3．2.2 函数模型的应用实例
课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型
(1)一次函数：y＝______________________
(2)二次函数：y＝______________________
(3)指数函数：y＝______________________
(4)对数函数：y＝______________________
(5)幂函数：y＝________________________
(6)指数型函数：y＝pqx＋r
(7)分段函数
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)________________；
(2)________________；
(3)________________；
(4)________________；
(5)______；
(6)__________________________．
一、选择题
1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
x(h)
0
1
2
3
细菌数
300
600
1 200
2 400
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( )
A．75 B．100 C．150 D．200
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )
A．减少7.84% B．增加7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．
9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
三、解答题
10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
能力提升
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．函数拟合与预测的一般步骤：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
3．2.2 函数模型的应用实例
知识梳理
1．(1)kx＋b(k≠0) (2)ax2＋bx＋c(a≠0) (3)ax(a>0且a≠1)
(4)logax(a>0且a≠1) (5)xα(α∈R) 2.(1)收集数据 (2)画散点图 (3)选择函数模型
(4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解释实际问题
作业设计
1．A [由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为
y＝300·2x(x∈Z)．
当x＝－2时，y＝300×2－2＝＝75.]
2．B [由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.]
3．A [设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，即减少7.84%.]
4．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画，故选A.]
5．D [设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm.
∴S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2≥2.]
6．A [由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]
7．2 250
解析 设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2 250(元)．
8．400
解析 由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.
9．2ln 2 1 024
解析 当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝，
∴k＝2ln 2，
∴y＝e2tln 2，当t＝5时，
∴y＝e10ln 2＝210＝1 024.
10．解 设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为
100－10n(n∈N且n<10)
租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)
＝20[－(n－)2＋]，
其中n∈N且n<10.
所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，
若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；
若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；
综合考虑，n应当取3，
即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．
11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为
Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即，＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
§3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时 应用已知函数模型解决实际问题
【教学目标】
能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
【教学重难点】
1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.
比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
（二）结合实例，探求新知.
例1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
引导学生探索过程如下：
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.
[略解：]
设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30
设客房租金总上收入元，则有：
=（20+2）(300－10)
=－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）
由二次函数性质可知当=10时，=8000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.
变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.
例2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.
解析：选择合适的数学模型建立函数关系
解：设长方体底面的长为xm,则宽为(4/x)m,水池的总造价为y元
y=480+80[4x+(16/x)]
当x=2时，总造价最低为1760元
点评：利用基本不等式
变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
【板书设计】
一、已知函数模型
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】教材P116练习1、2
§3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时 应用已知函数模型解决实际问题
课前预习学案
一．预习目标：熟悉几种常见的函数增长型
二．预习内容：阅读课本内容思考：主要的函数增长性有哪些
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一．学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
学习难点：将实际问题转变为数学模型.
二．学习过程
解决实际问题的步骤
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
二次函数模型：
幂函数模型：
指数函数模型：（＞0，）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.
例1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.
例2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.
变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
课后练习与提高
一．选择题
1.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2．一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价（ ）
A．10% B．20% C．5% D．11.1%
3．今有一组实验数据如下：
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题
4.假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=·，那么广告效应为，当A= 时，取得最大广告效应.
5．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为2个）经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成__________个
三．解答题
6. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.?
（1）求y关于x的函数；?
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.?
参考答案
3.2.2函数模型的应用举例
第二课时 自建函数模型解决实际问题
【教学目标】
能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。
【教学重难点】
重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
2010年4月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立甲型HⅠNⅠ趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于4月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。
这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击甲型HⅠNⅠ至关重要、分析报告说，就全国而论，甲型HⅠNⅠ病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。
这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了甲型HⅠNⅠ趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对甲型HⅠNⅠ未来的流行趋势做了分析预测。
本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。
（二）探究过程：
例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日销售量的关系如图所示:
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
探索以下问题：
随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系？
最大利润怎么表示？润大利润=收入-支出
具体的解答过程详见课本中的例5，在此略。
例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表
（身高：cm；体重：kg）
身高
60
70
80
90
100
110
体重
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高
120
130
140
150
160
170
体重
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
1） 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？
探索以下问题：
1）建立适当的坐标系，根据统计数据，画出它们相应的散点图；
2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？
3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重与身高的函数关系比较合适？
4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.
