3．1.2 用二分法求方程的近似解
课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________________________________________________________．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点____；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则________________；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈________)；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈________)．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
一、选择题
1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点
B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点
C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]
⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．
三、解答题
10．确定函数f(x)＝＋x－4的零点所在的区间．
11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)
能力提升
12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为( )
A．0 B．1 C．3 D．4
13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．
3．1.2 用二分法求方程的近似解
知识梳理
1．f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解
2．(1)f(a)·f(b)<0 (2)c (3)①c就是函数的零点 ②(a，c)
③(c，b)
作业设计
1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
2．A [由选项A中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]
3．D
4．B [∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.
又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]
5．C [设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，
f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]
6．B [∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]
7．③④⑤
8．[2,2.5)
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
9．0.75或0.687 5
解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
10．解 (答案不唯一)
设y1＝，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
11．证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，
f(1.187 5)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
∴1.187 5可作为这个方程的实数解．
12．A [∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]
13．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；
第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
3.1.3 用二分法求方程的近似解
（一）教学目标
1．知识与技能
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.
2．过程与方法
体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.
3．情感、态度及价值观
在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.
（二）教学重点与难点
重点：用二分法求方程的近似解；
难点：二分法原理的理解
（三）教学方法
讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题引入课题
1问题：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式. 求根：如何求得方程的根呢？
①函数f (x) = lnx + 2x – 6在区间(2，3)内有零点.
②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.
③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈–0.084.因为f (2.5)·f (3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512.因为f (2.5)·f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
⑤由于(2，3) (2.5，3)
(2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.
⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x = 2.531 25作为函数
f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值，也即方程lnx + 2x – 6 = 0根的近似值.
师：怎样求方程lnx + 2x – 6 = 0的根.
引导：观察图形
生：方程的根在(2，3)区间内
师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根
生：应该可用
师：我们现用一种常见的数学方法—二分法，共同探究已知方程的根.
师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
–0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
2.53125
–0.009
(2.53125,2.5625)
2.546875
0.029
(2.53125,2.546875)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625)
2.53515625
0.001
由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.
形成概念
1．对于区间[a，b]上连续不断且f (a)·f (b)＜0的函数y = f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2．给定精确度，用二分法求函数f (x)零点近似值的步聚如下：
（1）确定区间[a，b]，验证f (a)·f (b)＜0，给定精确度；
（2）求区间(a，b)的中点c；
（3）计算f (c)；
①若f (c) = 0，则c就是函数的零点；
②若f (a)·f (c)＜0，则令b = c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f (c)·f (b)＜0，则令a = c(此时零点x0∈(c，b)).
（4）判断是否达到精确度：即若|a – b|＜，则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4.
师生合作回顾实例：
求方程lnx + 2x – 6 = 0的近似解(精确度0.01)的操作过程.掌握二分法，总结应用二分法的步骤
师：讲授二分法的定义.
生：总结应用二分法的步骤.
学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书.
由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.
应用举例
例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1).
师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.
例1 解：原方程即2x + 3x –7 = 0，令f (x) = 2x + 3x –7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x –7的对应值表与图象
x
0
1
2
3
4
f(x)=2x+3x–7
–6
–2
3
10
21
x
5
6
7
8
f(x)=2x+3x–7
40
75
142
273
观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.
取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).
再取(1，1.5)的中点x 2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).
同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)
由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.
尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能
巩固练习
1．借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点(精确度0.1).
2．借助计算器或计算机，用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解(精确度0.1).
学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解.
1．解：由题设可知f(0)= –1.4＜0，f(1)=1.6＞0，
于是f(0)·f(1)＜0，
所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点.
下面用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点
取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)= –0.55.因为f(0.5)·f(1)＜0，
所以x0∈(0.5，1).
再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.32.
因为f(0.5)·f(0.75)＜0，
所以x0∈(0.5，0.75).
同理可得x0∈(0.625，0.75)，x0∈(0.625，0.6875)，x0∈(0.65625，0.6875)
由于|0.6875–0.65625|=0.3125＜0.1，
所以原方程的近似解可取为0.65625.
2．解原方程即x + lgx– 3 = 0，令f(x) = x + lgx– 3，用计算器可算得f(2)≈–0.70，f(3)≈0.48，
于是f(2)· f(3)＜0，
所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解.
