1.1.1集合的含义与表示 学案 解析版

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集合的含义与表示
1.元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合.
(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(4)集合的相等：构成两集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.
2.元素与集合的表示
(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.
(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.
3.元素与集合的关系
(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.
4.常用数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集[来源:学科网ZXXK]
符号 N N*或 N＋ Z Q R
注意正整数集比自然数集中少一个元素“0”.
5.列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；(2)满足元素的互异性和元素的无序性.
6.描述法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的公共特征.
类型一　集合的含义
【例1】下列各组对象不能组成集合的是(　　)
A.著名的中国数学家
B.北京四中2015级新生
C.全体奇数
D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目
解析　根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B，C，D中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集合.
答案　A
【训练1】 下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O距离等于5的点的全体；④全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.
答案　B
类型二　元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R；②?Q；③0∈N*；④|－4|∈N*.
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)集中A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________.
解析　(1)由R(实数集)、Q(有理数集)、N*(正整数集)的含义知，①②④正确，③不正确.
(2)由∈N，则6是3－x的正整数倍，所以3－x＝1，2，3，6.又x∈N，∴x＝0，1，2.
答案　(1)C　(2)0，1，2
【训练2】 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
解　(1)由集合中元素的互异性可得
x≠3且x2－2x≠x，x2－2x≠3，
解得x≠－1且x≠0且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
则x2－2x≠－2，
所以x＝－2.
类型三　集合中元素的特性及应用
【例3】 已知集合A中含有两个元素a＋1，a2－1，且0∈A，则实数a的值为________.
解析　因为0∈A，所以0＝a＋1或0＝a2－1.
当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.
当a2－1＝0时，a＝±1，a＝－1(舍)，所以a＝1.此时，A＝{2，0}，符合题意.
答案　1
【训练3】.已知集合A中含有两个元素a－3，2a－1，且－3∈A，求实数a的值.
解　∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意.
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
类型四　用列举法表示集合
【例4】 用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数组成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点组成的集合.
解　(1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4，2，所求集合为{4，2}；
(3)方程组的解是所求集合为.
【训练4】 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的正偶数组成的集合；
(2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合.
解　(1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}.
(2)方程x(x2－1)＝0的根为0，±1，所求集合为{0，－1，1}.
(3)方程组的解是所求集合为{(1，1)}.[来源:学|科|网]
类型五　用描述法表示集合
【例5】 用描述法表示下列集合：
(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)大于2且小于6的有理数；
(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.[来源:学科网]
解　(1)用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}.
(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2(3)用描述法表示该集合为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}.
【训练5】 用描述法表示下列集合：
(1)满足不等式3x＋2>2x＋1的实数x组成的集合；
(2)坐标平面上第一、三象限内点的集合；
(3)所有正奇数组成的集合.
解　(1){x|3x＋2>2x＋1}＝{x|x>－1}.
(2){(x，y)|xy>0，且x，y∈R}.
(3){x|x＝2k－1，k∈N*}.
类型六　集合表示方法的应用
【例6】 已知f(x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)，A＝{x∈R|f(x)－x＝0}，B＝{x∈R|f(x)－ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.
解　∵f(x)－x＝0，即x2－(a＋1)x＋b＝0，又集合A＝{1，－3}，由根与系数的关系得
所以所以f(x)＝x2＋3x－3.
f(x)－ax＝0，亦即x2＋6x－3＝0，
解得x＝－3±2.
因此B＝{x|x2＋6x－3＝0}＝{－3－2，－3＋2}.
【训练6】 设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a＋b与集合A，B的关系.
解　因为a∈A，则a＝2k1(k1∈Z)；b∈B，则b＝2k2＋1(k2∈Z)，所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1.
又k1＋k2为整数，2(k1＋k2)为偶数，
故2(k1＋k2)＋1必为奇数，所以a＋b∈B且a＋b?A.

课时同步训练

一、单选题
1．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．aA C．a∈A D．a＝A
【答案】C
详解：集合，
.
故选：C.
2．若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是
A．｛1｝ B．｛｝
C．｛0，1｝ D．｛，0，1｝
【答案】D．
详解：时，，满足题意；
时，，．
综上的取值集合是．
3．以下命题中正确的是(　　)
A．所有正数组成的集合可表示为{x|x2>0}
B．大于2 010小于2 012的整数组成的集合为{x|2 010C．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}
D．N中的元素比N+中的元素只多一个元素0,它们都是无限集
【答案】D
【详解】
由题意，所有正数的集合应表示为，所以A不正确；
大于小于的整数的集合应表示为或，
所以B不正确；
4．下面给出的四类对象中,能构成集合的是(　　)
A．速度特别快的汽车
B．聪明的人
C．的近似值的全体
D．倒数等于它本身的实数
【答案】D
【详解】
由题意可知，A，B，C中所指的对象都不确定,故不能构成集合；而D中倒数等于它本身的实数为是确定的，故能构成集合，故选D.
5．下面有五个命题：
①集合N(自然数集)中最小的数是1；②{1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合；③a∈N，b∈N，则a＋b≥2；④a∈N，b∈N，则a·b∈N；⑤集合{0}中没有元素.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为0是自然数，所以0∈N.由此可知①②③是错误的，⑤亦错，集合{0}中有元素0，只有④正确.故选B.
6．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A．3.14 B．－2
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知a应为无理数，故a可以为.选D.
7．已知集合M＝{a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】因集合中的元素全不相同，故三角形的三边各不相同.所以△ABC不可能是等腰三角形.选D.
8．设a，b∈R，集合{1，a}＝{0，a＋b}，则b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】A
【解析】　∵{1，a}＝{0，a＋b}，
∴a=0,b=1∴b－a＝1，故选A.
9．若2∈{1，x2＋x}，则x的值为(　　)
A．－2 B．1
C．1或－2 D．－1或2
【答案】C
【解析】由题意知x2＋x＝2，即x2＋x－2＝0.解得x＝－2或x＝1.选C.
10．若以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为
(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】M＝{－1，2，3}.M中元素的个数为3,选C.
11．设集合M=，则下列关系成立的是
A．1∈M B．2∈M C．(1,2)∈M D．(2,1)∈M
【答案】C
【解析】
M＝{(1，2)}中元素为(1，2),所以选C.

