人教A版高中数学必修4课件：2.5.1 平面几何中的向量方法 (共30张PPT)

(共31张PPT)
2.5平面向量应用举例
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
平罗中学 石占军
平面向量中的几何方法
一、复习提问
1.向量共线的等价条件:
设O为平面上 任一点，则：A、P、B三点共线?
(其中? + ? = 1)
2.向量垂直的充要条件：
（3）两向量相等充要条件：
3.平面向量基本定理
4.平面向量的数量积
5.平面向量求解的问题：
（1）举例、角度；
（2）平行 、垂直；
（3）共点、共线；
（4）平面几何的综合问题.
二、平面几何简单定理
（1）三角形中位线定理
（2）勾股定理
（3）圆周角定理
猜想：
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
三、新知探求
平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图， 你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
解：
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
例1、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
H
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。
问题2：应用向量知识证明三线共点、三点共线
例1、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
H
另解：设AD与BE交于H，
即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。
例1、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
方法三：如图建立坐标系，
设A(0,a) B(b,0) C(c,0)
再设H(0,m) F(x,y)
由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得：
例2、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，
在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，
使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线
例3、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，
使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，
求△AEM的面积
解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由
正方形面积为64，可得边长为8
由题意可得M(8,4)，N是AM的
中点，故N(4,2)
解得：e=5 即AE=5
问题3： 应用向量知识证明等式、求值
例4、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB
求证：
分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,
联想线段的定比分点，利
用向量坐标知识进行求解。
由PO=mOA, QO=nOB可知：
-m -n
? ?
例4、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB
求证：
例5. 如图,平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想：
AR=RT=TC
问题4：平面几何综合求解
如图,平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
解：第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
又因为
第三步：把运算结果“翻译”成几何元素。
解得
AR=RT=TC
连接BD交AC于O，则R为三角形ABD的重心，
所以AR=2RO，同理CT=2TO
证法二：
O
8.
五、课堂小结
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题
中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
3.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决.它既是一种数学思想，也是一种数学能力.其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键.
因为有了运算，
向量力量无限;
如果不能运算，
向量只是带有指向的线段.
课后作业
1、上交：教材P113 习题2.5 A组 1、2
资料P67-68中练习1、练习2.

2、课外（1）资料P67-69
（2）预习教材P111-122.
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