2. 3 幂函数教案
【教学目标】
1．掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
2．能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
【教学重难点】
教学重点：从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
【教学过程】
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？
（1）边长为的正方形面积，是的函数；
（2）面积为的正方形边长，是的函数；
（3）边长为的立方体体积，是的函数；
（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；
（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数.
已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
设计意图：步步导入，吸引学新知：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.
试试：判断下列函数哪些是幂函数.
①；②；③；④.
探究任务二：幂函数的图象与性质
问题：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
从图象分析出幂函数所具有的性质.
观察图象，总结填写下表：
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
（三）合作探究、精讲点拨。
例1讨论在的单调性.
解析：证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性。
证明：任取，且，则
，
因为，，所以，
所以，即在为增函数。
点评：证明函数的单调性要严格按照步骤和格式写，利用作商法比较大小时注意函数符号要一致。
变式训练1：讨论的单调性.
（学生板演，小组讨论）
例2比较大小：
（1）与； （2）与；（3）与.
分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数单调性来比较大小。
变式训练2
练习1. 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性.
练习2. 比大小：
（1）与； （2）与；
（3）与
(四)小结：今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？幂函数的图象和形状就可能发生很大的变化。我们今天主要研究了幂函数在第一象限的性质。本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
【板书设计】
一、幂函数概念及其性质
1. 概念
2. 性质
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】课本79页2
2.3 幂函数学案
课前预习学案
一、预习目标
预习“五个具体的幂函数”，初步认识幂函数的概念和性质。
二、预习内容
1．写出下列函数的定义域，并画出函数图象、指出函数的单调性和奇偶性：
2．下列四个命题中正确的为 （ ）
A．幂函数的图象都经过
B．当n<0时，幂函数 的值在定义域内随x的值增大而减小
C．幂函数的图象不可能出现在第四象限内
D．当n=0时，幂函数图象是一条直线
3．下列各式中正确的是 （ ）
A．－2.4 <(－4.2) B．()<() C．(－π) >(－2 ) D．(－π) <5
4．幂函数的图象过点(2, 4 ), 则它的单调递增区间是。
A．(0, ＋∞) B．[0, ＋∞) C．(－∞, 0) D．(－∞, ＋∞)
5．已知幂函数 的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，则m=__ ___
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1．掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
2．能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
学习重难点：能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，概括出幂函数的性质。
二、学习过程
探究任务一：幂函数的概念
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？
（1）边长为的正方形面积，是的函数；
（2）面积为的正方形边长，是的函数；
（3）边长为的立方体体积，是的函数；
（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；
（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数.
新知：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.
试试：判断下列函数哪些是幂函数.
①；②；③；④.
探究任务二：幂函数的图象与性质
问题：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
从图象分析出幂函数所具有的性质.
观察图象，总结填写下表：
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
三、 典型例题
例1讨论在的单调性.
变式训练一：讨论的单调性.
例2比较大小：
（1）与； （2）与；
（3）与.
变式训练二
练1. 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性.
练2. 比大小：
（1）与； （2）与；
（3）与.
四、反思总结
幂函数的图象，在第 象限内，直线 的右侧，图象由下至上，指数由小到大. 轴和直线之间，图象由上至下，指数.
五、当堂达标
1. 若幂函数在上是增函数，则（ ）.
A．>0 B．<0
C．=0 D．不能确定
2. 函数的图象是（ ）.
A. B. C. D.
3. 若，那么下列不等式成立的是（ ）.
A．C．课后练习与提高
选择题
1、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ）
A． B． C． D．
2、下列命题中正确的是 （ ）
A．当时函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
3、如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 比大小：
（1）； （2）.
5. 已知幂函数的图象过点，则它的解析式为 .