下面用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解.
取区间(2，3)的中点x1 = 2.5，用计算器可算得f(2.5)≈–0.10.
因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0 ∈(2.5，3).
再取区间(2.5，3)的中点x2 = 2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0 ∈(2.5，2.75).
同理可得x0 ∈(2.5，2.625)，
x0 ∈(2.5625，2.625).
由于|2.625–2.5625|=0.0625＜0.1，
所以原方程的近似解可取为2.5625.
进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项.
课后练习
3.1 第三课时 习案
学生独立完成
巩固二分法应用技能
备选例题
例1 用二分法求函数f (x) = x3 – 3的一个正实数零点(精确到0.1).
【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0 = 1，b0 = 2
f(1)= –2，f(2)=5
[1，2]
f (x0) = 0.375＞0
[1，1.5]
f (x1) = –1.0469＜0
[1.25，1.5]
f (x2) = –0.4004＜0
[1.375，1.5]
f (x3) = –0.0295＜0
[1.4375，1.5]
f (x4) = 0.1684＞0
[1.4375，1.46875]
f (x5)＞0
[1.4375，1.453125]
x6 = 1.4453125
f (x6)＞0
[1.4375，1.4453125]
由上表的计算可知区间[1.4375，1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
§3.1.2 用二分法求方程的近似解教案
【教学目标】
1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
【教学重难点】
教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解
【教学过程】
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
探究任务：二分法的思想及步骤
问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好,解法：
第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？
新知：对于在区间上连续不断且<0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
反思：
给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢？
①确定区间，验证，给定精度ε；
②求区间的中点；
③计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）；
④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．
（三）典型例题
例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.
解析：如何进一步有效的缩小根所在的区间。
解：原方程即为，令，用计算器或计算机作出对应的表格与图象（见课本90页）
则，说明在区间内有零点，
取区间的中点，用计数器计算得，因为，所以.
再取区间的中点，用计数器计算得，因为，所以.
同理可得
由于
，
所以方程的近似解可取为
点评：利用同样的方法可以求方程的近似解。
变式训练1：求方程的根大致所在区间.
例2 求方程的解的个数及其大致所在区间.
分析：用二分法求方程的近似解的原理的应用，学生小组合作共同完成。
变式训练2
求函数的一个正数零点（精确到）
零点所在区间
中点函数值符号
区间长度
(四)小结：今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
【板书设计】
一、二分法的思想及步骤
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】课本91页1
§3.1.2 用二分法求方程的近似解学案
课前预习学案
一、预习目标
能说出零点的概念，零点的等价性，零点存在性定理。
二、预习内容
（预习教材P89~ P91，找出疑惑之处）
复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？
对于函数，我们把使 的实数x叫做函数的零点.
方程有实数根函数的图象与x轴 函数 .
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点.
复习2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
学习重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
学习难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解
二、学习过程
探究任务：二分法的思想及步骤
问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.
解法：
第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？
新知：对于在区间上连续不断且<0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
反思：
给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢？
①确定区间，验证，给定精度ε；
②求区间的中点；
③计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）；
④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．
三、 典型例题
例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.
变式：求方程的根大致所在区间.
例2求方程的解的个数及其大致所在区间.
变式训练
求函数的一个正数零点（精确到）
零点所在区间
中点函数值符号
区间长度
四、反思总结
① 二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.
五、当堂达标
1. 求方程的实数解个数及其大致所在区间.
课后练习与提高
1. 若函数在区间上为减函数，则在上（ ）.
A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点
C. 没有零点 D. 至多有一个零点
2. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.
3. 函数的零点所在区间为（ ）.
A. B. C. D.
4. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 .
5. 函数的零点个数为 ，大致所在区间为 .
6. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）.