12．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　)
A．-1 B．1 C．0 D．±1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，令代入进行求解，依次赋值代入进行化简，把集合A中运算的所有形式全部求出，再求出它们的乘积即可.
【详解】
由题意，当时，，
令代入，则，
则，则，
即，所以，故选B.

二、填空题
13．用符号“∈”或“?”填空：
（1）若集合P由小于的实数构成，则2_____P;
（2）若集合Q由可表示为n2+1()的实数构成，则5____ Q.
【答案】 ?. ∈.
【解析】分析：确定集合中的元素，特别是集合中元素的表示形式．可知元素与集合的关系．
详解：，∴，而，，∴．
故答案为，．
14．集合A={(x,y)|y=6-x2,x∈N,y∈N},用列举法表示A为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
分别令，求得相应的的值，即可利用列举法求得集合A.
【详解】
根据题意可能取的值为，
当时, ,符合题意；当时,,符合题意；当时,,符合题意，
故.
15．定义A－B＝{x|x∈A且x?B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.
【答案】{6}
【解析】
N－M＝{x|x∈N，且x?M}，所以N－M＝{6}．
16．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是________.
【答案】2或4
【解析】2∈A，则6－2=4∈A；4∈A，则6－4=2∈A；6∈A，则6－6=0∈A，舍去，因此a的值是2或4
17．若{a，0，1}＝{c，，－1}，则a＝______，b＝______，c＝________.
【答案】 －1 1 0
【解析】∵－1∈{a，0，1}，∴a＝－1.
又0∈{c，，－1}且≠0，
∴c＝0，从而可知＝1，∴b＝1.
18．下列关系中
①－∈R；② ?Q；③|－20|?N*；④|－ |∈Q；⑤－5?Z；⑥0∈N.
其正确的是________.
【答案】①②⑥
【解析】|－20|=20∈N* ,|－ |=?Q；－5∈Z；所以正确的是①②⑥

三、解答题
19．已知A＝{a－1,2a2＋5a＋1，a2＋1}，且－2∈A，求a的值．
【答案】a＝－
【详解】
由题意，因为－2∈A且a2＋1≥1，∴a2＋1≠－2.
从而有a－1＝－2或2a2＋5a＋1＝－2，
解得a＝－或a＝－1.
当a＝－时，a－1＝－，2a2＋5a＋1＝－2，
a2＋1＝符合题意．
当a＝－1时，a－1＝2a2＋5a＋1＝－2，
故a＝－1应舍去．所以a＝－.
20．用列举法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）不大于的非负奇数集；
（3）．
【答案】(1){(2,1)}.
(2){1,3,5,7,9}.
(3){-2,1,2,3}
详解：（1）由，得，
故方程组的解集为{(2,1)}.
（2）不大于10，即小于或等于10，非负是大于或等于0，
故不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}.
（3）由式子可知4-x的值为1，2,3,6，从而可以得到x的值为3,2,1，-2，所以.
21．设为实数集，且满足条件：若，则．
求证：（1）若，则中必还有另外两个元素；
（2）集合不可能是单元素集．
【解析】分析：（1）把代入，求得的值再代入，直到求得结果为；
（2）要证无实数解．
详解：（1）∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
∴中必还有另外两个元素为.
（2）若为单元素集，则，
即，而该方程无解，∴，∴不可能为单元素集．
22．已知x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求元素x满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.
【答案】（1）x≠-1,且x≠0,且x≠3（2）x=-2.
【解析】试题分析：（1）由集合中元素互异性得x≠3,且x2-2x≠x,x2-2x≠3,解不等式可得x满足的条件;（2）分类讨论，并解出集合，根据集合中元素互异性进行验证与取舍
试题解析：解:(1)由集合中元素的互异性可得x≠3,且x2-2x≠x,x2-2x≠3,解得x≠-1,且x≠0,且x≠3.
故元素x满足的条件是x≠-1,且x≠0,且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于方程x2-2x+2=0无解,所以x=-2.
23．已知集合A＝{x|ax2＋3x＋1＝0，x∈R}，(1)若A中只有一个元素，求实数a的值．(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【答案】(1)0或 . (2) a＝0或a≥.
试题解析：
(1)当a＝0时，3x＋1＝0，满足条件；
当a≠0时，Δ＝9－4a＝0，a＝；
所以满足条件的实数a的值为0或.
(2)若A中只有一个元素，则实数a的值为0或；
若A＝?，则，得：a>.
所以满足条件的实数a的取值范围为a＝0或a≥.
24．已知集合.
（1）若是单元素集，求的值即集合；
（2）求集合 使得至少含有一个元素.
【答案】（1）当时当时， （2）
试题解析：（1）A是单元素集， ，A=； ，A= ；
（2）






















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