6.若幂函数的图象不过原点，求：值。
课件39张PPT。2.3 幂函数复 习 引 入(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w
千克，那么她需要支付p＝w元，这里p
是w的函数；复 习 引 入(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w
千克，那么她需要支付p＝w元，这里p
是w的函数；(2) 如果正方形的边长为a，那么正方形
的面积S＝a2，这里S是a的函数；复 习 引 入(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w
千克，那么她需要支付p＝w元，这里p
是w的函数；(2) 如果正方形的边长为a，那么正方形
的面积S＝a2，这里S是a的函数；(3) 如果立方体的边长为a，那么立方体
的体积V＝a3，这里V是a的函数；(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长 ，这里a是S的函数；复 习 引 入(5) 如果某人t秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t－1km/s，这里
v是t的函数.(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长 ，这里a是S的函数；复 习 引 入(5) 如果某人t秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t－1km/s，这里
v是t的函数.(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长 ，这里a是S的函数；复 习 引 入思考：这些函数有什么共同的特征？思考：这些函数有什么共同的特征？思考：这些函数有什么共同的特征？(1) 都是函数；
思考：这些函数有什么共同的特征？(1) 都是函数；
(2) 指数为常数；
思考：这些函数有什么共同的特征？(1) 都是函数；
(2) 指数为常数；
(3) 均是以自变量为底的幂.讲 授 新 课 一般地，函数y＝xa叫做幂函数，
其中x是自变量，a是常数.注意:
幂函数中a的可以为任意实数.1. 判断下列函数是否为幂函数练习2. 在同一平面直角坐
标系内作出幂函数练习的图象.练习xy2. 在同一平面直角坐
标系内作出幂函数O的图象.练习xy2. 在同一平面直角坐
标系内作出幂函数O的图象.练习xy2. 在同一平面直角坐
标系内作出幂函数O的图象.练习xy2. 在同一平面直角坐
标系内作出幂函数O的图象.练习xy2. 在同一平面直角坐
标系内作出幂函数的图象.O新课讲解.二.幂函数的图象及性质在同一平面直角坐标系内作出 ， ， ， ，
， 的图像观察上述图象，将你发现的结论写在P78的表格内观察图象，将你发现的结论写下下表内观察图象，将你发现的结论写下下表内观察图象，将你发现的结论写下下表内观察图象，将你发现的结论写下下表内观察图象，将你发现的结论写下下表内观察图象，将你发现的结论写下下表内幂函数的性质 幂函数的性质 (1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，
并且图象都通过点(1,1)；
(1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，
并且图象都通过点(1,1)；
(2) 如果a＞0，则幂函数图象过原点，
并且在区间[0,＋∞)上是增函数；幂函数的性质 (3) 如果a＜0，则幂函数图象在区间
(0,＋∞)上是减函数，在第一象限内，当
x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方
无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图象
在x轴上方无限地逼近x轴；
幂函数的性质 (3) 如果a＜0，则幂函数图象在区间
(0,＋∞)上是减函数，在第一象限内，当
x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方
无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图象
在x轴上方无限地逼近x轴；
(4) 当a为奇数时，幂函数为奇函数；
当a为偶数时，幂函数为偶函数．幂函数的性质 练习 判断正误1.函数f(x)＝x＋ 为奇函数.2.函数f(x)＝x2，x?[－1,1)为偶函数.3.函数y＝f(x)在定义域R上是奇函数，
且在(－?, 0]上是递增的，则f(x)在
[0, ＋?)上也是递增的.4.函数y＝f(x)在定义域R上是偶函数，
且在(－?, 0]上是递减的，则f(x)在
[0, ＋?)上也是递减的.例1 比较下列各组数的大小练习比较下列各组数的大小(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调
性比较两个数的大小；
(2) 若能化为同底数，则用指数函数的单
调性比较两个数的大小；
(3)当不能直接进行比较时，可在两个数
中间插入一个中间数，间接比较上述
两个数的大小.利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 例2 证明幂函数 在[0,＋∞)
上是增函数．课 堂 小 结(1) 幂函数的定义；
(2) 幂函数的性质；
(3) 利用幂函数的单调性判别大小.课 堂 小 结(1) 幂函数的定义；
(2) 幂函数的性质；
(3) 利用幂函数的单调性判别大小.课 堂 小 结(1) 幂函数的定义；
(2) 幂函数的性质；
(3) 利用幂函数的单调性判别大小.§2.3 幂函数
课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．
1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象．
3．结合2中图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．
(5)幂函数在第____象限无图象．
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为( )
A. B．64
C．2 D.
3．下列是y＝的图象的是( )
4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )
A．0 B．2
C．3 D．4
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
8．函数y＝＋x－1的定义域是____________．
9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．
三、解答题
10．比较1. 、、的大小，并说明理由．
11．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
能力提升
12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
13．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)1．幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、
n互质)时，有：
n
m
y＝的奇偶性
定义域
奇数
偶数
非奇非偶函数
[0，＋∞)
偶数
奇数
偶函数
(－∞，＋∞)
奇数
奇数
奇函数
(－∞，＋∞)
3.幂函数y＝的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数．
§2.3 幂函数
知识梳理
1．函数y＝xα 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸
(3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四
作业设计
1．C [根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]
2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，
即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.]
3．B [y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．]
4．B [作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]
5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c；y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.]
6．B [因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]
7．④
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
8．(0，＋∞)
解析 y＝的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．
9．m<－
解析 由幂函数的性质知－2m－3>0，
故m<－.
