§3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
课时目标 1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用.3.初步学会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
________
________
________
图象的变化
随x的增大逐渐
变“________”
随x的增大逐渐
趋于______
随n值而不同
2.三种函数模型的增长速度比较
(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于________的增长快于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有__________．
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于____________的增长慢于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有______________．
一、选择题
1．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.40
7.5
12
18.01
现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )
A．v＝log2t B．v＝
C．v＝ D．v＝2t－2
2．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
4．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )
A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx)
C．f(bx)
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是________元．( )
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．
8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是____________．
三、解答题
9．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．
10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝ (t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．
能力提升
11．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；
(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．
12．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L?
1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．
2．常见的函数模型及增长特点
(1)直线y＝kx＋b (k>0)模型，其增长特点是直线上升；
(2)对数y＝logax (a>1)模型，其增长缓慢；
(3)指数y＝ax (a>1)模型，其增长迅速．
§3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
知识梳理
1．增函数 增函数 增函数 陡 稳定 2.(1)y＝ax y＝xn ax>xn (2)y＝logax y＝xn logax作业设计
1．C [将t的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，很容易发现v＝的函数比较接近表中v的5个数值．]
2．C [由题意知s与t的函数关系为s＝20－4t，t∈[0,5]，所以函数的图象是下降的一段线段，故选C.]
3．D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]
4．C [由题意得：y＝0.2x＋0.3(4 000－x)
＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．]
5．B [由f(1＋x)＝f(1－x)，知对称轴＝1，b＝2.
由f(0)＝3，知c＝3.
此时f(x)＝x2－2x＋3.
当x<0时，3x<2x<1，
函数y＝f(x)在x∈(－∞，1)上是减函数，
f(bx)当x＝0时，f(bx)＝f(cx)；
当x>0时，3x>2x>1，
函数y＝f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，
f(bx)综上，f(bx)≤f(cx)．]
6．B [设该公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆．
由题意可知所获利润l＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.
当x＝10时，lmax≈45.6(万元)．]
7．45
解析 设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216?n＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．
8．80(1＋x)10
解析 一年后的价格为80＋80·x＝80(1＋x)．
二年后的价格为80(1＋x)＋80(1＋x)·x
＝80(1＋x)(1＋x)＝80(1＋x)2，
由此可推得10年后的价格为80(1＋x)10.
9．解 (1)b＝时，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2
＝14(a－)2＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.
10．解 据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0≤t<20与20≤t≤40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F(t)．
①当0≤t<20，t∈N时，
F(t)＝(t＋11)(－t＋)
＝－(t－)2＋(＋946)，
故当t＝10或11时，F(t)max＝176.
②当20≤t≤40时，t∈N时，
F(t)＝(－t＋41)(－t＋)＝(t－42)2－，
故当t＝20时，F(t)max＝161.
综合①、②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.
11．解 (1)设未赠礼品时的销售量为m，
则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)m×1.1n (0(2)令yn＋1－yn≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0.
解得n≤9，
所以y1令yn＋1－yn＋2≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，
解得n≥8.
所以y9＝y10>y11>…>y19.
所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
12．解 由题意得ae－5n＝a－a·e－5n，
即e－5n＝.①
设再过t min后桶1中的水有L，
则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝.②
将①式平方得e－10n＝.③
比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.
即再过5 min后桶1中的水只有L.
课件21张PPT。函数模型及其应用几种不同增长的函数模型例题：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？思考 比较三种方案每天回报量
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。分析 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元； y=40 (x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
y=0.4×2x-1 (x∈N*)从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？画
图累积回报表结论 投资1~6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。 例题的启示解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？(1)、由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金不超过5万元的要求。模型y=log7x+1令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此 f(x)即 log7x+1<0.25x例3.探究函数
的增长情况并分析差异1.列表：几何画板演示2.作图：结论1：一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.结论2：一般地，对于指数函数y=logax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内， logax可能会小xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数。(2)、随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。(3)、随着x的增大， y=logax (a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn (n>0)的增长速度。总存在一个x0，当x>x0时，就有
logax问题读懂问题将问题
抽象化数学
模型解决
问题基础过程关键目的几种常见函数的增长情况：作业:P107 T1、23.2.1 几种函数增长快慢的比较
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律
2．过程与方程
利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.
