人教八上数学14.2.1 平方差公式课件（22张PPT）

(共22张PPT)
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
学习目标：
会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算．
学习重点：
平方差公式的推导和运用
学习重点：
平方差公式的推导和运用．
回顾与思考
回顾 & 思考
?
?
(m+a)(n+b)=
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
多项式乘法
法则是:
用一个多项式的每一项
乘另一个多项式的每一项
再把所得的积相加。
mn+mb+an+ab
=
(x+a)(x+b)
x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的一种特殊多项式的乘法
计算下列各题:
(1) (x+3)(x?3) ；
(2) (1+2a)(1?2a) ；
(3) (x+4y)(x?4y) ；
(4) (y+5z)(y?5z) ；
=x2?9 ;
=1?4a2 ;
=x2?16y2 ;
=y2?25z2 ;
观察 & 发现
?
观察以上算式及其运算结果，
你发现了什么规律？
用自己的语言叙述你的发现。
=x2?32 ;
=12?(2a)2 ;
=x2?(4y)2 ;
=y2?(5z)2 .
(a+b)(a?b)=
a2?b2.

两数和与这两数差的积,
等于
这两数的平方的差.
用式子表示，即：
代数推导：
一般地,我们有
(a+b)(a-b) = .
a2-b2
即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
(a+b)(a-b) = a2-b2

平方差公式的特征
左边
两个数的和乘以这两个数
的差
右边
这两数的平方差。

　 。即两个二项式中有
两项相等，另两项是互为
相反数。
即相等数的平方
减去互为相反数
的数的平方。
请注意：公式中的a，b既可代表具体的数，还可代表单项式或 多项式。
如：(1+2x)(1-2x)
= 12-(2x)2






注意加上括号！



1、判断下列式子是否可用平方差公式。
(1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b)

(3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2)

（5）

（6） (1-x)(-x-1)

（7 (-4k3+3y2)(-4k3-3y2)

是
否
是
是
是
是
否
(3X＋2)(3X－2)
变式一 ( －3X＋2)(－3X－2)
变式二 ( －3X－2)(3X－2)

变式三 (－3X＋2)(3X＋2)
=(-3x)2-22
变一变，你还能做吗？
=(-2)2-(3x)2
=22-(3x)2
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2)
=(3x)2－22
=9x2－4；

（2）(b+2a)(2a－b)
=(2a+b)(2a－b)
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
(3) (-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2－(2y)2
= x2－4y2


请你判断下列计算对不对？为什么？
(x2+2)(x2-2)=x4-2 ( )
(4x-6)(4x+6)=4x2-36 ( )
(2x+3)(x-3)=2x2-9 ( )
(4) (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 ( )
(5) (mn-1)(mn+1)=mn2-1 ( )
×
√
×
×
×
⑴ (a+1)(a-1)=
⑵ (3+x)(3-x)=
⑶ (a+2b)(a-2b)=
⑷ (3x+5y)(3x-5y)=
⑸ (10s-3t)(10s+3t)=
⑹ (-m+n)(-m-n)=
a2-1
9-x2
a2-(2b)2
=a2-4b2
(3x)2-(5y)2
=9x2-25y2
(10s)2-(3t)2
=100s2-9t2
(-m)2-n2
=m2-n2
接力赛
⑺ (-2x-3y) (-2x+3y)=
⑽ (-4x+y)(y+4x)=
(-2x)2-(3y)2
y2-(4x)2
=y2-16x2
=4x2-9y2
= a2-4b2
1

4
a2-( b)2
1

2
=a2- b2
1

4
( a)2-(2b)2
1

2
⑻ ( a-2b)(2b+ a)=
1

2
1

2
⑼ ( b+a)(- b+a)=
1

2
1

2
问题：利用平方差公式计算的关键是：
准确确定a和b
怎样确定a与b：
符号相同的看作a，符号不同的看作b

接力赛
(1) (x+3)( )=x2-9
(2) (-1-2x)( 2x-1)=
(3) (m+n)( )=n2-m2
(4) ( )(-y-1)=1-y2
(5) (-3a2+2b2)( )=9a4-4b4
X-3
1-4x2
n-m
-1+y
-3a2-2b2
仔细填一填
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98=(100+2)(100-2)
= 1002-22=10 000 – 4 = 9 996.
(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
(a+b+c)(a+b-c)
若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b=——
解：(a+b)2-1=63
(a+b)2=64
a+b=±8
思考
是否可用平方差公式计算？怎样应用公式计算？

(a+b)2 - c2
下列多项式相乘，正确的有( )
(1)(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2
(2)(a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2
(3)(a-b+c)a-b-c)=a2-(b-c)2
(4)(a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个
A
精心选一选
练习
下面各式的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?
(x+2)(x-2) = x2-2 ;
(2) (-3a-2) (3a-2) = 9a2 -4 .
2.运用平方差公式计算.
(1) (a+3b) (a-3b); (2) (3+2a) (-3 + 2a) ;
(3) 51×49;
(4) (3x+4)(3x-4) – (2x+3) (3x-2).
独立思考 归纳验证



(1)公式左边两个二项式必须是
相同两数的和与差的积.
且左边两括号内的第一项相等、
第二项符号相反.
特征
结构
｛
(2)公式右边是这两个数的平方差；
即左边括号内的第一项的平方
减去第二项的平方.
(3)公式中的 和 可以代表数，
也可以是代数式．
1．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】选B. 在A中3a＋2a＝5a；C中 ；
D中 .
2.已知a-b=1,则a2－b2－2b的值为( )
A．4 B．3 C．1 D．0
【解析】选C.a2－b2－2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.
综合拓展
计算 20042-2003×2005

平方差公式:
(a+b)(a－b)=a2－b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.