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《12.2 .4三角形全等的判定HL 》导学案
课题 三角形全等的判定HL 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1、已知斜边和直角边会作直角三角形；2、熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等3、经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力．
重点难点 重点： 掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．难点： 熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．
教学过程
知识链接 1、我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ 2、利用所学过的知识完成下列填空： 如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E， （1）若∠A=∠D，AB=DE， 则△ABC与△ DEF_________（填“全等”或“不全等”）根据_________（用简写法）. （2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF_________（填“全等”或“不全等”）根据_________（用简写法）. （2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF_________（填“全等”或“不全等”）根据_________（用简写法）. （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC与△DEF_________（填“全等”或 “不全等”）根据_____（用简写法）.
合作探究 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量..（1）你能帮他想个办法吗？ ⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？下面我们就一起来探究这个问题：任意画出一个Rt△ABC，使／C＝90°，再画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝BC，A'B'＝AB，把画好的Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看看它们是否全等． 提问：（1）△ABC就是所求作的三角形吗？（2）画好后，把Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗? （3）发现了什么结论？（4）你能通过尺规作图的方式说明结论吗？ 例、如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD. 例2： 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
自主尝试 1.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等； （ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等 （ ）2.如图,已知AB＝AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( ) A.CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90° 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. 4.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.
当堂检测 1.如图,在△ABC中,∠C＝90°,DE⊥AB于点D,BC＝BD,若AC＝8 cm,则AE＋DE＝____cm.2．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，添加下列条件能使△AEH≌△CEB的有( )①AE＝EC；②AH＝BC；③EH＝BE； ④∠EAH＝∠B. A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④ 1题图 2题图 3题图如图,BD＝CF,FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BE＝CD,若∠AFD＝145°, 则∠EDF＝_______ 如图,∠ACB＝∠ADB＝90°,AC＝AD,点E在AB上,求证：CE＝DE. 5.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC＝∠ADE＝90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB. (1)图中还有几对全等三角形？请你一一列举； (2)求证：CF＝EF. 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
小结反思 你有什么收获?你还有什么疑问？
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《12.2 .4三角形全等的判定HL 》导学案
课题 三角形全等的判定HL 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1、已知斜边和直角边会作直角三角形；2、熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等3、经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力．
重点难点 重点： 掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．难点： 熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．
教学过程
知识链接 1、我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ 2、利用所学过的知识完成下列填空： 如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E， （1）若∠A=∠D，AB=DE， 则△ABC与△ DEF_________（填“全等”或“不全等”）根据_________（用简写法）. （2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF_________（填“全等”或“不全等”）根据_________（用简写法）. （2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF_________（填“全等”或“不全等”）根据_________（用简写法）. （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC与△DEF_________（填“全等”或 “不全等”）根据_____（用简写法）. 答案：全等、ASA、全等、AAS、全等、SAS、全等、SSS根据这些条件，对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了? 今天我们就来探究两个直角三角形全等的条件．
合作探究 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量..（1）你能帮他想个办法吗？ 方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.ASA或(AAS) ⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？下面我们就一起来探究这个问题：任意画出一个Rt△ABC，使／C＝90°，再画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝BC，A'B'＝AB，把画好的Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看看它们是否全等．（课件出示题目，师生一起看题)(学生独立探究，动手作图)提问：（1）△ABC就是所求作的三角形吗？（2）画好后，把Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗? （3）发现了什么结论？（全等）．（4）你能通过尺规作图的方式说明结论吗？●结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL”）． 注意两点：一是“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。二是应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件例、如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD. 结合图形，先分析已知条件和求证．从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证的，你又能发现什么?(留时间让生思考)……小组展示自己的成果：AC⊥BC，BD⊥AD，又加上AC＝BD，我们能找到两个Rt△：Rt△ADB，Rt△BCA．又因为AC＝BD已经是一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了． 从这道题中可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt△，看看这些Rt△的关系．若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了． 例2： 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.