5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？
解答过程见课本中的例6
本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.
点评：根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测. 此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.
变式. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：
时间（S）
60
120
180
240
300
温度（℃）
86.86
81.37
76.44
66.11
61.32
时间（S）
360
420
480
540
600
温度（℃）
53.03
52.20
49.97
45.96
42.36
1）建立适当的坐标系，描点画出水温随时间变化的图象；
2）建立一个能基本反映该变化过程的水温（℃）关于时间的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？
本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.
当堂检测：
某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1?.2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？
探索过程如下：
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
二次函数模型：
幂函数模型：
指数函数模型：（＞0，）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.
（三）归纳小结，巩固提高.
通过以上四个题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：
符合
实际
不符合实际
【板书设计】
一、函数模型
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
3.2.2函数模型的应用举例
第二课时 自建函数模型解决实际问题
课前预习学案
一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质
二、预习内容：
函数
图像
定义域
值域
性质
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
幂函数
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题
学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
学习难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
二、探究过程：
例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日销售量的关系如图所示:
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
探索以下问题：
（1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系？
（2）最大利润怎么表示？润大利润=收入-支出
本题的解答过程：
解：
本题总结
例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表
（身高：cm；体重：kg）
身高
60
70
80
90
100
110
体重
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高
120
130
140
150
160
170
体重
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
1） 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？
探索以下问题：
1）建立适当的坐标系，根据统计数据，画出它们相应的散点图；
2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？
3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重与身高的函数关系比较合适？
4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.
5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？
解答过程：解：
变式. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：
时间（S）
60
120
180
240
300
温度（℃）
86.86
81.37
76.44
66.11
61.32
时间（S）
360
420
480
540
600
温度（℃）
53.03
52.20
49.97
45.96
42.36
1）建立适当的坐标系，描点画出水温随时间变化的图象；
2）建立一个能基本反映该变化过程的水温（℃）关于时间的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？
解：
课堂检测
课本121页B组第1题
课后巩固练习与提高
1、一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
x年
4
6
8
…
（万元）
7
11
7
…
2、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
?
观测时间
1996年底
1997年底
1998年底
1999年底
2000年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）
0.2000
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
?3、（2003北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
参考答案
1、B
故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。
3、（2003北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
课件21张PPT。3.2.2函数模型的
应用实例复 习 引 入一次函数、二次函数的
解析式及图象与性质.例1 某列火车从北京西站开往石家庄，
全程277km.火车出发10min开出13km
后，以120km/h的速度匀速行驶.试写
出火车行驶的总路程s与匀速行驶的
时间t之间的关系，并求火车离开北京
2h内行驶的路程.讲 授 新 课1. 一次函数模型的应用2. 二次函数模型的应用例2 某农家旅游公司有客房300间，每间
日房租20元，每天都客满.公司欲提高档
次，并提高租金.如果每间客房每日增加
2元，客房出租数就会减少10间.若不考
虑其他因素，旅社将房间租金提高到多
少时，每天客房的租金总收入最高？例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率
与时间的关系如图所示.(1) 求图中阴影部分
的面积，并说明所
求面积的实际含义；3. 分段函数模型的应用例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率
与时间的关系如图所示.3. 分段函数模型的应用(2)假设这辆汽车的里
程表在汽车行驶这段
路程前的读数为2004
km, 试建立行驶这段
路程时汽车里程表读
数skm与时间th的函
数解析式, 并作出相
应的图象.(2)函数解析式2000210022002300240012345tsO(2)函数解析式函数图象解题方法：归 纳1. 读题，找关键点；
解题方法：归 纳1. 读题，找关键点；
2. 抽象成数学模型；
解题方法：归 纳1. 读题，找关键点；
2. 抽象成数学模型；
3. 求出数学模型的解；
解题方法：归 纳1. 读题，找关键点；
2. 抽象成数学模型；
3. 求出数学模型的解；
4. 做答.解题方法：归 纳练习1. 某市一种出租车标价为1.20元/km，但
事实上的收费标准如下：最开始4km内
不管车行驶路程多少，均收费10元(即起
步费)，4km后到15km之间，每公里收费
1.20元，15km后每公里再加收50%，即
每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路
程x之间的函数关系. 练习2. 某桶装水经营部每天的房租、人员工
资等固定成本为200元，每桶水的进价
是5元.销售单价与日均销售量的关系如
下表所示：请据以上数据作出分析，这个经营部怎
样定价才能获得最大利润？P.104练习第2题；
P.106练习第1题. 练习课 堂 小 结解决应用用问题的步骤：
课 堂 小 结解决应用用问题的步骤：
读题课 堂 小 结解决应用用问题的步骤：
读题—列式课 堂 小 结解决应用用问题的步骤：
读题—列式—解答.课 后 作 业2. 《习案》作业三十二.1. 阅读教材P.101~ P.106.课件24张PPT。3.2.2函数模型的
应用实例复 习 引 入1. 一次函数模型的应用2. 二次函数模型的应用3. 分段函数模型的应用例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.