10．解 考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵>，∴>.
再考查函数y＝，∵>0，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵1.4>1.1，∴>，
∴>>.
11．解 由题意，得3m－7<0.
∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于y轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.
12．解 (1)若f(x)为正比例函数，
则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
13．解 设f(x)＝xα，则由题意，得
2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，
f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－12.3 幂函数
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象.
（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.
2．过程与方法
（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.
（2）使学生进一步体会数形结合的思想.
3. 情感、态度、价值观
（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.
（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.
（二）教学重点、难点
重点：常见幂函数的概念、图象和性质.
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.
（三）教学方法
采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.
利用实物投影仪及计算机辅助教学.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
引入
（多媒体显示以下5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）
问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.
问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.
问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t－1 km/s，这里v是t的函数.
学生阅读、思考、交流、口答，教师板演．
师：观察上述例子中函数模型，这几个函数表达式有什么共同特征？
生：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量. 变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.
（引入新课，书写课题）
培养学生的观察、归纳、概括能力，
形成
概念
幂函数的定义
一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.
师：请同学们举出几个具体的
幂函数.
生：如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
理解幂函数的定义.
深化
概念
1.研究幂函数的图像
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2.通过观察图像，填P86探究中的表格
定义域
R
R
奇偶性
奇
奇
在第Ⅰ象限单调增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
定点
（1，1）
（1，1）
R
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
（1，1）
（1，1）
（1，1）
3.幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；
（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当0<α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.
探究幂函数的性质和图像的变化规律，
应用
举例
例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.
（1）y=x；（2）y=x；（3）y=x－2.
例2 证明幂函数f（x）=在［0，+∞）上是增函数.
请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书.
合作探究：
【例3】 比较下列各组数的大小：
（1）1.5，1.7，1；
（2）（－），（－），1.1；
（3）3.8，3.9，（－1.8）；
（4）31.4，51.5.
课堂练习
1.下列函数中，是幂函数的是
A.y=－x B.y=3x2 C.y= D.y=2x
2.下列结论正确的是
A.幂函数的图象一定过（0，0）和
（1，1）
B.当α＜0时，幂函数y=xα是减函数
C.当α＞0时，幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数
3.函数y=x的图象大致是
4.幂函数f（x）=ax（m∈Z）的图象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a和m.
例1分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.
①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；
②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；
③0的0次幂没有意义；
④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.
解：（1）函数y=x，即y=，其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.
（2）函数y=x，即y=，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减.
（3）函数y=x－2，即y=，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.
例2证明：设0≤x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）
=－
=
=，
因为x1－x2＜0，
+＞0，
所以f（x1）＜f（x2），
即幂函数f（x）=在
［0，+∞）上是增函数.
小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得＜1后，要比较f（x1）与f（x2）的大小，要注意分母的符号.
例3分析：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.
解：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1.
（2）（－）=（），
（－）=（），
1.1=［（1.1）2］=1.21.
∵幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，
∴（）＞（）
＞1.21，
即（－）＞（－）
＞1.1.
（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小.
（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5.
小结：（1）当底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.
（2）当底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.
课堂练习答案：
1. C 2. D
3. D 4. a=1，m=1，3，5，7.
掌握幂函数知识的应用.
归纳
总结
1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.
2.常见幂函数的图象和性质.
3.幂值的大小比较方法.
学生先自回顾反思，教师点评完善．
形成知识体系.
课后
作业
作业：2.3 第一课时 习案
学生独立完成
巩固新知
提升能力
备选例题
例1 已知是幂函数，求m，n的值.
【解析】由题意得，
解得， 所以.
【小结】做本题时，常常忽视m2 + 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件.
表达式y =(x∈R)的要求比较严格，系数为1，底数是x，∈R为常数，如，y = 1 = x0为幂函数，而如y = 2x2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.
例2 比例下列各组数的大小.
（1）；
（2）(–2)–3和(–2.5)–3；
（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；
（4）.
【解析】（1），函数在
(0, +∞)上为增函数，又，则，
从而.
（2）幂函数y = x–3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数，
又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.
（3）幂函数y = x–0.1在(0, +∞)上为减函数，
又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.
（4）＞= 1；0＜＜= 1；
＜0，
∴＜＜.
【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.
