第二章 点、直线、平面之间的位置关系（立体几何计算题之AB卷）(向量法）解析版

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A卷
1．如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，点是棱上的动点.
（Ⅰ）当平面时，确定点在棱上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的余弦值.

【详解】
（Ⅰ）在梯形中，由，，得，
∴．又，故为等腰直角三角形.
∴.
连接，交于点，则
∥平面,又平面,∴.
在中，，
即时，∥平面.
（Ⅱ）
以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．
设，则，，，，．
设为平面的一个法向量，则，，∴，解得，∴．
设为平面的一个法向量，则，，
又，，∴，解得
∴．
∴二面角的余弦值为．
2．如图,四棱锥的底面是矩形，平面， 且SA⊥底面，若为直线上的一点，使得．

（1）求证：为直线的中点；
（2）求点到平面的距离．
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,1)，
设P(1,, 0)
(1)，
且则
即
∴因此P为线段BC的中点．
(2) 设是平面SCD的一个法向量，

由(1)知：,
由, 得
∴, 取, 则得
设点P到平面SCD的距离为,则
因此点P到平面SCD的距离为．
3．如图，等腰梯形中,,为的三等分点，以为折痕把△折起，使点 到达点的位置，且与平面所成角的正切值为．
（1）证明:平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

【详解】

（1）证明：依题意得，
所以，
因为，所以平面平面．
（2）假设，由（1）过P作，垂足为O，则平面，
过O作，交于G.
以O为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，
则 即
令，得为平面的一个法向量.
同理可得平面的一个法向量为，
，
所以二面角的余弦值为．

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， M为PD的中点，PA⊥平面ABCD，PA=AD= 4, AB = 2.
（1）求证：AM⊥平面MCD；
（2）求直线PC与平面MAC所成角的正弦值.

【详解】
因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD，
又AM平面PAD，所以CD⊥AM,
又∵PA=AD=4,且M为PD中点，
所以AM⊥PD，
又∵CD∩PD=D,
所以AM⊥平面MCD
（2）因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD,
所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0,0,0），P(0,0,4)，C（2,4,0），M（0,2,2）


设平面MAC的一个法向量为=，

由⊥, ⊥，可得
令，则=（2，-1，1）
设直线PC与平面MAC所成的角为，
则，
所以直线PC与平面MAC所成角的正弦值为.
5．如图，在四棱锥中， 是等边三角形， ， .
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.

【试题解析】
（1）∵，
且是等边三角形
∴， ， 均为直角三角形，即， ，
∴平面
∵平面
∴平面平面
（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．

令， ，
∴， ， ， ．
设，则， ．
∵直线与所成角大小为60°，所以
，
即，解得或（舍），
∴，
设平面的一个法向量为．
∵， ，则
即
令，则，所以．
∵平面的一个法向量为，
∵， ，则
即
令，则， ，
∴．∴，
故二面角的大小为90°．
6．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．

求异面直线与所成角的余弦值；
求直线和平面的所成角的正弦值．
【解析】
试题分析：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值；
求出平面的法向量和，利用向量法能求出直线和平面的所成角的正弦值
解析：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…
∴，
∴COS＜＞==﹣
所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…
（2）设平面ABC的法向量为则
知
知取，…
则…
故BE和平面ABC的所成角的正弦值为




B卷



7．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且?

求证：；
线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【详解】
证明：，，，
，E为AD的中点，，
≌，，
，，，
又平面ABCD，平面ABCD，，
又，且PH，平面PEC，平面PEC，
又平面PEC，．

解：由可知∽，
由题意得，，
，
，，，，
、EC、BD两两垂直，
建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，
0，，0，，4，，0，，0，，
假设线段PC上存在一点F满足题意，
与共线，存在唯一实数，，满足，
解得，
设向量y，为平面CPD的一个法向量，且，，
，取，得，
同理得平面CPD的一个法向量，
二面角的余弦值是，
，
由，解得，
，
，
线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．
8．在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若底面是以为直角顶点的直角三角形，且，求二面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：连接，∵四边形是菱形，且，
∴为等边三角形.
取的中点，连接，，则，
又∵，
∴，
∵，、平面，
∴平面，
又∵平面，
∴.

（2）由（1）及题意可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设平面的法向量为，
则，可得，故可取.
设平面的法向量为，同理可取，
∴，
∴二面角的正弦值为.
9．已知三棱锥（如图）的平面展开图（如图）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】分析：（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而 PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．
（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
详解：（1）证明：
设的中点为，连接，．由题意得，
，，，
因为在中，，为的中点，
所以，
因为在中，，，，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面 平面.

（2）解：由平面，，如图建立空间直角坐标系，则

，，，，.
由平面，故平面的法向量为，
由，，
设平面的法向量为，则
由得：
令，得，，即，
.
由二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
10．如图，在三棱柱中，已知，，侧面.
（Ⅰ）求直线与底面所成角正切值；
（Ⅱ）在棱（不包含端点）上确定一点E的位置，
使得（要求说明理由）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求二面角的大小.

【详解】
解：（Ⅰ）在直三棱柱，平面ABC,
在平面ABC上的射影为CB.
为直线与底面ABC所成角，
，
即直线与底面ABC所成角的正切值为2.
（Ⅱ）当E为中点时，.
,，
，即.
又平面，平面 .
，平面ABE, 平面ABE ，.
（Ⅲ）取的中点G，的中点F，则，且，
,连结，设，连结，
则，且，
为二面角的平面角. ，，
∴二面角的大小为45°.
另解：以B为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则.
（Ⅰ），面ABC的一个法向量.
设与面ABC所成角为，则，
.
（Ⅱ）设，则，,
由，得，所以E为的中点.
（Ⅲ）由，得，又,
可求得面的一个法向量，
平面的一个法向量,
设二面角的大小为，则.
∴二面角的大小为45°.
11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.

（1）当时，求证：；
（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
【详解】
解：（1）∵顶点在底面的射影是，
∴面，由面，∴.
∵，，，连，
∴，，，，
∴，则，∴.
由，，∴面，
由面，∴，
∵菱形，，
∴.
（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，
∵，则，∴.
∵，则，∴，
设面的法向量为，由，解得.
由与面所成角的正弦值为，即有，解得.
设面的法向量为，由，解得.
∴二面角的余弦值.




12．如图，将边长为2的正方形沿对角线折叠，使得平面平面，又平面.

（1）若，求直线与直线所成的角；
（2）若二面角的大小为，求的长度．
【详解】
∵正方形边长为2 ∴，，
又平面，∴以点为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．

作，垂足为，∵平面平面，平面，平面平面，∴平面∵ ∴点为的中点，，
（1）∵
∴，，，，
∴， ∴
∴ ∴直线与直线所成角为；
（2）设的长度为，则
∵平面 ∴平面的一个法向量为
设平面的法向量为，又，
∴， ∴，解得：，取，则，
∴平面的一个法向量为
∴
∵二面角的大小为 ∴，解得：
∴的长度为．

















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