3．情感、态度与价值观
通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.
（二）教学重点与难点
重点：函数增长快慢比较的常用途径；
难点：了解影响函数增长快慢的因素.
（三）教学方法
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题引入课题
观察函数在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
在同一坐标中函数图象如下
结论：若0＜x＜16则
若x＞16则
师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？
师生合作观察研究函数的增长快慢.
①x∈(0，16)时，的图象在图象上方
可知增长较快
②时，的图在图象下方，
可知增长较快
由问题引入课题，激发学习兴趣.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法.
1．实例探究：
比较函数y=2x，y= x2，y = log2x的增长快慢.
方法：①作图，列表比较、验证
②应用二分法求2x = x2的根，即y = 2x与y = x2的交点横坐标.
2．规律总结
①一般地，对于指数函数y=ax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.
②对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y = xn(n＞0)在区间上，随着x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
③在区间上，尽管函数y = ax(a＞1)，y = logax(a＞1)和y = xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y = ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = xn(n＞0)的增长速度，而y = logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.
师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究
①列表
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
y =2x
1.149
1.516
2
2.639
3.482
y =x2
0.04
0.36
1
1.96
3.24
y=log2x
–2.322
–0.737
0
0.485
0.848
x
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y=2x
4.595
6.063
8
10.556
…
y=x2
4.84
6.76
9
11.56
…
y=log2x
1.138
1.379
1.585
1.766
…
②作图
③结论
x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.
进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.
①列表
x
0
1
2
3
4
y=2x
1
2
4
8
16
y=x2
0
1
4
9
16
x
5
6
7
8
…
y=2x
32
64
128
256
…
y=x2
25
36
49
64
…
②作图
③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈时2x＞x2
由特殊到一般探究规律
巩固练习
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：
（1）y=0.1ex–100,x∈[1,10]；
（2）y=20lnx+100,x∈[1,10]；
（3）y=20x, x∈[1,10].
三个函数图象如下：
由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加.
进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.
课后作业
3.2 第一课时 习案
学生独立完成
巩固知识，培养能力
备选例题
例1 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：
第一种方案：存入银行，年利润Q1 = 0.018x；
第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2 = 0.02x + 0.2；
第三种方案：办工厂，年利润Q3 = 0.2x2 + 2x – 35；
问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.
(2)投资10万元，选择哪种投资方案.
【解析】 (1)投资4万元，则有：
Q1 = 0.072；Q2 = 0.28；Q3 = – 23.8，
∴Q2＞Q1＞Q3
∴选择第二种方案
(2)投资10万元，则有：Q1 = 0.18；Q2 = 0.4；Q3 = 5，
∴Q3＞Q2＞Q1，
∴选择第三种方案.
例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.
（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y1，y2得.
∴.
（2）令y1 = y2，即，则.
当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；
当x＜96时，y1＞y2，即如意卡便宜；
当x＞96时，y1＜y2，即便民卡便宜.
【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x，y之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.
