正切函数的图像和性质教学设计
一、教学目标
1、知识与技能目标：
（1）类比研究正弦函数图像性质的方法，能准确画出正切函数的函数图像。
（2）掌握正切函数图像结构，特征。
（3 ）用正切函数图像解决函数有关的性质。
2、过程与方法目标 ：
（1）通过创设问题使学生复习验证周期函数的方法并说明正切函数的周期性。
（2）理解并掌握作正切函数图像的方法。
（3）理解用函数图像解决有关性质问题的方法。
3情感态度与价值观目标：
（1）培养学生对问题归纳总结研究探索问题的能力
（2）培养学生对同类问题善于类比的研究方法和善用数形结合的思想来研究问题的数学方法。二、教学重难点：
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图像；正切函数的性质
教学难点：正切函数的性质的简单应用
三、教学方法：启发式教学
四、教具与学具：课件、几何画板
五、教学过程：
1、（1）设置情境
通过一首诗“东升西落照苍穹，影短影长各不同，昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣”，引入课题，激发学生学习兴趣。前面我们研究了正、余弦函数的图像和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图像，以及它具有哪些性质。
（2）问题引入
问题1：我们是如何做出正弦函数图像的呢？
答：第一步，画出正弦函数在一个周期内的图像；第二步，将图像拓展到整个定义域内。
问题2：在单位圆中如何画出 的正切线？利用几何画板演示
问题3：正切函数是否为周期函数，如果是，周期为多少？
∴ 是周期函数，是它的一个周期．我们还可以证明，是它的最小正周期．
2、探索研究
（1）、探究图像
由研究正、余弦函数的图像和性质的方法引出正切函数的图像和性质。下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制正切函数的图像．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 的图像。
作法如下：
把单位圆右半圆分成8等份；
分别在单位圆中作出正切线；
平移；
连线．
然后根据周期性，将图像左右平移，画出整个定义域内的图像，正切函数的图像，我们称之为正切曲线。
引导学生观察图像，说出争取先被无穷多支相互平行的直线 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成。直线是正切曲线的渐进线。
组织学生讨论，类比正弦函数用三点两线做出一个周期图像，然后利用周期性左右平移得到整个定义域内的图像。
（2）、探究性质
请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
①定义域：
②值域：
师：正切函数在其定义域上有最值吗?生：没有
注：理解当小于，且时，
理解当 大于大于 ，且时，
③周期性：正切函数是周期函数，周期是。
④奇偶性： ，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 对称．原点就是正切函数的对称中心，除了原点含有其他的对称中心吗？ 对称中心为 。
调性：由正切曲线图像可知：正切函数在开区间 内都是增函数．
疑点解析：
问题4：正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
问题5：正切函数在第一象限是单调递增的吗？为什么？
通过两个问题目的是强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数b.正切函数在每个单调区间内都是增函数
3、例题分析
【例1】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
让学生板演，根据学生步骤，老师进行纠正补充，强调做题的格式，进行规范步骤。
引导学生分析：比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。
比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决．类比得到比较两个正切函数值的大小的解法
解：（1）
又? ∵，在上是增函数
∴
（2）∵＝
又?? ∵0＜＜＜ ，函数 ， 是增函数，
∴?＜ 即 ．
解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决．
练习1：比较大小：
（学生口答）（＜）
（学生口答）（＞）
【例2】求下列函数的定义域：
组织学生小组讨论，最后派出一名代表说明做题思路，并且试试说出需要注意的易错点，有学生来总结做题的思路。
解：（1）要使函数 有意义，
只需
（2）由
根据正切函数图像，得
小结：求函数的定义域一定不能忽略正切函数自身的定义域，解三角函数不等式是结合图像，体现了数形结合的思想。
