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《12.3角平分线的性质》导学案
课题 角平分线的性质 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法；理解角的平分线的性质并能初步运用。2、了解角的平分线的判定定理；会利用角的平分线的判定进行证明与计算.3、通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。
重点难点 重点： 掌握角平分线的尺规作图，角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：对性质、判定的理解与运用
教学过程
知识链接 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
合作探究 知识点1、角的平分线的性质活动1、要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线。你能说明它的道理吗? 活动2、把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC=DC，从几何作图角度怎么画？不用角平分仪或量角器。 活动3、探究角平分线的性质 任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？ 猜想：___________你能结合三角形全等的知识证明这个结论吗？证明猜想： 再在OC上任取一点Q、R，过点Q、R画出OA和OB的垂线，分别记垂足为F、H和J、K，QE与QH、RJ与RK分别有什么关系？QF=QH、RJ=RK你能总结出角的平分线的性质吗？ ●归纳：角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离_______用符号语言表示为： 通过上述操作，你能总结一下，如何证明命题式的语言吗？结论：证明几何命题的一般步骤： 解决知识链接的问题：让同学们结合新知识，说说结论是什么？ 知识点2、角的平分线的判定如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ （1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？ （2）．比例尺为1：20000是什么意思？ 思考：所有在角平分线上的点到角两边的距离都相等吗？ 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ ●归纳：角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在_______________-． ①推导 已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB． 求证：点P在∠MON的平分线上． ②几何表达： 例、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
自主尝试 1.如图,是尺规作图法作∠AOB的平分线OC的痕迹图,能判定△OMC≌△ONC的理由是( )A.SSS B.SAS C.ASA D.HL2.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AD是角平分线,DE⊥AB于点E,DE平分∠ADB，,则∠B等于( )A.22.5° B．30° C．25° D．40° 1题 2题 3题3.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,下列结论中错误的是( )A.PC＝PD B.OC＝OD C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝PC4.如图,已知：OD平分∠AOB,在OA,OB边上取OA＝OB,PM⊥BD,PN⊥AD,垂足分别为M,N.求证：PM＝PN.
当堂检测 1.如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是( )A．只有① B．只有② C．只有①和② D．①②③2.l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有( )A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 1题图 3题图3.如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝____________． 4.如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，连接AO.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC； (2)当OB＝OC时，∠1＝∠2. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
小结反思 这节课你本节课学习了哪些知识？学会了什么方法？
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《12.3角平分线的性质》导学案
课题 角平分线的性质 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法；理解角的平分线的性质并能初步运用。2、了解角的平分线的判定定理；会利用角的平分线的判定进行证明与计算.3、通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。
重点难点 重点： 掌握角平分线的尺规作图，角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：对性质、判定的理解与运用
教学过程
知识链接 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ 为了解决这个难题，我们先来学习本节课的新知，学完以后同学们就能解答了（板书课题）
合作探究 知识点1、角的平分线的性质活动1、要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线。你能说明它的道理吗? 学生口述，用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。多媒体展示具体过程。 活动2、把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC=DC，从几何作图角度怎么画？不用角平分仪或量角器。（学生思考画的过程，最后形成语言，ppt动态演示画的过程）尺规作图：⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N. （2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于一点C ⑶作射线OC.射线OC即为所求活动3、探究角平分线的性质 任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？师归纳，强调定理的条件和作用． 猜想：PD=PE你能结合三角形全等的知识证明这个结论吗？证明猜想：已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等） 再在OC上任取一点Q、R，过点Q、R画出OA和OB的垂线，分别记垂足为F、H和J、K，QE与QH、RJ与RK分别有什么关系？QF=QH、RJ=RK你能总结出角的平分线的性质吗？ 让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．●归纳：角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为：∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等)教师注意强调：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。定理的作用常用来证明线段相等。通过上述操作，你能总结一下，如何证明命题式的语言吗？结论：证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 解决导入的问题：让同学们结合新知识，说说结论是什么？ 答案：点P就是三个内角角平分线的交点。 知识点2、角的平分线的判定如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ （1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？ （2）．比例尺为1：20000是什么意思？ 解：作夹角的角平分线OC，500米=50000厘米，根据比例尺，图上距离应为2.5厘米，所有截取点D=2.5cm ,点D即为所求。 思考：所有在角平分线上的点到角两边的距离都相等吗？ 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB． ●归纳：角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB． 求证：点P在∠MON的平分线上． 证明：连结OP 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL） ∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） 如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）例、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF.∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