课件13张PPT。函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型二 我们知道，对数函数 ，指数函数 与幂函数 在区间 上都是增函数。从上述两个例子可以看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种差异的具体情况到底怎样呢？ 下面，我们不妨先以
函数为例进行探究。 利用计算器或计算机，以一定的步长列出自变量与函数值的对应表（表3-5）
，并在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（图3.2-4）。可以看到，虽然它们都是增函数，但它们的增长速度是不同的。表3-5 从图可以看到， 和 的图象有两个交点，这表明 与 在自变量不同的区间有不同的大小关系，有时 ，有时 。 下面我们在更大的范围内，观察 和 的增长情况
但是,当自变量 要越来越大时，可以看到， 的图象就像与 轴垂直一样， 的值快速增长， 比起 来，几乎有些微不足道，如图3.2-6和表3-7所示。探究你能借助图象，对 和 的增长情况进行比较吗？请在图象上分别标出使不等式
成立的自变量 的取值范围结论 一般地，对于指数函数 和幂函数 ，通过探索可以发现，在区间 上，无论 比 大多少，尽管在 的一定变化范围内， 会小于 ，由于 的增长快于 的增长，因此总存在一个 ，当 时，就会有 。
同样地，对于对数函数 和幂函数 , 在区间 上，随着 的增大， 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 轴平行一样，尽管在 的一定变化范围内， 可能会大于 ，但由于 的增长慢于 的增长，因此总存在一个 ，当 时，就会有 。
综上所述，在区间 上，尽 管 函 数 、 和 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着 的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度，
而 的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个 ， 当 时，就有
。探究 你能用同样的方法，讨论一下函数：
、 、
在区间 上的衰减情况吗？ 练习P119在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：课件40张PPT。3.2.1几类不同增长
的函数模型（一）复 习 引 入讲 授 新 课例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有
三种投资方案供你选择，这三种方案的回
报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前
一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回
报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，
解：设第x天所得回报是y元，
则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；解：设第x天所得回报是y元，
则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；
方案二可以用函数y＝10x (x∈N*)进行
描述；解：设第x天所得回报是y元，
则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；
方案二可以用函数y＝10x (x∈N*)进行
描述；
方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)
进行描述.20406080100120246810Oyx 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点.20406080100120246810Oyxy＝40 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点.20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1 函数图象是分析问题的好帮
手.为了便于观察，我们用虚线
连接离散的点. 我们看到，底为
2的指数函数模型
比线性函数模型增
长速度要快得多.从中你对“指数爆
炸”的含义有什么
新的理解？
20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x 根据以上的分
析，是否应作这样
的选择: 投资5天以
下选方案一，投资
5~8天选方案二，
投资8天以上选方
案三？y＝0.4×2x－1例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，
准备制定一个激励销售部门的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进
行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润
x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数
不超过5万元，同时奖金总数不超过利润
的25%，现有三个奖励模型：
y＝0.25x， y＝log7x＋1， y＝1.002x，
其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是
依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超
过5万元，同时奖金不超过利润的25%，
由于公司总的利润目标为1000万元，所以
部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个
模型是否符合公司要求即可.分析：某个奖励模型符合公司要求，就是
依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超
过5万元，同时奖金不超过利润的25%，
由于公司总的利润目标为1000万元，所以
部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个
模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象，通过观察函数
的图象，得到初步的结论再通过具体计算，
确认结果.812345672004006008001000Oyx图象812345672004006008001000Oyxy＝5图象812345672004006008001000y＝0.25xOyxy＝5图象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1Oyxy＝5图象812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOyxy＝5图象解： 借助计算机作出函数y＝0.25x， y＝log7x＋1，
y＝1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10,1000]
上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在
直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终
在y＝5的下方，这
说明只有按模型
y＝log7x＋1进行
奖励时才符合公
司的要求，下面
通过计算确认上
述判断. 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y＝0.25x，它在区间[10, 1000]上递增，
而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，
所以该模型不符合要求；解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y＝0.25x，它在区间[10, 1000]上递增，
而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，
所以该模型不符合要求； 对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算
器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足
1.002x＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当
x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；解： 首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y＝0.25x，它在区间[10, 1000]上递增，
而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，
所以该模型不符合要求； 对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算
器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足
1.002x＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当
x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求； 对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000] 上递
增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，
所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. 解： 再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否
不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有 成立.解： 令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用计
算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，
因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1000]时， 再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否
不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有 成立.解：模型y＝log7x＋1奖励时, 奖金不会超过利润的25%.. 说明按 令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用计
算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，
因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1000]时， 再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否
不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有 成立. 综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司
要求. 解：模型y＝log7x＋1奖励时, 奖金不会超过利润的25%.. 说明按归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认
真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背
景和意义，设法用数学语言来描述问题.
