北师大版高中数学必修二第二章第二节 直线与圆的位置关系（共24张PPT）

(共24张PPT)
第二章 解析几何初步
高中数学必修2·精品课件
第2节第3课时 直线与圆的位置关系
学习目标
1.理解直线和圆的三种位置关系．(重点)
2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(重点)
3.能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)
知识清单
直线和圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 __个 __个 __个
判定方法 d__r d__r d__r
Δ__0 Δ__0 Δ__0
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
2
1
0
<
=
>
>
=
<
合作探究
直线和圆的位置关系
【问题1】设圆心到直线的距离，圆的半径为r，如果直线与圆相交，则d与r的大小关系如何？如果是相切或相离呢？
【提示】　相交?dr


d
r


d
r

r

d
合作探究
直线和圆的位置关系
【问题2】若直线方程为Ax＋By＋C＝0，圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，设联立方程消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ，如果直线和圆相交，那么上述一元二次方程有几个实数解？此时Δ满足什么条件？如果是相切或相离呢？
【提示】　相交?方程有2个不同实数解? Δ>0；
相切?方程有2个相同实数解? Δ=0；
相离?方程没有实数解? Δ<0.
典例精讲：题型一：直线与圆的位置关系的判定
例1:已知直线l:3x+y－6=0和圆C:x2+y2－2y－4=0，判断直线l与圆C的位置关系;如果相交，求出它们交点的坐标.
解:方法一:由直线与圆的方程得方程组
消去y，得x2－3x+2=0.
∵Δ=(－3)2－4×1×2=1>0，
∴直线与圆相交，有两个交点.
由方程组解得交点坐标为(2，0)，(1，3).
典例精讲：题型一：直线与圆的位置关系的判定
解:方法二:圆的方程可化为x2+(y－1)2=5，其圆心为(0，1)，半径为.圆心到直线l的距离为d，
∴直线与圆相交，有两个交点.
由直线与圆的方程得方程组
解得交点坐标为(2，0)，(1，3).
题后反思
如果仅判断直线和圆的位置关系，则可直接利用方法二(几何法)，即比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小;如果需要求解直线和圆的交点，则应该利用方法一(代数法)，即解由直线方程和圆的方程组成的方程组.
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
(1)求与圆x2＋y2＝13相切于点P(－3,2)的切线方程；
(2)求过点(2，－3)和圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切的直线方程．
例2:
分析:对于(1)注意到P点为切点，故可利用切线的性质解题，对于(2)由于(2，－3)不在圆上，可设出切线方程，将直线与圆联立，消元后得到的二次方程只有一个解，利用判别式求解，也可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
(1)解法1：显然切线的斜率存在，
设所求的切线方程为y－2＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k＋2＝0，
由题意，得＝，得k＝.
故所求的切线方程为y－2＝(x＋3)，即3x－2y＋13＝0.
解析:
　
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
(1)解法2：∵x2＋y2＝13的圆心为O(0,0)，
∴kOP＝＝－.
∴所求的切线的斜率k＝－＝.
故所求切线的方程为y－2＝(x＋3)．
即3x－2y＋13＝0.
解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
(1)解法3：∵(－3,2)在圆x2＋y2＝13上，
∴切线方程为－3x＋2y＝13.
即3x－2y＋13＝0.
解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
(2)解法1：设所求的直线为x＝2，或y＋3＝k(x－2)．
当l为x＝2时，圆心(1,1)到x＝2的距离d＝2－1＝1符合题意．
当l为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0时，
由题意，得＝1，得k＝－.
∴切线方程为15x＋8y－6＝0.
综上得所求切线的方程为x＝2，或15x＋8y－6＝0.
解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
(2)解法2：设切点D(x0，y0)，则切线方程为(x0－1)(x－1)＋(y0－1)(y－1)＝1，由题意，得

由②得x0＝4y0－2，代入①得(4y0－3)2＋(y0－1)2＝1.
得17y02－26y0＋9＝0，得y0＝1，或y0＝.
∴切点坐标为(2,1)或(, ).
故切线方程为x＝2，或15x＋8y－6＝0.
解析:
题后反思：
(1)由于过某一定点的直线有两类：斜率存在，斜率不存在，故过某一点做圆的切线，求切线方程时要分情况讨论．
(2)求切线一般有三种方法：①设切点坐标用切线公式：过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为(x－a)(x0－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；②设切线方程，用判别式法；③设切线方程，用圆心到切线的距离等于半径，但要注意斜率不存在的情况．

典例精讲：题型三：弦长问题
例3 过点P(4，－4)的直线l被圆C:x2+y2－2x－4y－20=0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程.
分析:设出直线l的方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长构成直角三角形求解.注意讨论斜率存在与否.
典例精讲：题型三：弦长问题
解:∵圆C的方程可化为(x－1)2+(y－2)2=52，
∴圆心的坐标为C(1，2)，半径r=5.
由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，
圆心到直线的距离d==3.
当直线AB⊥x轴时，
∵直线l过点P(4，－4)，
∴AB的方程为x=4，点C(1，2)到l的距离d=|4－1|=3，满足题意.
典例精讲：题型三：弦长问题
当AB与x轴不垂直时，设方程为y+4=k(x－4)(k≠0)，即kx－y－4k－4=0.∵d==3，解得k=－.
∴l的方程为y+4=－(x－4)，
即3x+4y+4=0.
综上，直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0.
规律方法
求直线与圆相交时弦长的两种方法：
(1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2.即|AB|＝2.
规律方法
(2)代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝|x1－x2|＝·|y1－y2|，其中k为直线l的斜率．


l
A(x1，y1)
B(x2，y2)
课堂练习
1.直线x－y－4=0与圆x2+y2－2x－2y－2=0的位置关系是(　　)
A.相交但直线不过圆心
B.相切
C.相交且直线过圆心
D.相离
D
课堂练习
2.求斜率为－且与圆x2+y2=16相切的直线方程.
解:设切线方程为y=－x+b，
即2x+3y－3b=0.已知圆的圆心为(0，0)，半径r=4，则圆心到切线的距离d==4.解得b=±.故所求切线方程为2x+3y+4=0或2x+3y－4=0.
课堂练习
3.直线x+y－2=0截圆x2+y2=4得到的弦长为(　　)
B
解析:圆心到直线的距离d==1，
又r=2，所以弦长为2=2.
答案:B
A.1 B.2 C.2 D.2
归纳小结
1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．