、
课件56张PPT。3.1.2用二分法求
方程的近似解复 习 引 入 函数f(x)＝lnx＋2x－6＝0在区间(2，3)
内有零点如何找出这个零点？游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，
请同学们猜一下下面这部手机的价格.游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，
请同学们猜一下下面这部手机的价格.思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，
请同学们猜一下下面这部手机的价格. 利用我们猜价格的方法，你能否求
解方程lnx＋2x－6＝0?如果能求解的话，
怎么去解？思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？探究f(2)<0, f(3)>0f(2)<0, f(3)>02.5f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0(2.5, 3)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>0(2.5, 3)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75(2.5, 3)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0(2.5, 3)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0f(2.5)<0,
f(2.75)>0(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0f(2.5)<0,
f(2.75)>02.625(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0f(2.5)<0,
f(2.75)>02.625f(2.625)>0(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0f(2.5)<0,
f(2.75)>02.625f(2.625)>0(2.5, 2.625)f(2.5)<0, f(2.625)>02.5625f(2.5625)>0(2.5, 3)(2.5, 2.75)f(2)<0, f(3)>02.5f(2.5)<0(2.5, 3)f(2.5)<0, f(3)>02.75f(2.75)>0(2.5, 2.75)f(2.5)<0,
f(2.75)>02.625f(2.625)>0(2.5, 2.625)f(2.5)<0, f(2.625)>02.5625f(2.5625)>0(2.5, 2.5625)f(2.5)<0,
f( 2.5625)>02.53125f(2.53125)<0播放动画讲 授 新 课二分法的定义讲 授 新 课 对于在区间[a，b]上连续不断且
f (a)·f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不
断地把函数f(x)的零点所在的区间一
分为二，使区间的两个端点逐步逼
近零点，进而得到零点近似值的方
法叫做二分法.二分法的定义用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；(1) 若f(c)＝0, 则c就是函数的零点；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；(1) 若f(c)＝0, 则c就是函数的零点；(2) 若f(a)·f(c)＜0, 则令b＝c(此时零点x0∈(a,c))；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；(1) 若f(c)＝0, 则c就是函数的零点；(2) 若f(a)·f(c)＜0, 则令b＝c(此时零点x0∈(a,c))；(3) 若f(c)·f(b)＜0, 则令a＝c(此时零点x0∈(c,b)).用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度?；2.求区间(a, b)的中点c；3.计算f(c)；(1) 若f(c)＝0, 则c就是函数的零点；(2) 若f(a)·f(c)＜0, 则令b＝c(此时零点x0∈(a,c))；(3) 若f(c)·f(b)＜0, 则令a＝c(此时零点x0∈(c,b)).4.判断是否达到精确度?: 即若|a－b|＜?，则得
到零点近似值a(或b), 否则重复2~4.例1 用二分法求函数f (x)＝x3－3的一个
正实数零点(精确到0.1).列表列表列表列表列表列表列表列表列表列表列表列表列表播放动画例2 借助计算器或计算机用二分法求方
程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1).例2 借助计算器或计算机用二分法求方
程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1).列表因为f(1)·f(2)<0，所以 f(x)=2x＋3x－7在
(1, 2)内有零点x0，取(1, 2)的中点x1=1.5，
f(1.5)=0.33，因为f(1)·f(1.5)<0
所以x0∈(1, 1.5).取(1, 1.5)的中点x2=1.25，f(1.25)=－0.87，
因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25, 1.5).因为f(1)·f(2)<0，所以 f(x)=2x＋3x－7在
(1, 2)内有零点x0，取(1, 2)的中点x1=1.5，
f(1.5)=0.33，因为f(1)·f(1.5)<0
所以x0∈(1, 1.5).同理可得， x0∈(1.375, 1.5)，
x0∈(1.375, 1.4375)，
由于 |1.375－1.4375|=0.0625<0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.4375.取(1, 1.5)的中点x2=1.25，f(1.25)=－0.87，