(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领
悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的
简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题
中关键或主要的变量.
(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联
想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的
数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符
号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、
不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认
真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背
景和意义，设法用数学语言来描述问题.
(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领
悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的
简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题
中关键或主要的变量.
(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联
想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的
数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符
号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、
不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认
真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背
景和意义，设法用数学语言来描述问题.
(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领
悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的
简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题
中关键或主要的变量.
(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联
想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的
数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符
号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、
不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建
立的数学模型进行求解.
(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检
验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定
模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建
模.
(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻
合，要对计算的结果作出解释并给出其实际
意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果
模型与实际问题有较大出入，则要对模型改
进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建
立的数学模型进行求解.
(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检
验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定
模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建
模.
(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻
合，要对计算的结果作出解释并给出其实际
意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果
模型与实际问题有较大出入，则要对模型改
进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建
立的数学模型进行求解.
(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检
验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定
模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建
模.
(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻
合，要对计算的结果作出解释并给出其实际
意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果
模型与实际问题有较大出入，则要对模型改
进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤练习 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4
个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，
1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几
个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品
时，接受定单不至于过多或过少，需要估计
以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是
由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也
暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，
就月份x，产量为y给出四种函数模型：+b，y=abx +c，y=ax+b，y=ax2+bx+c，y=a你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？课 堂 小 结 理解问题
(2) 简化假设
(3) 数学建模
(4) 求解模型
(5) 检验模型
(6) 评价与应用归纳总结中学数学建模的主要步骤课 后 作 业2. 《习案》作业三十一.1. 阅读教材P.95~ P.98.课件39张PPT。3.2.1几类不同增长
的函数模型（二）复 习 引 入归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，
认真审题，理解实际背景. 弄清楚问题的
实际背景和意义，设法用数学语言来描述
问题.
(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，
领悟背景中反映的实质，需要对问题作必
要的简化，有时要给出一些恰当的假设，
精选问题中关键或主要的变量.复 习 引 入归纳总结中学数学建模的主要步骤(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，
认真审题，理解实际背景. 弄清楚问题的
实际背景和意义，设法用数学语言来描述
问题.
(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，
领悟背景中反映的实质，需要对问题作必
要的简化，有时要给出一些恰当的假设，
精选问题中关键或主要的变量.复 习 引 入归纳总结中学数学建模的主要步骤复 习 引 入(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，
善于联想，灵活化归，根据题意建立变
量或参数间的数学关系，实现实际问题
数学化，引进数学符号，构建数学模型，
常用的数学模型有方程、不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤复 习 引 入(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，
善于联想，灵活化归，根据题意建立变
量或参数间的数学关系，实现实际问题
数学化，引进数学符号，构建数学模型，
常用的数学模型有方程、不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具
对建立的数学模型进行求解.(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之
中检验，对模拟的结果与实际情形比较，
以确定模型的有效性，如果不满意，要
考虑重新建模.
(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比
较吻合，要对计算的结果作出解释并给
出其实际意义，后对所建立的模型给出
运用范围.如果模型与实际问题有较大出
入，则要对模型改进并重复上述步骤.复 习 引 入归纳总结中学数学建模的主要步骤(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之
中检验，对模拟的结果与实际情形比较，
以确定模型的有效性，如果不满意，要
考虑重新建模.