课件12张PPT。 2.3幂函数
引例.1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2,
这里s是a的函数;3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3,
这里V是a函数;4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方
形的边长 a=S1/2 这里S是a的函数;5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均
速度v=t-1 km/s 这里v是t的函数.以上问题中的函数具有什么共同特征？新课讲解.一.幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数
（power fun_ction），其中x是自变量， 是常数.几点说明：1) 中 前面系数是1,并且后面也没有常数项；2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数
确定下来; 3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但
指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.新课讲解.二.幂函数的图象及性质在同一平面直角坐标系内作出 ， ， ， ，
， 的图像观察上述图象，将你发现的结论写在P78的表格内新课讲解.二.幂函数的图象及性质新课讲解.二.幂函数的图象及性质幂函数性质：1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； 2)当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且
在[0，+∞)上是增函数
(从左往右看，函数图象逐渐上升)
当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
(从左往右看，函数图象逐渐上升)3)在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方
无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方
并无限逼近x轴的正半轴.4)当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数应用举例.例2.证明幂函数y=x3 在定义域上是增函数.例1.证明幂函数 在定义域上是
增函数.应用举例.例3.比较下列各组数的大小应用举例.例4.如图，幂函数
在第一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 , C4 , C5 ，则 大小如何排列?应用举例.选讲.1)当 取不同的有理数时，讨论
幂函数 的定义域.2)已知幂函数 ,
在区间(0,+∞)上是减函数,求函数的解析式
并讨论其单调性和奇偶性课堂小结.1.幂函数的定义
2.5类典型幂函数的图像及性质
3.幂函数的4点性质
4.利用幂函数图像比较数与数的大小
5.掌握幂函数中指数的变化对图像影响
今日作业
1.书本P79 习题2.3 第1-3题
P82复习题 A组第10题
2、3幂函数 同步练习
一、选择题
1、下列不等式中错误的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
2、函数在定义域上的单调性为
A、在上是增函数，在上是增函数 B、减函数
C、在上是减增函数，在上是减函数 D、增函数
3、在函数y＝，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数有 （ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
4、当x∈（1，＋∞）时，函数）y＝的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是 （ ）
A、a＜1 B、0＜a＜1 C、a＞0 D、a＜0
5、在同一坐标系内，函数的图象可能是 （ ）
6、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则在R上f(x)的表达式是 （ ）
A、y=x(2-x) B、y=x(2-|x|) C、y=|x|(2-x) D、y=|x|(2-|x|)
7、函数的单调递减区间是 （ ）
A、 B、 C、 D、
8．在函数中，幂函数的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若幂函数在上是增函数，则 ( )
A．>0 B．<0 C．=0 D．不能确定
10．若，那么下列不等式成立的是 ( )
A．11．在下列函数中，定义域为R的函数有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．若幂函数在(0，+∞)上是减函数，则 ( )
A．>1 B．<1 C．=l D．不能确定
13．若点在幂函数的图象上，那么下列结论中不能成立的是 ( )
A． B． Ｃ． D．
二、填空题
14、若＜，则a的取值范围是____；
15、已知0＜a＜1，试比较，，的大小____________________
16、已知函数f(x)=a-5x+2a+3 的图象经过原点，则f(x)的单调递增区间是________
17、若幂函数与的图像在第一象限内的部分关于直线y=x对称，则p,q应满足的条件是_________________
18、若幂函数上 单调递减，则n是_______________
三、解答题
19、已知幂函数f（x）＝（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）、
20、设α、β是方程x2+2(m+3)x+2m+4=0的两个实数根， m取何值时，(α-1)2+(β-1)2取最小值？并求此最小值、
21、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)-x=0的两个根x1、
(1)当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；
答案:
一、选择题1、C 2、B 3、C 4、A 5、C；6、B；7、D
8、C 9、A 10、A 11、B 12、B 13、B
二、解答题
14、 （，）
15.＜＜。
16、
17、pq=1
18、负偶数
三、解答题
19、解：因为幂函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数，
所以－p2＋p＋＞0，解得－1＜p＜3、又幂函数在其定义域内是偶函数且p∈Z，所以p＝2、相应的函数f（x）＝、
20、解：由△=4(m+3)2-4、(2m+4)=4(m2+4m+5)＞0得m∈R、(α-1)2+(β-1)2=(α2+β2)-2(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4(m+3)2-2(2m+4)+4(m+3)+2=4m2+24m+42=4(m+3)2+6，当m=-3时，(α-1)2+(β-1)2取最小值6
21、解：令F(x)=f(x)-x，由已知，F(x)=a(x-x1)(x-x2)、当x∈(0，x1)时，由于x1＜x2， 所以(x-x1)(x-x2)＞0，由a＞0，得F(x)＞0，即x＜f(x)、x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x+a(x1-x)(x-x2)=(x1-x)·[1+a(x-x2)]、因为0＜x
＞0即f(x)＜x1
