人教版高一数学 1. 1.2 函数与映射课程 教案

适用学科
高中数学
适用年级
高中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
2课时
知识点
函数的概念
函数的三要素（定义域、值域、对应法则）
区间的意义及表示
解析法
列表法
图象法
分段函数及其应用
映射的概念
教学目标
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；
会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
教学重点
运用函数图象理解和研究函数的性质.
教学难点
运用函数图象理解和研究函数的性质.
【教学建议】
1. 对映射概念的认识
(1) 与是不同的，即A与B方向上是有序的.或者说：映射是有方向的，
(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.
(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
（1）对函数符号的理解知道与的含义是一样的，它们都表示y是x的函数，其中x是自变量，是函数值，连接的纽带是法则.
(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.
【知识导图】
函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，在未来的高考中可以说的得函数者得天下.对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果.
复习预习
下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝
(1)函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
函数的基本概念
求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．
类型一 函数的基本概念
有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则＝0.
其中正确判断的序号是________．
【解析】
对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于＝－＝0，所以＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
【总结与反思】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
函数f(x)＝的定义域为________．
【答案】[1，＋∞)
【解析】分段函数的定义域是各定义域的并集.
(1)函数f(x)＝的定义域为 (　　)
A．(－1,2) B．(－1,0)∪(0,2) C．(－1,0) D．(0,2)
(2)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
【答案】（1）C （2）[，1)
【解析】(1)f(x)有意义，则解之得∴－1∴f(x)的定义域为(－1,0)．故选C
(2)要使函数g(x)＝有意义，
则必须有，
∴≤x<1，故函数g(x)的定义域为[，1)．
【总结与反思】
(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．
(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．
类型三 映射
下列对应不是映射的是(　　)


[答案]　D
[解析]　结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射．
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：
(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f；作圆的内接矩形；
(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；
(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝x.
[答案] 同解析
[解析]　(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0?B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．
(4)因为A中每一个元素在f：x→y＝x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}?B，符合映射定义，是映射．
【总结与反思】要判断两个集合能否构成映射，一般从映射的定义入手．若满足映射定义就能构成映射；若不满足映射定义，只要举一反例，即说明集合A中的某一元素在B中无对应元素即可．
类型二 求函数的解析式
(1)如果f()＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于(　　)
A. B. C. D.－1
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.
【解析】(1)令t＝，得x＝，∴f(t)＝＝，∴f(x)＝.
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，∴解得∴f(x)＝2x＋7.
(3)在f(x)＝2f()－1中，用代替x，得f()＝2f(x)－1，
将f()＝－1代入f(x)＝2f()－1中，可求得f(x)＝＋.
【总结与反思】函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(4)消去法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(1)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)设函数y＝f(x)在R上有定义．对于给定的正数M，定义函数fM(x) ＝则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为 (　　)
A．2 B．1 C. D．－
【答案】（1）－3 （2）1
【解析】(1)由题意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0.
①当a>0时，f(a)＝2a＋2＝0无解；
②当a≤0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.
(2)由题设f(x)＝2－x2≤1，得当x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2；
当－1【总结与反思】(1)应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论．
(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．

函数y＝|x|的图象是(　　)
[答案]　B
[解析]　因为y＝|x|＝所以B选项正确
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
[解析]　(1)
(2)y＝f(x)的图象如下图所示．
(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，
当8∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11.
[总结与反思]　利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言．
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
1.函数的定义域为（ ）
A.[0，＋∞) B.(－∞，0]
C.(0，＋∞) D.(－∞，0)
2.已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
3.已知函数f(x)＝求f(f())的值．
4.在下列的四个图象中，是函数f(x)＝的图象的是(　　)
答案与解析
1.【答案】B
【解析】：1－2x≥0,2x≤1＝20，x≤0.故选B.
2. 【答案】，4
【解析】 (1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系，得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
3.【答案】　－1
【解析】f()＝×2－3＝－2，f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f(f())＝f(－2)＝－1.
4.【答案】C
【解析】略
1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1 .
2. a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x，求a＋b的值．
3. （1）设函数
（2）设函数f（x）＝，则满足f（x）=的x值为.
答案与解析
1.【答案】同解析
【解析】（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，
∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
2.【答案】2
【解析】由题意知，集合M中的元素1只能对应集合N中的a，故a＝2，故N＝{2,0}，而M中的可能对应集合N中的2或0，当对应2时，则＝1，即b＝2，此时集合M中有两个相同元素，不合适，故b＝2应舍去，当对应0时，则＝0，即b＝0.此时M＝{0,1}，符合题意，综上可知a＝2，b＝0，即a＋b＝2.
3. 【答案】（1）98，（2）3
【解析】（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
=
=
（2）当x∈（－∞，1，值域应为［，＋∞］，
当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞），∴y＝，y∈（0，＋∞）
∴此时x∈（1，＋∞）∴log81x＝，x＝81＝3.
1. 求下述函数的定义域：
（1）；
（2）
2.在如图的对应关系中，哪些对应不是集合A到集合B的映射(　　)