4．小结：
（1）本节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图像和性质
（2）． 本节课我们研究了正切函数的图像和性质，根据图像研究相关性质并灵活与用于解题中。．
5.布置作业：
必做题：课本练习A1、2、3、4 练习B1、4、5、6
选做题：
六、板书设计
正切函数的图像和性质
一、引入
三、性质
二、图像
四、例题
课件21张PPT。正切函数的图象和性质
“东升西落照苍穹，影短影长角不同，昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。”前面我们已经研究了正弦、余弦函数的图像和性质，那么正切函数又有什么特定的性质呢？ 随着太阳高度的变化，地面物体的影子的长度也随之变化，在这些变化之中蕴藏着物体影子长度与光线角度之间的关系，这个关系是什么呢？1-10yx●●●●●●●●●●●●●问题1、我们是如何作出正弦函数图象呢？第一步：画出正弦函数在一个周期内的图像oyx第二步：将图像拓展到 整个定义域内正切线: AT∴正切函数是周期函数，周期为 最小正周期为问题3、正切函数是否为周期函数，如果是，周期为多少？问题2、在单位圆中如何画出角 的正切线？我们先来作一个周期内的图象。想一想：先作哪个区间上的图象好呢？为什么？类比、实践，展示成果正切函数图象正弦函数图象类比作法:(1) 等分：(2) 作正切线(3) 平移(4) 连线把单位圆右半圆分成8等份。利用正切线画出函数 ， 的图像: 得到正切函数的图象，并把它叫做正切曲线根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右平移，（每次平移 个单位长度)···三点两线作一个周期图象，然后有周期性左右平移得到整个定义域内的图象正切曲线被无穷多支相互平行的直线
隔开的无穷多支形状相同曲线组成的探究互动⑷ 奇偶性： 奇函数，⑵ 值域：⑶ 周期性：R(6)单调性：⑴ 定义域：正切函数y=tanx的性质P(x,y) ·P′ (-x,-y ) ·图象关于原点对称。(5) 对称性： 无对称轴对称中心：0(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？(2)正切函数在第一象限是单调递增的吗？为什么？ 问题4： 在每一个开区间
， 内都是增函数。问 题 讨 论强调：2.正切函数在每个单调区间内都是增函数1.不能说正切函数在整个定义域内是增函数解：（1）∵ 又 ∵ ，在 上是增函数 ∴ 例题讲解 又∵ ，函数 ，
是增函数， ∴ 即 ． 例题讲解 解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决． 练习1：比较大小：
勿忘正切函数本身的定义域！！！例题讲解数形结合思想解 :值域 : R对称中心及周期∵tant的对称中心（ ，0）,
例题讲解整体代换思想求函数 的定义域、值域，并指出它的
单调性、奇偶性和周期性；练习3答案: （1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 奇函数小结：（3）主要思想方法：类比、数形结合布置作业必做题：
练习A1、2、3、4
练习B1、4、5、6
选做题：
思考： 类比正弦型函数 的性质，
你能总结出正切型函数 的性质吗？思考： 类比正弦型函数 的性质，
你能总结出正切型函数 的性质吗？正切函数的图像和性质评测练习
1、下列说法正确的是( )
A．y＝tanx是增函数
B．y＝tanx在第一象限是增函数
C．y＝tanx在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数
D．y＝tanx在某一区间上是减函数
2、函数y＝3tan2x的最小正周期是( )
A．2π B．π
C. D.
3、在下列函数中，既是周期函数，又是偶函数的是( )
A．y＝tan B．y＝|tanx|
C．y＝tan|x| D．y＝tan
4、函数y＝的定义域为________．
5、y＝tan(2x＋)的单调递增区间为________
6、给出下列命题：
①函数y＝cosx在第三、四象限都是增函数；
②函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；
③函数y＝sin(x＋π)是偶函数；
④函数y＝tan 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝tan(2x＋)的图象．
其中正确命题的序号是________．
7、若y＝tan(2x＋θ)的图象的一个对称中心为(，0)且－<θ<，求θ的值．
8、求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域．
9、求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心．
