人教版八上数学14.3 因式分解——十字相乘法课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
因式分解——十字相乘法
知识回顾
１．举例说明因式分解与整式乘法的关系

２.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
提公因式法: ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法: a2-b2=(a+b)(a-b)
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2
(5) 3ax2+6ax+3a
(4) x5 - x3
(1) x4 - y4
(2) (y2 + x2 )2 - 4x2y2
(6) 2ax2+6ax+4a
(3) x4-8x2+16
３.把下列各式因式分解：
解:(1) x4 - y4=(x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)

(2) (y2 + x2 )2 - 4x2y2
=(y2 + x2 +2xy) (y2 + x2 -2xy)
=(x+y)2(x-y)2
(3) x4-8x2+16=(x2-4)2
=(x+2)2(x-2)2
(4) x5 - x3=x3(x2-1)=x3(x+1)(x-1)

(5) 3ax2+6ax+3a=3a(x2+2x+1)
=3a(x+1)2
(6) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2)

你认为这个多项式因式还能分解吗？
=2a(x+1)(x+2)
十字相乘法分解因式（1）
1.(x+2)(x+1)=

x2+3x+2
3.(x-2)(x+1)=
x2-x-2
4.(x-2)(x-1)=
x2-3x+2
2.(x+2)(x-1)=
x2+x-2
5.(x+2)(x+3)=
x2+5x+6
6.(x+2)(x-3)=
x2-x-6
7.(x-2)(x+3)=
x2+x-6
8.(x-2)(x-3)=
x2-5x+6
(x+a)(x+b)
=x2+(a+b)x+ab

请直接口答计算结果：
(x+2)(x+1)
x2+3x+2
(x-2)(x+1)
x2-x-2
(x-2)(x-1)
x2-3x+2
(x+2)(x-1)
x2+x-2
(x+2)(x+3)
x2+5x+6
(x+2)(x-3)
x2-x-6
(x-2)(x+3)
x2+x-6
(x-2)(x-3)
x2-5x+6
(x+a)(x+b)
=
x2+(a+b)x+ab
=
=
=
=
=
=
=
=
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

观察与发现
两个一次二项式相乘的积

一个二次三项式
整式的乘法
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式

两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，即q=ab而且一次项系数p又恰好是a、b的和，即p=a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。

分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
(+1)＋(+2)＝+3


∴
试一试：把x2+3x+2分解因式


常数项
一次项系数

十字交叉线
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

十字相乘法公式：

请大家记住公式
例1：
分解因式:
x2+4x+3=＿＿＿＿＿＿＿


x2-2x-3=＿＿＿＿＿＿＿＿
(x+3)(x+1)
(x-3)(x+1)
x
x
x
x
3
1
-3
1





练一练
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)x2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12
(4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12
探索规律
对于x2+px+q
（1）当q＞0时，a、b﹍﹍，且a、b的符号与p的符号﹍﹍。
（2）当q＜0时，a、b﹍﹍，且 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍与p的符号相同。
同号
相同
异号
a、b中绝对值较大的因数

例２：试将
分解因式
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。

16
6
2
+
-
-
x
x
















独立练习：把下列各式分解因式
?