因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25, 1.5).因为f(1)·f(2)<0，所以 f(x)=2x＋3x－7在
(1, 2)内有零点x0，取(1, 2)的中点x1=1.5，
f(1.5)=0.33，因为f(1)·f(1.5)<0
所以x0∈(1, 1.5).例2 借助计算器或计算机用二分法求方
程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1).播放动画课 堂 小 结1. 二分法的定义；
课 堂 小 结1. 二分法的定义；
2. 用二分法求函数零点近似值的步骤.课 后 作 业2. 《习案》作业三十.1. 阅读教材P.89~ P.91.课件10张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解
(1)一.基础知识1．函数零点的定义：方程有实根 函数图象与轴有交点 函数有零点。 2．函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：（1）定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 那么函数 在区间 内有零点，即存在 使得 ,这个 也就是方程 的实数根。 （2）连续函数变号了一定有零点（能证明f(x)单调
则有且只有一个零点）；不变号不一定无零点（如
二重零点）：在相邻两个零点之间所有的函数值
保持同号。3．（1）一次函数y=ax+b的零点： 一定为变号零点（2）二次函数 的零点：4．题型一：求零点：即为求解方程的根。题型二：求零点个数及所在区间： 解一：利用计算器或计算机作的对应值表上连续，并且有，那么函数在区间内至少有一个实数在上的单调性，则在有且只有一个零点、再在其它区间内同理去寻找。、若在区间根、若能证明解二：试探着找到两个x对应值为一正一负（至少
有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个。解三：构造两个易画函数，画图，看图象交点
个数，很实用。题型三：已知零点范围确定相关字母的范围：
控制二次函数图象的四个手段：a 的正负；
对称轴范围；判别式大于小于等于0；某些函
数值（乘积）正负。5．用二分法求函数零点近似值的步骤：1．确定区间 ，验证 给定精确度； 2．求区间 的中点 3．计算：（1）若=0，则c就是函数的零点，计算终止；（2）若，则令b=c（此时零点）；（3）若则令a=c（此时零点。(用列表更清楚)(4)．判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值；否则重复2~4。说明：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对
函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适
用；用二分法求函数的零点近似值必须用上节的
三种方法之一先求出零点所在的区间。例1．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到0.1）。例2．求函数的零点，并画出它的图象。例3．已知函数的图象如图所示，则
A． B． C． D． 12课件8张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解
(2)问题1算一算：查找线路电线、水管、气管等管道线路故障定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，
按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，
也叫对分法，常用于： 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一
条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近，
要检查多少次？方法分析：实验设计、资料查询；是方程求根的常用方法！7次温故知新若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，
并且 在闭区间[a,b]端点的函数值符号相反，即
f(a)f(b)<0,则f(x)在（a,b)上至少有一个零点，
即方程f(x)=0在(a,b)上至少有一个实数解。判断零点存在的方法定理说明：若方程f(x)=0在区间(a,b)只有一解，
则必有f(a)f(b)<0.实例体验：-1 f(x)yxO12345假设，在区间[-1,5]上，f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，我们依如下方法可以求得方程f(x)=0的一个解。取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即
f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解，
于是再取[2,5]的中点3.5，……如果取到某个区间的中点x0,
恰好使f(x0)=0,
则x0就是
所求的一个解；如果区间
中点的函数总不为0，那么，
不断重复上述操作，动手实践例1。借助计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确到0.1）动手练：书本P91
练习2算法图利用二分法求方程实数解的过程选定初始区间取区间的中点中点函数值为0MN结束是否是1.初始区间是一个两端
函数值符号相反的区间2.“M”的意思是
取新区间，其中
一个端点是原区
间端点，另一个
端点是原区间的中点3.“N”的意思是方程
的解满足要求的精确度。中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0中点函数值为0是是结束是关于二分法的适用范围和精确度(1)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；
(2)若起始区间是长度是1,则经过n次二分法以后,精确度为 ,估计达到精确度 至少需要使用二分法的次数:满足 ,的最小自然数n.
