概率约为________．（保留3位小数）
三、解答题
13．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求：移栽的4株大树中，
（1）至少有1株成活的概率；
（2）两种大树各成活1株的概率．
14．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
（1）该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．
15．某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则确定为B级，若投中4次及以上则可确定为A级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5.
（1）求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；
（2）设阿明投篮投中次数为X，求X的分布列；
（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 由独立重复试验的概念可知应选C。
2．【答案】B
【解析】“至少命中一次”的对立事件为“4次都不命中”，
由相互独立及独立重复试验的概率公式可得，
解得。
3．【答案】D
【解析】 由二项分布的公式可得。
4. 【答案】D
【解析】，n>5,n=6。
5．【答案】C
【解析】 两班各自派出1名同学是相互独立事件，设A、B分别代表甲班、乙班派出的是三好学生，则AB代表两班派出的都是三好学生，则。
6．【答案】D
【解析】 本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白球3次的概率为
。
7. 【答案】 A
【解析】即前三局甲胜2局负1局，第4局获胜
8．【答案】D
【解析】 所求事件的对立事件为“每个元件都不损坏”，概率为(1－p)m，所以所求概率为1―(1―p)m。
9．【答案】①②④
【解析】是否为独立重复试验中的结果。
10．【答案】0.9477
【解析】 所求事件可分两类，即3人或4人被治愈，∴所求概率P=0.94+×0.1×0.93=0.9477。
11．【答案】6
【解析】 本题就是求在10次独立重复试验中，事件A发生6次的概率，利用独立重复试验的概率公式求解。
12．【答案】0.991
【解析】 。
13．【解析】设Ak表示第k株甲种大树成活，k=1，2，
表示第株乙种大树成活，=1，2。
则A1，A2，B1，B2相互独立，且 ，。
（1）至少有1株成活的概率为
。
（2）由独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式知，所求概率为
。
14．【解析】（1）设A表示“资助总额为零”这个事件，则。
（2）设B表示“资助总额超过15万元”这个事件，则
。
15. 【解析】（1）阿明投篮4次才被确定为B级的概率.
（2）由已知X—B，X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况：
①5次投中3次，有种投球方式，其概率为；
②投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是
；
③投中1次分别有中否否、否中否否，概率为；
④投中0次只有否否一种，概率为；
所以阿明不能入围这一事件的概率是。