(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比
较吻合，要对计算的结果作出解释并给
出其实际意义，后对所建立的模型给出
运用范围.如果模型与实际问题有较大出
入，则要对模型改进并重复上述步骤.复 习 引 入归纳总结中学数学建模的主要步骤 理解问题
(2) 简化假设
(3) 数学建模
(4) 求解模型
(5) 检验模型
(6) 评价与应用归纳总结中学数学建模的主要步骤讲 授 新 课观察函数与的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上讲 授 新 课观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上讲 授 新 课观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上讲 授 新 课观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上讲 授 新 课观察函数与64216xyO的图象，说明在不同区间内，函数增长
的快慢情况.在[0,＋∞)上比较函数的增长快慢.比较函数的增长快慢.8642-22468xyO比较函数的增长快慢.8642-22468xyO比较函数的增长快慢.8642-22468xyO比较函数的增长快慢.8642-22468xyO比较函数的增长快慢.8642-22468xyO你能分别求出使成立的x的取值
范围吗？30282624222018161412108642510xyO放大后
的图象① 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和
幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0, ＋∞)上，
无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范
围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于
xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0
时，就会有ax＞xn.规律总结②对于对数函数y＝logax (a＞1)和幂函数
y＝xn(n＞0)在区间(0, ＋∞)上，随着x的
增大，logax增长得越来越慢.在x的一定
变化范围内，logax可能会大于xn，但由
于logax的增长慢于xn的增长，因此总存
在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.规律总结③在区间(0, ＋∞)上，尽管函数y＝ax
(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y = xn(n＞0)
都是增函数，但它们的增长速度不同，
而且不在同一个“档次”上.随着x的增
长，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，
会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长
速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则
会越来越慢.因此，总会存在一个x0，
当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.规律总结例1 同一坐标系中，函数
y＝x2＋7和y＝2x的图象
如图.试比较x2＋7与2x的
大小.5040302010510y＝x2＋7y＝2xxyO例2 已知函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象
如图，试比较x2与log2(x＋1)的大小.4321-124xyOy＝x2y＝log2(x＋1)1. 下列说法不正确的是 ( C ) A. 函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数
B. 函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数
C. 存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立
D. 存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立练习1. 下列说法不正确的是 ( C ) A. 函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数
B. 函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数
C. 存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立
D. 存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立练习2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，
下列说法正确的是 ( B ) A. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度快
B. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢
C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数
y＝xn与y＝ax的增长速度
D. 以上都不正确 练习2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，
下列说法正确的是 ( B ) A. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度快
B. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢
C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数
y＝xn与y＝ax的增长速度
D. 以上都不正确 练习3. 函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和
y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是( B )A. y＝logax(a＞1) B. y＝bx(b＞1)
C. y＝xc(c＞0) D. 无法确定练习3. 函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和
y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是( B )A. y＝logax(a＞1) B. y＝bx(b＞1)
C. y＝xc(c＞0) D. 无法确定练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数
函数y＝lnx的图象.
如图，则A表示函数
的图象，
B表示函数 .
的图象，C表示函
数 的图象.5432124xyOABC练习y＝2x5432124xyOABC练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数
函数y＝lnx的图象.
如图，则A表示函数
的图象，
B表示函数 .
的图象，C表示函
数 的图象.5432124xyOABC练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数
函数y＝lnx的图象.
如图，则A表示函数
的图象，
B表示函数 .
的图象，C表示函
数 的图象.y＝2xy＝x1.4y＝2xy＝x1.45432124xyOABCy＝lnx练习4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数
函数y＝lnx的图象.
如图，则A表示函数
的图象，
B表示函数 .
的图象，C表示函
数 的图象.课 堂 小 结1. 幂函数、指数函数、对数函数增长
快慢的差异；
课 堂 小 结1. 幂函数、指数函数、对数函数增长
快慢的差异；
2. 直线上升、指数爆炸、对数增长
等不同函数类型增长的含义.课 后 作 业2. 《习案》作业三十二.1. 阅读教材P.98~ P.101.§3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时 应用已知函数模型解决实际问题
【教学目标】
能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
【教学重难点】
1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.
比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
（二）结合实例，探求新知.
例1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
引导学生探索过程如下：
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.
[略解：]
设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30
设客房租金总上收入元，则有：
=（20+2）(300－10)
=－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）
由二次函数性质可知当=10时，=8000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.
变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.
例2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.