认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人
口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马
尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然
状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经
过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口
的年平均增长率.讲 授 新 课4. 指数函数模型的应用下表是1950~1959年我国的人口数据资料：下表是1950~1959年我国的人口数据资料：思考：各年人口增长率的平均值怎么算？(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的
人口达到13亿？下表是1950~1959年我国的人口数据资料：练习 教材P.104面练习第1题. 用已知的函数模型刻画实际的问题
时，由于实际问题的条件与得出已知模
型的条件会有所不同，因此往往需要对
模型进行修正. 小 结：例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均
值如下表例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均
值如下表y＝2×1.02x例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均
值如下表 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结： 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验用函数模型解释实际问题符合实际 通过建立函
数模型，解决实
际问题的基本过
程：小 结：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验符合实际不
符
合
实
际用函数模型解释实际问题练习 教材P.106面练习第2题.课 堂 小 结1. 注意培养制表，读表，读图，画图的
能力；
课 堂 小 结1. 注意培养制表，读表，读图，画图的
能力；
2. 分段函数是刻画现实问题的重要模型；
课 堂 小 结1. 注意培养制表，读表，读图，画图的
能力；
2. 分段函数是刻画现实问题的重要模型；
3. 用已知的函数模型刻画实际的问题的
重要模型. 课 后 作 业2. 《习案》作业三十四.1. 阅读教材P.101~ P.106.课件86张PPT。函数的应用
(1)作业讲评：对a讨论 例1：距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60?角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？EDABC苏大p71∴ 解：设t小时后A行驶到点C,B行驶到点D，时CD最小，最小值为则BD=20t,BC=100-15t过D作DE?BC于E,BE=BDcos60?=10t∴EC=BC+BE=100-5t DE=BDsin60?=10 t 例2.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元,在甲丶乙两家商场均有销售,甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台每台都为760元,依此类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较少? 例3： 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？“复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。由计算器算得：y = 1117.68（元）分析：1期后 2期后 ……∴ x 期后，本利和为：将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式：例4：设在海拔x米处的大气压强是yPa,y与x的函数关系式是 ，其中c,k为常量。已知某地某天在海平面的大气压为 Pa，1000米高空的大气压为 Pa，求600米高空的大气压强（结果保留3个有效数字）. 例5：我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的。某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费，该市规定: ①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每月的定额损耗费a元;②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费; ③每户每月的损耗费不超过5元。⑴求每户月用水y(元)与月用水量x立方米的函数式；⑵该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m,n,a的值。练习：已知某商品的价格每上涨 x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数。
1．当 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围。 3.2.2
函数应用(2)一、命题思路 四、学科内综合，注意知识点之间的联系 三、跨学科小综合，注意运用其它学科定理、公式二、读懂函数图象，解决实际问题
关键：数形结合思想一、命题思路 实际生活中到处都存在着函数关系，实际生活中很多问题都可以用函数的有关知识来解决，未来的人才应有强烈的应用意识，善于把自己掌握的知识运用于随时产生的各种问题的解决．是否能把函数知识运用于实际生活是中考重点考查的内容． 二、读懂函数图象，解决实际问题关键：数形结合思想方法点拨：
1、利用函数的直观性，通过数形结合，用分析的方法研究函数的性质。
2、通过解函数的综合题，培养分析问题、解决问题的能力。 1、（西安市）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时每小时剩下的h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示应为 （ ）（A） （B） （C） （D）分析：把蜡烛燃烧的过程看做蜡烛的高度是燃烧时间的函数，再观察哪一幅图象反映了蜡烛高度变化的实际状况． 解：函数的定义域应0≤t≤4，应排除（D）；又蜡烛的高度随燃烧时间的增加而降低的，所以曲线应向右向下延伸，只有（B）符合要求，所以应选（B）． 剖析：要善于把生活中存在的函数关系与刻画它们的变化过程的图象结合起来，即应会正确做出刻画它们的变化过程的图象，也要正确读出这种图形的意义．2、（05山东潍坊实验区）某工厂生产的某种产品按质量分为个10档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元．