课堂小结
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解，应重点掌握以下问题：
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进 我 行分解。
用十字相乘法进行因式分解：
(x+2)(x-3)
1.x2-x- 6 =
(x-3)(x+5)
2.x2+2x-15=
(x+2)(x-5)
3.x2-3x-10=
(x-5)(x-4)
4.x2-9x+20=
(x-7)(x+4)
5.x2-3x-28=
(x+2)(x-4)
6.x2-2x-8=
(x-1)(x-3)
7.x2-4x+3=
(x+3)(x+4)
(x+2)(x+3)
(x-3)(x+7)
8.x2+7x+12=
9.x2+5x+6=
10.x2+4x-21=
(y+12)(y-3)
13.y2+9y-36=
(y+4)(y-15)
(y+16)(y+3)
(y+11)(y-10)
(y-13)(y-3)
(y+14)(y+4)
14.y2-11y-60=
15.y2+19y+48=
16.y2+y-110=
17.y2-16y+39=
18.y2+18y+56=
12.x2-11x-12=
(x-12)(x+1)
11.x2+13x+12=
(x+1)(x+12)
比比谁的速度快！
19.x2+(a-1)x-a=
(x+a)(x-1)
20.(x+y) 2+8(x+y)-48=
(x+y+12)(x+y-4)
十字相乘法分解因式（2）
本节课解决两个问题：
第一：对形如ax2+bx+c (a≠0)的二次三项式
进行因式分解；
第二：对形如ax2+bxy+cy2 (a≠0)的二次三项式
进行因式分解；



a2
c1
c2
a1c2+a2c1=b
a1
(a1x+c1) (a2x+c2) =ax2+bx+c (a≠0)
ax2+bx+c=(a1x+c1) (a2x+c2) (a≠0)


整式运算

因式分解



a2
c1
c2
a1c2+a2c1=b
a1
(a1x+c1y) (a2x+c2y) =ax2+bxy+cy2
ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y) (a2x+c2y)


整式运算

因式分解
例1:2x2－7x+3

总结:
1、由常数项的符号确定分解的两数的符号
2、由一次项系数确定分解的方向
3、勿忘检验分解的合理性





1
-1
-3
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
2
解：原式=(2x-1)(x-3)
例2 分解因式 3x2 －10x＋3

解：3x2 －10x＋3



x
3x
－3
－1

－9x－x=－10x
=(x－3)(3x－1)
例3 分解因式 5x2－17xy－12y

解：5x2 －17xy－12y2



5x
x
＋3y
－4y

－20xy＋3xy=－17xy
=(5x＋3y)(x－4y)
例4 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式
解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5
= [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1]
= (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )


1
2
－5
－1

－1－10=－11


6
1
－5
1

－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式
1、 7x －13x＋6
2
3、 15x ＋7xy－4y
2
2
2、 －y －4y＋12
2
答案(7x-6)(x-1)
4、 x －(a＋1) x＋a
2
答案－ (y＋6)(y－2)
答案 (3x－y)(5x＋4y)
答案 (x－1)(x－a)
5、x2+11xy+10y2;
6、2x2-7xy+3y2;
7、-3a2+15ab-12b2;
8、
答案(x+10y)(x+y)
答案 (2x-y)(x-3y)
答案 -3(a-b)(a-4b)
答案 1/4(a-5b)(a+2b)
思考题：把下列各式分解因式


(1)(-x+5y)(3x-y)
(2)(2x-2y+1)(x-y-2)
(1)
(2)
（3）(x+y)2-4(x+y)-5
（4）(m+n)2-5(m+n)+6
=(x+y+1)(x+y-5)
=(m+n-2)(m+n-3)
（5） y2-2y(x-1)-15(x-1)2
=[y+3(x-1)][y-5 (x-1)]
=(y+3x-3)(y-5 x+5)
(6) a2-12a(b+c)+36(b+c)2
=[a-6(b+c)][a-6 (b+c)]
=(a-6b-6c)2
例5 将 2x2－3xy－2y2 ＋3x＋4y－2 分解因式
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2
2
2
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
2
2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)


2
1
1
-2

－4＋1=－3


(2x＋y)
(x－2y)
-1
2

2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
例6. 分解因式(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3．

【解】(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3

＝(x2＋2x－3)(x2＋2x＋1)

＝(x＋3)(x－1)(x＋1)2．


(x2+2x)
(x2+2x)
-3
1

-3(x2＋2x) + (x2+2x)=-2x2- 4x


1
1
3
-1

－1＋3=2
2.将2x2－7xy－22y2－5x＋35y－3分解因式
1.将(a2+8a)2+22(a2+8a)+120分解因式
3.因式分解：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2