解析：选择合适的数学模型建立函数关系
解：设长方体底面的长为xm,则宽为(4/x)m,水池的总造价为y元
y=480+80[4x+(16/x)]
当x=2时，总造价最低为1760元
点评：利用基本不等式
变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
【板书设计】
一、已知函数模型
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】教材P116练习1、2
§3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时 应用已知函数模型解决实际问题
课前预习学案
一．预习目标：熟悉几种常见的函数增长型
二．预习内容：阅读课本内容思考：主要的函数增长性有哪些
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一．学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
学习难点：将实际问题转变为数学模型.
二．学习过程
解决实际问题的步骤
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
二次函数模型：
幂函数模型：
指数函数模型：（＞0，）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.
例1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.
例2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.
变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
课后练习与提高
一．选择题
1.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2．一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价（ ）
A．10% B．20% C．5% D．11.1%
3．今有一组实验数据如下：
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题
4.假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=·，那么广告效应为，当A= 时，取得最大广告效应.
5．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为2个）经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成__________个
三．解答题
6. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.?
（1）求y关于x的函数；?
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.?
参考答案
3.2.2 几类不同增长的函数模型
（一）教学目标
1．知识与技能
利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.
2．进程与方法
在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.
（二）教学重点与难点
重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升
难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
回顾复习
引入深题
①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论.
师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.
生：回顾总结，口述回答.
以旧引新导入课题
实例分析
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y = log7x + 1，y = 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
师生合作探究解答过程
例1 解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y = 40 (x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y = 10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y = 0.4×2x–1(x∈N*)进行描述.
三种方案所得回报的增长情况
x/天
方案一
y/元
增加量/元
1
40
2
40
0
3
40
0
4
40
0
5
40
0
6
40
0
7
40
0
8
40
0
9
40
0
10
40
0
…
…
…
30
40
0
x/天
方案二
y/元
增加量/元
1
10
2
20
10
3
30
10
4
40
10
5
50
10
6
60
10
7
70
10
8
80
10
9
90
10
10
100
10
…
…
…
30
300
10
x/天
方案三
y/元
增加量/元
1
0.4
2
0.8
0.4
3
1.6
0.8
4
3.2
1.6
5
6.4
3.2
6
12.8
6.4
7
25.6
12.8
8
51.2
25.6
9
102.4
51.2
10
204.8
102.4
…
…
…
30
214748364.8
107374182.4
再作三个函数的图象
在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
例2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.
观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有
成立.
令f(x)=log7x+1– 0.25x，x∈[10,1000]
将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.
巩固练习
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表
x
0
5
10
15
y1
5
130
505
1130
y2
5
94.478
1785.2
33733
y3
5
30
55
80
y4
5
2.3107
1.4295
1.1407
x
20
25
30
y1
2005
3130
4505
y2
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
105
130
155
y4
1.0461
1.0151
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是 .
2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？
1．解：y2
2．解：设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3台……被感染，依题意有a5=10×204=160.
答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.
动手尝试提升解题能力
归纳总结
2．中学数学建模的主要步骤
（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.
（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.
（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.
（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.
（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.
（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.
师生合作 反思归纳总结完善
生：通过独立思考和必要的交流，分析归纳例1、例2的解题过程，简述建模的主要步骤.
师：点评、总理学生的回答，然后完善归纳步骤.
师生合作：结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会.
培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力.
课后练习
3.2 第二课时 习案
学生独立完成
强化基础提高能力
备选例题
例1 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机，
在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x，则总费用
在乙商场购买，费用y = 600x.
（1）当0＜x＜10时，(800x – 20x2)＞600x
∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.
（2）当x = 10时，(800x – 20x2) = 600x
∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.
（3）当10＜x≤18时，(800x – 20x2)＜600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.
（4）当x≥18时，600x＞440x
∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.
答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.
【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.
例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = abx + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.
（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得
所以得y=0.1x+1.
因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
（2）设y = ax2 + bx + c，将A、B、C三点代入，有，解得，
所以y= – 0.05x2+0.35x+0.7.
因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.
（3）设y=+b，将A，B两点的坐标代入，有，解得，
所以y=.
