第二章 点、直线、平面之间的位置关系（立体几何小题专练）AB卷 解析版

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A卷
1．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为　(　　)

A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【答案】B
【解析】因为PB⊥α，AC?α，所以PB⊥AC，
又AC⊥PC，PB∩PC=P，
所以AC⊥平面PBC，又BC?平面PBC，
所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.
2．在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为，则， ∴． 则． ∴异面直线与所成角的余弦值为 ,故选：A．


3．已知异面直线，所成的角为，直线与，均垂直，且垂足分别为，，若动点在直线上运动，动点在直线上运动，，则线段的中点的轨迹所围成的平面区域的面积是( )
A．9 B．18 C．36 D．72
【详解】
设AB的中点为，过作AB的垂面，则PQ的中点M必在平面内，
设PA，QB在平面内的射影为在上的射影为，
则，且，
以为原点，以为坐标轴在平面内建立平面直角坐标系，
设，则，所以，即，
即点M的轨迹为菱形，且菱形轨迹所围成的区域的面积为，故选B.




4．如图，表面积为12π的球内切于正方体，则平面截球的截面面积为（　　）

A． B． C． D．
【详解】

设球的半径为r，由球O得表面积为12π，
得4πr2＝12π，则r，即正方体棱长为，
根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，
且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，△ACD1内切圆的半径是tan30°，
则所求的截面圆的面积是π2π．故选：C．
5．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．则下列命题中假命题是（ ）

（A）存在点，使得//平面
（B）存在点，使得平面
（C）对于任意的点，平面平面
（D）对于任意的点，四棱锥的体积均不变
【答案】B
【解析】
试题分析：当点为的中点时，由对称性可知也是的中点，此时//,因为，，所以//，故A正确；
假设，因为，所以。所以四边形为菱形或正方形，即。因为为正方体所以。所以假设不成立。故B不正确。
因为为正方形，所以，因为，，所以，因为，所以。因为，所以。同理可证，因为，所以，因为，所以。故C正确。
设正方体边长为，则。故D正确。
6．如图，已知正三棱锥，，，点，分别在核，上（不包含端点），则直线，所成的角的取值范围是_________.

【详解】
如下图所示：

过点作平面，垂足为点，则点为等边的中心，
由正弦定理得，
平面，易得，
当点在线段上运动时，直线与平面内的直线所成角的最小值，
即为直线与平面所成的角，设这个角为，则，
显然，当点位于棱的端点时，取最小值，此时，，则；
当点位于棱的中点时，则点位于线段上，且，
过点作交于点，
平面，平面，则，
又，，平面，
平面，，此时，直线与所成的角取得最大值。
由于点不与棱的端点重合，所以，直线与所成角的取值范围是。
故答案为：。
7．四棱锥中，底面是边长为的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的度数为___________.
【详解】
如图所示，

由题意可得：四棱锥V-ABCD是正四棱锥，连接AC，BD，相交于点O，连接VO，则VO⊥平面ABCD．
取AB的中点M，连接VM，OM．则AB⊥OM，AB⊥VM．
∴∠OMV是二面角V-AB-C的平面角．
由底面是边长为的正方形可得：，
,
在中，.
即二面角的度数为.
8．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE＝λ，B1F＝μ．若平面BEF与正方体的截面是五边形，则λ＋μ的取值范围是________．

【详解】
由题意，当＝1，＝0，则平面BEF与正方体的截面是四边形，随着B1F=变大，平面BEF与正方体的截面是五边形，由此λ＋μ>1, 随着B1F=，平面BEF与正方体的截面还是五边形，当＝＝1，则平面BEF与正方体的截面是三角形，由此λ＋μ<2,．
故1<λ＋μ<2
故答案为：1<λ＋μ<2.
9．如图所示，平面平面，，四边形为正方形，且，则异面直线与所成角的余弦值为__________．

【详解】
由题目中的位置关系，可将原图补为如图所示的直四棱柱：

异面直线与所成角即为直线与所成角
由余弦定理可得：
，又
.
本题正确结果：
B卷


10．在长方体中，，，若棱上存在点，使得，则棱的长的取值范围是__________．
【解析】
如图所示，当时，以为直径的圆与有交点，连接，则，底面，根据三垂线定理，则，满足题意，即棱的长的取值范围是，故答案为.
11．已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.
【详解】
取BD中点O，连结EO、FO，
∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，
∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，
∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，
∴，或，
当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．
当时，EF．
故答案为：1或．

12．如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.

解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，
又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，
即a=2．
故答案为：2．

13．正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是
（写出所有正确命题的编号）________.
①当时，为矩形，其面积最大为1；
②当时，为等腰梯形；
③当时，为六边形；
④当时，设与棱的交点为，则.

【答案】②③④
对于①，当x=0时，过点A，P，Q的截面S是矩形，其面积最大是所以①错误；
对于②，当时，如图（2）所示，过点A，P，Q的截面S是等腰梯形，∴②正确；
对于③，当时，设S与棱的交点为R，如图（2），
延长，使，连接AN交于S，连接SR，
可得，，
可得，，∴③正确；④当y=1时，以B1为顶点，S为底面的棱锥如图（4）所示，
该四棱锥的体积为∴④正确．

14．已知二面角—l—为60°，若平面内有一点A到平面的距离为，那么A在平面内的射影B到平面的距离为____________.
【答案】
【解析】如图，由题意知， ，则，根据面积等积法，A在平面内的射影B到平面的距离为，故填.

15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，则直线AB1和BC1所成的角是 ．


解：不妨设AB=BC=AA1=a，由题意可补成棱长为a的正方体，（如图）
∵AD1∥BC1，∴∠B1AD1就是直线AB1和BC1所成的角，
在正三角形AB1D1中易得∠B1AD1=60
故答案为：60°

16．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角的余弦值等于
【答案】
【解析】
试题分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设2AB=2AC==2，
则（0，0，2），B（1，0，0），（1，0，2），C（0，1，0），=（-1，0，2），=（-1，1，-2），
设异面直线与所成的角为θ，则
17．如图长方体中，，则二面角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以取BD的中点O，连，则即为二面角的一个平面角，由=，tan=知= 300，故选A。
18．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下面结论：

①AC∥平面CB1D1；
②AC1⊥平面CB1D1；
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；
④AD1与BD为异面直线.其中正确的结论的序号是________.
【答案】②③④
【详解】
①因为AC∩平面CB1D1=C，所以AC∥平面CB1D1错误，所以①错误．
②连结BC1，A1 C1，则BC1⊥B1 C，又因为AB⊥面BC C1B1
故 AB⊥B1 C, AB∩BC1=B，故B1 C⊥面ABC1
进而得到AC1⊥B1C，
连接A1 C1，同理可证B1D1⊥AC1
又因为B1D1∩B1 C于点B1
故得到AC1⊥平面CB1D1
所以②正确．
③因为AC1在底面ABCD的射影为AC，所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角，设正方体的边长为a,则AC=
所以所以③正确．
④由异面直线的定义可知，AD1与BD为异面直线，所以④正确．

故答案为：②③④．



















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