A．①、② B．①、④
C．②、⑤ D．①、②、③
3.已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值；
(3)若f(m)>3m－5(m≥2)，求实数m的取值范围．
4. 某市出租车的计价标准是：4 km以内10元，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/km，超过18 km的部分1.8元/km.
(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？
答案与解析
1.【答案】同解析
【解析】（1），解得函数定义域为.
（2），（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），
①当a=0时，函数定义域为；
②当时，得，
1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为；
③当时，得，
1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，
3）当时，函数定义域为。
2.【答案】　D
【解析】由图知①②中元素a1在B中对应元素不唯一，③中元素a2在B中无象，都不是映射，④⑤是映射，故选D.
3.【答案】 （1）-4，3－2，－；（2）a＝1，或a＝2（3）[2,4)
【解析】 (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
∵f(－)＝－＋1＝－，而－2<－<2，
∴f(f(－))＝f(－)＝(－)2＋2×(－)＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
(3)∵m≥2，∴f(m)＝2m－1，即2m－1＞3m－5，解得m＜4，又m≥2，∴m的取值范围为[2,4)．
4.【答案】C
【解析】(1)设车费为y元，行车里程为x km.
则根据题意得y＝
(2)当x＝20时，y＝1.8×20－5.6＝30.4，
即当乘车20 km时，要付车费30.4元．
本节讲了3个重要内容：
函数的基本性质
2．映射
3. 求函数的解析式
1.(1) 下列函数中，与函数 y＝x 相同的是( )
. B. C. D.
(2)函数的定义域是_____________
2.函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值为(　　)
A．1 B．1或 C. D.
3.函数y＝的定义域为________．
4.已知是一次函数，，求的解析式.
答案与解析
1.【答案】(1)B;(2) [－3,1]
【解析】(1)略;
(2) 解析：要使函数有意义，必须3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.
2.【答案】D
【解析】略
3.【答案】　(－∞，0)∪(0，＋∞)
【解析】　每段函数自变量的取值范围的并集是分段函数的定义域，
即(－∞，0)∪(0，＋∞)．
4.【答案】f（x）=2x或-2x+1.
【解析】设f（x）=kx+b（k≠0），则f[f（x）]=f（kx+b）=k（kx+b）+b=k2x+kb+b=4x-1，根据多项式相等得出，,
kb+b=-1，解得k＝2，b＝?或k＝-2，b＝1
因此所求的函数解析式为：f（x）=2x或-2x+1．故答案为：f（x）=2x或-2x+1.
1. 已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
2. 设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
3. 已知函数f(x)＝
(1)求f(1－)，f(f(f(－2)))的值；
(2)求f(3x－1)；
(3)若f(a)＝，求a.
4. 已知函数f(x)对任意的xR, 都满足f(x)+2f(-x)=3x-2,求f（x）解析式.
答案与解析
1.【答案】B
【解析】，函数的定义域为,故选B
2.【答案】5
【解析】f(2)＝2a－1＝3，
∴a＝2，∴f(x)＝2x－1，
∴f(3)＝5.
3.【答案】同解析
【解析】 (1)因为1－＝1－(＋1)＝－＜－1，
所以f(1－)＝f(－)＝－2＋3.
因为f(－2)＝－1，f(f(－2))＝f(－1)＝2，
所以f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当3x－1＞1，即x＞时，f(3x－1)＝1＋＝；
当－1≤2x－1≤1，即0≤x≤时，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；
当3x－1＜－1，即x＜0时，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.
综上，f(3x－1)＝
(3)当a＞1时，f(a)＝1＋＝，所以a＝2＞1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，所以a＝±∈[－1,1]；
当a＜－1时，f(a)＝2a＋3＝，所以a＝－＞－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
4.【答案】f(x) =-3x-
【解析】f(x)+2f(-x)=3x-2…………（1）把x用-x替代得：f(-x)+2f(x)=-3x-2…………（2）(2)2-(1)得：4f(x)-f(x)=-6x-4-(3x-2)3f(x)=-9x-2f(x) =-3x-
1.已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) ； (2)
2．判断下列对应是否构成映射．
(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
(2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1；
(3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1；
(4)A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1.
3．用周长L为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为，把框架
面积表示为的函数，并求其定义域.
4．已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)=0，且方程f(x)=x有两个相等实根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．
答案与解析
1.【答案】同解析
【解析】：（1）由0＜x＜2，得
（2）由（1）得解得
2.【答案】 同解析
【解析】　对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的对应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x在对应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射；对于(4)，满足映射的定义，能构成映射．
3.【答案】
【解析】∵半圆的半径为x,∴半圆的周长为πx,故矩形另一边长为(L-2x-πx)× 其定义域为{x|0＜x＜}.
4.【答案】同解析
【解析】(1)方程f(x)=x，即ax2+bx=x，亦即ax2+(b-1)x=0，由方程有两个相等实根，得Δ=(b-1)2-4a×0=0，?∴b=1，①, 由f(2)=0，得4a+2b=0，②, 由①、②得，a=-，b=1，故f(x)=- x2+x.
(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，f(x)=-x2+x=-(x-1)2+≤，则2n≤，即n≤，∵f(x)=-(x-1)2+的对称轴为x=1，?∴当n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数，于是有，即
，
∴，又m＜n≤，∴，故存在实数m=-2，n=0，使f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]