因此把x = 3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.
（4）设y = abx + c，将A，B，C三点的坐标代入，得，解得，
所以y= – 0.8×(0.5)x+1.4.
因此把x= 4代入得y= – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.
因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.
【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.
3、2、1几类不同增长的函数模型 同步练习
一、选择题
1、一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如图,能使不等式成立的
自变量的取值范围是
A、 B、
C、 D、
3、某商品2002年零售价比2001年上涨25％，欲控制2003年比2001年只上涨10％，则2003年应比2002年降价 （ ）
A、15％ B、12％ C、10％ D、8％
4、由于油船漏油，导致海洋污染，污染面积y(km2)与时间t（小时）的关系是y=at，如右图，有以下叙述
①这个指数函数的底数为2；
②5个小时，污染面积就会超过30km2；
③污染面积从4km2到12km2需经过1、5个小时；
④每小时新增的污染面积相等；
其中正确的是（ ）
A、①④ B、①②③④
C、②③④ D、①②
5、某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款 （ ）
A、a(1+x)5元 B、a(1+x)6元 C、a(1+x5)元 D、a(1+x6)元
6、在本埠投寄平信，每封信不超过20g时付邮资0、80元，超过20g而不超过40g付邮资1、60元，依次类推，每增加20g需增加邮资0、80元（信重在100g以内）、如果某人所寄一封信的质量为82、5g，那么他应付邮资 （ ）
A、2、4元 B、2、8元 C、3、2元 D、4元
7、天文台用3、2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元（n∈N*），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了 （ ）
A、800天 B、1000天 C、1200天 D、1400天
二、填空题
8、在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种；
9、定义运算法则如下：
a则M+N=
10、有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子。则盒子的容积V与x的函数关系式是 。
其中正确说法的序号是 。
11、我国规定：个人工资、薪金的月总收入不超过800元的免征个人所得税，超过800元部分需征税，全月应纳税的数额(记作)为=全月总收入-800(单位：元)
税率如下表：
级数
每月应纳税数额元
税率
1
≤500
5%
2
500<≤2000
10%
3
2000<≤5000
15%
……
……
……
9
＞100000
45%
某人今年5月份工资、薪金总收入是2645元，则此人5月份应交纳的个人所得税额为_______________________。
三、解答题
12、某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形，腰与水平线的夹角为60°,要求横截面的周长为定值m，问渠深h为多少时，可使流量最大？
13、如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有动点P，从B点开 始，沿折线BCDA向A点运动，设点P移动的路程为x,
ABP面积为S、
（1）求函数S=f(x)的解析式、定义域和值域；（2）求f[f(3)]的值。
14、如果在1980年以后，每一年的工农业产值比上一年平均增加8%，那么到哪一年工农业产值可以翻两番？（lg2=0、3010,lg3-0、4771）
15、北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0、20元，卖出的价格是每份0、30元，卖不掉的报纸可以以每份0、05元的价格退回报社。在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个推主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
答案：
选择题
1、D；2、D；3、B ；4、D；5、A；6、D；7、A
填空题
8、15
9、5
10、
11、184、50元
解答题
12、解：等腰梯形的腰为
13、如图所示，
SABP1=×4×x=2x,0SABP2=×4×4=8,4SABP3×4×(12-x)=24-2x,8S=f(x)=
定义域为（0，12）；值域为（0，8）{8}（0，8）=（0，8）；f[f(3)]=f(6)=8。
14、设经过x年可以翻两番，依题意得（1+8%）x=4,即1、08x=4,两边同时取常用对数，得x=就可以翻两番。
15、解：设这个摊主每天从报社买进x份报纸，每月所获的利润为y元，则由题意可知250x400,且y=0、3×x×20+0、3×250×10+0、05×(x-250) ×10-0、2×x×30=0、5x+625。
∵ 函数f(x)在[250，400]上单调递增，∴当x=400时，y最大=825，即摊主每天从报社买进400份报纸可获得最大利润，最大利润为825元。