(3)
作业：
教材第92页A组第3、4、5题,B组1,2,3小结：2.二分法的应用：求方程近似解的过程1.二分法的原理课件15张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解
(3)复习上节课内容：3.1.1 方程的根与函数的零点1、函数的零点的概念2、零点存在判定法则3、零点个数的求法1、函数的零点的定义： 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
（zero point）结论:复习内容1：2、零点存在判定法则复习内容2：例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数例1(补) 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点(即求方程lnx+2x-6=0的实数根,精确到0.01)新课——把例1改写：复习内容3： 3.1.2 用二分法求方程的近似解二分法 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0
的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所
在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步
逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
二分法（bisection） 3.1.2 用二分法求方程的近似解例2 借助计算器或计算机用二分法求
方程2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).解:令f(x)= 2x+3x-7,则把问题转化为求
函数的零点,用二分法例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).方法三：
画出y=lnx及y=-2x+6的图象方法一：
用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表方法二：
用几何画板作出函数y=f(x)的图象用《几何画板》软件，演示用《EXCLE》软件，演示例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).方法二：用几何画板作出函数y=f(x)的图象方法三：
画出y=lnx及y=-2x+6的图象例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤⑵求区间(a,b)的中点 ；⑶计算f( ）；练习 借助计算器或计算机用二分法求方程 3x-7x=8 的近似解(精确到0.1).小结 这节课你学到了什么吗？
有什么收获吗？ ——二分法求方程的根作业
课本108页 第4、5题课件12张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解
(4)一.基础知识1．函数零点的定义：方程有实根 函数图象与轴有交点 函数有零点。 2．函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：（1）定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 那么函数 在区间 内有零点，即存在 使得 ,这个 也就是方程 的实数根。 （2）连续函数变号了一定有零点
（能证明f(x)单调则有且只有一个零点）；
不变号不一定无零点（如二重零点）：
在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。3．（1）一次函数y=ax+b的零点： 一定为变号零点（2）二次函数 的零点：借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).方法三：
画出y=2x及y=-3x-7的图象方法一：
用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表方法二：
用几何画板作出函数y=f(x)的图象用《几何画板》软件，演示用《EXCLE》软件，演示二分法的解题步骤⑵求区间(a,b)的中点 ；⑶计算f( ）；关于二分法的适用范围和精确度(1)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；
(2)若起始区间是长度是1,则经过n次二分法以后,精
确度为 ,估计达到精确度 至少需要使用二
分法的次数:满足 ,的最小自然数n.
(3)
例2．已知函数的图象如图所示，则
A． B． C． D．解: x=再利用二分法求近似根作业完成<<成才之路>> ,<<作业本>>3．1．2用二分法求方程的近似解 同步练习
一、选择题
1、若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(x)>0,f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是（ ）
函数f(x)在区间（0，1）内有零点
函数f(x)在区间（1，2）内有零点
函数f(x)在区间（0，2）内有零点
函数f(x)在区间（0，4）内有零点
2、已知方程x=3-lgx，下列说法正确的是（ ）
A、方程x=3-lgx的解在区间（0，1）内
B、方程x=3-lgx 的解在区间（1，2）内
C、方程x=3-lgx的解在区间（2，3）内
D、方程x=3-lgx的解在区间（3，4）内
3、下列方程在区间（0，1）存在实数解的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、若方程有两个解，则a的取值范围是（ ）
A、 B、（0，1） C、 D、
5、方程的解所在区间是（ ）
A、（0,1） B、（1，2） C、（2，3） D
6、方程的实数解的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
7、方程在区间（0，10）的实数解的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
二、填空题
8、方程精确到0.1的一个正的近似解是___________。
9、方程在实数范围内的解有_________________。
10、给出方程的一个解所在的区间______________。
11、方程精确到0.1的一个近似解是___________________。
12、已知图像连续不断的函数y=(x)在区间（a,b）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0.0001)的近似值，那么区间(a,b)等分的次数至多是___________________。
13、若方程在区间（a,b）(a,b是整数，且b-a=1)上有一根，则a+b=___________。
三、解答题
14、用二分法求方程在（1，2）内的近似解（精确到0.1）.
15、判断方程在区间[1，1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)。
答案：
选择题
1、D；2、C；3、C；4、A；5、C；6、B；7、C
填空题
8、1.6
9、2
10、(-1,0)或（1，2）等
11、1.4
12、10
13、-3
解答题
14、解：令。因为f(1)=-1.28<0，f(2)=4.39>0，f(1)f(2)<0，所以f(x)在（1，2）内有一个零点；取（1,2）的中点，有计算器计算可得f(1.5)=0.98>0,f(1)f(1.5)<0,所以，取的中点1.25，有计算器计算可得f(1.25)=-0.26<0,f(1.25)f(1.5)<0，所以，
同理可得，，，。
因为|1.296875-1.375|<0.1，所以，所求的方程的近似解为x=1.3。
15、解：设函数,因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0，且函数 的图像是连续的的曲线，所以方程在区间[1，1.5]有实数解。取区间(1,1.5)的中点用计算器可算得f(1.25)=-0.30<0。因为f(1.25)f(1.5)<0，所以。再取的中点用计算器可算得f(1.375)0.22>0。因为f(1.25)f(1.375)<0,所以。同理，可得，。由于|1.34375-1.3125|<0.1，此时区间的两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以方程在区间[1，1.5]精确到0.1的近似解约为1.3。