自主尝试 1.如图,是尺规作图法作∠AOB的平分线OC的痕迹图,能判定△OMC≌△ONC的理由是( )AA.SSS B.SAS C.ASA D.HL2.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AD是角平分线,DE⊥AB于点E,DE平分∠ADB，,则∠B等于( )BA.22.5° B．30° C．25° D．40° 1题 2题 3题3.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,下列结论中错误的是( )DA.PC＝PD B.OC＝OD C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝PC4.如图,已知：OD平分∠AOB,在OA,OB边上取OA＝OB,PM⊥BD,PN⊥AD,垂足分别为M,N.求证：PM＝PN. 证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD， ∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
当堂检测 1.如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是( )DA．只有① B．只有② C．只有①和② D．①②③2.l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有( )DA．1处 B．2处 C．3处 D．4处 1题图 3题图3.如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝____________．答案：1250 4.如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，连接AO.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC； (2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.解：(1)证△BOD≌△COE(ASA)， ∴OB＝OC (2)证△BOD≌△COE(AAS)， ∴OD＝OE， 又∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E， 所以OA平分∠BAC，即∠1＝∠2 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC∴FM＝FH，∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上
小结反思 这节课你本节课学习了哪些知识？学会了什么方法？
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(共28张PPT)
12.3角平分线的性质
人教版 八年级上
新知导入
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
新知讲解
活动1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，
A
D
B
C
E
你能说明它的道理吗?
新知讲解
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
新知讲解
活动2、尺规作图：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
M
O
N
C
E
⑶作射线OC。射线OC即为所求.
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
新知讲解
任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？
猜想：PD=PE
你能结合三角形全等的知识证明这个结论吗？
新知讲解
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
证明猜想：PD=PE
新知讲解
再在OC上任取一点Q、R，过点Q、R画出OA和OB的垂线，分别记垂足为F、H和J、K，QE与QH、RJ与RK分别有什么关系？
QF=QH
你能总结出角的平分线的性质吗？
RJ=RK
Q
R
J
F
H
K
新知讲解
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
新知讲解
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
定理的作用：
证明线段相等。
新知讲解
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
归纳：
1.如图,是尺规作图法作∠AOB的平分线OC的痕迹图,能判定△OMC≌△ONC的理由是( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.HL
巩固练习
A
2.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AD是角平分线,DE⊥AB于点E,DE平分∠ADB，,则∠B等于( )
A.22.5° B．30°
C．25° D．40°
B
巩固练习
3.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,下列结论中错误的是( )
A.PC＝PD B.OC＝OD
C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝PC
D
巩固练习
4.如图,已知：OD平分∠AOB,在OA,OB边上取OA＝OB,PM⊥BD,PN⊥AD,垂足分别为M,N.求证：PM＝PN.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，
又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD，
∴∠3＝∠4，
又∵PM⊥DB，PN⊥DA，
∴PM＝PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
新知讲解
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
解：如图P就是∠A、∠B、∠C角平分线的交点
P
新知讲解
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
角平分线的性质
应建在角平分线上。
新知讲解
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
500米=50000厘米，根据比例尺，图上距离应为2.5厘米，所有截取点D=2.5cm ,点D即为所求。
所有在角平分线上的点到角两边的距离都相等吗？
Ｏ
新知讲解
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE∴点P在∠AOB的平分线上
C
新知讲解
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
用数学语言表示为：
角的平分线性质的逆定理
（角平分线的判定）
例题讲解
例、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
拓展提高
1.如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是( )
A．只有①
B．只有②
C．只有①和②
D．①②③
D
拓展提高
2.l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有( )
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
D
3.如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝ ．
125°
拓展提高
4.如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，连接AO.求证：
(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
解：(1)证△BOD≌△COE(ASA)，
∴OB＝OC
(2)证△BOD≌△COE(AAS)，
∴OD＝OE，
又∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，
所以OA平分∠BAC，即∠1＝∠2
拓展提高
5.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
课堂总结
小结：这节课我们学到了什么？在生活中有那些用到了我们今天学到的知识。
1、性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2、判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。
作业布置
教材51页综合练习4、5题
谢谢
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