自主尝试 1.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （ ）AAS （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等； （ ）AAS或ASA （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）AAS （4）两直角边对应相等； （ ）SAS （5）一条直角边和斜边对应相等 （ ）HL2.如图,已知AB＝AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )C A.CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90° 3. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL)4.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF. 即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE
当堂检测 1.如图,在△ABC中,∠C＝90°,DE⊥AB于点D,BC＝BD,若AC＝8 cm,则AE＋DE＝____cm.（答案:8cm）2．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，添加下列条件能使△AEH≌△CEB的有( )B①AE＝EC；②AH＝BC；③EH＝BE； ④∠EAH＝∠B. A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④ 1题图 2题图 3题图如图,BD＝CF,FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BE＝CD,若∠AFD＝145°, 则∠EDF＝_______ （答案：550） 如图,∠ACB＝∠ADB＝90°,AC＝AD,点E在AB上,求证：CE＝DE. 证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90° Rt△ACB和Rt△ADB中， Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)， ∴∠1＝∠2.在△ACE和△ADE中，∴△ACE≌△ADE，∴CE＝DE. 5.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC＝∠ADE＝90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形？请你一一列举； (2)求证：CF＝EF. 解：(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF. (2)连接AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°， 又∵AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)， ∴BF＝DF.又BC＝DE，∴BC－BF＝DF－DF即CF＝EF 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
小结反思 你有什么收获?你还有什么疑问？
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(共24张PPT)
12.2 .4三角形全等的判定HL
人教版 八年级上
新知导入
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？
1、边边边(SSS)
3、角边角(ASA)
4、角角边(AAS)
2、边角边(SAS)
新知导入
如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△ DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.
全等
ASA
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.
AAS
全等
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.
全等
SAS
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC与△DEF （填“全等”或
“不全等”）根据_____（用简写法）.
全等
SSS
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. ASA或(AAS)
新知讲解
新知讲解
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？
新知讲解
任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′使∠C′ =90°.B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′ B′ C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？
探究
新知讲解
1.画∠MC′N =90°；
2.在射线C′M上取B′C′=BC；
3.以B′为圆心，AB为半径画弧.交射线C＇N于点A＇；
4.连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
B′
画法：
新知讲解
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
巩固练习
1.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （ ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等； （ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（4）两直角边对应相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等 （ ）
HL
AAS或ASA
SAS
AAS
AAS
判一判
2.如图,已知AB＝AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A.CB＝CD
B.∠BAC＝∠DAC
C.∠BCA＝∠DCA
D.∠B＝∠D＝90°
巩固练习
C
例题讲解
例1：如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
求证：BC=AD.
证明： ∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C和∠D都是直角。
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌ Rt △BAD
∴BC=AD
（HL）
（全等三角形对应边相等）
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
巩固练习
3. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
巩固练习
4.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
例题讲解
例2： 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
∴∠B+∠F=90°.
拓展提高
1.如图,在△ABC中,∠C＝90°,DE⊥AB于点D,BC＝BD,若AC＝8 cm,则AE＋DE＝____cm.
8
2．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，添加下列条件能使△AEH≌△CEB的有( )
①AE＝EC；②AH＝BC；③EH＝BE；
④∠EAH＝∠B.
A．①②④ B．①②③
C．②③④ D．①③④
B
拓展提高
3.如图,BD＝CF,FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BE＝CD,若∠AFD＝145°,则∠EDF＝
．
55°
拓展提高
4.如图,∠ACB＝∠ADB＝90°,AC＝AD,点E在AB上,求证：CE＝DE.
拓展提高
5.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC＝∠ADE＝90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.
(1)图中还有几对全等三角形？请你一一列举；
(2)求证：CF＝EF.
解：(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.
(2)连接AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，
又∵AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，
∴BF＝DF.又BC＝DE，∴BC－BF＝DF－DF即CF＝EF.
拓展提高
6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
拓展提高
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
课堂总结
反思小结：谈谈你在这节课的收获．
1．直角三角形全等的判定方法有五项依据：“SAS”、“ASA”、“ AAS”、“SSS”“HL”其中，“HL”只适用于判定直角三角形全等。
2．使用“HL”时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等。
作业布置
教材43页练习1、2题
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