（1）每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？
（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件．若生产第x档的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10）,求出y关于x的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品？解：（1）每件利润是16元时，此产品的质量档次是在第四档次．
（2）设生产产品的质量档次是在第x档次时，一天的利润是y（元），根据题意得：
整理得：
当利润是1080时，即
解得： （不符合题意，舍去）
答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的利润为1080元．
小结：函数关系式的建立离不开数学模型。此类问题的最后解决是利用二次函数的知识。 3、（武汉市）为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射．正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2＋bx＋c（如图），
则下列结论：
①a ＜－ ； ②－ ＜a＜0；
③a－b＋c＞0； ④0＜b＜－12 a
其中正确的结论是 （ ）
（A）①② （B）①④
（C）②③ （D）②④B4、（河北省）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 米，入水处距池边的距离
为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入
水姿势时，距池边的水平距离为3 .6 米，问此次
跳水会不会失误？并通过计算说明理由．解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，
抛物线的解析式为：y＝ax 2＋bx＋c
由题意知，O、B两点坐标依次为（0，0），（2，－10），且顶点A的纵坐标为 ，所以 解得，或 ∵ 抛物线对称轴在y轴右侧，
∴ － ＞0，
又∵ 抛物线开口向下，
∴ a＜0，
∴ b＞0，∴ a＝－ ，b＝ ，c＝0
∴ 抛物线的解析式为：y＝－ x2＋ x.(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3 米时，
即 x＝3 －2＝ 时，
y＝ ＝－ ．
∴ 此时运动员距水面的高为：10－ ＝ ＜5．
因此，此次试跳会出现失误．5、（05湖北宜昌实验）如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900米，这里水面的海拔高度是74米.
若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长.(结果精确到0.1米)(方法一)如图，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面（上竖直钢拉索与桥面连接点）所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
则A（0，0.5），B(－450, 94.5)，C(450，94.5).
由题意，设抛物线为：y＝ax2＋0.5.
将C(450，94.5)代入求得: 或 .
∴当x=350时,y=57.4.
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米．(方法二)如图，以抛物线形主悬钢索最低点为原点，以平行于桥面的(竖直钢拉索与桥面连接点所在的)直线为x轴建立平面直角坐标系.
则B(- 450, 94),C(450,94).
设抛物线为：y＝ax2 .
将C(450,94)代入求得:
或 .∴ .
当x =350时, y = 56.9.
∴56.9+0.5=57.4.
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米.6、（安徽省）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x2＋2.6x＋43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？解：
（1）y＝－0.1x2＋2.6x＋43
＝－0.1（x－13）2＋59.9
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增加;当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降．
（2）当x＝10时，
y＝－0.1（10－13）2＋59.9＝59
第10分时，学生的接受能力为59．
（3）x＝13时，y取得最大值.
所以，在第13分时，学生的接受能力最强．
7、（杭州市）如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA＝1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．
（1）如果不计其他因素，
那么水池的半径至少要多
少米，才能使喷出的水流
不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达到多少米（精确到0.1米）？（提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）．分析：把最高点归结为点（1，2.25）．
解：（1）建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水的路线与x轴交点为C，根据题意，A、B、C的坐标为A（0，1.25）、B（1，2.25）、C（x，0）．
抛物线可设为
y＝a（x－1）2＋2.25．
把点A的坐标（0，1.25）代入，
得a＝1.25－2.25＝－1．
所以有y＝－（x－1）2＋2.25，
令y＝0，由－（x－1）2＋2.25＝0
求得 x＝－0.5（舍去），x＝2.5
所以，水池的半径至少要2.5米．（2）由于抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为 y＝－（x＋m）2＋k，
将点A（1，1.25）及点C（3.5，0）代入，解方程组
解得 m＝－ ，k＝3 ≈3.7．
所以此时水流最大高度达3.7米．剖析：要善于把复杂纷繁的实际问题，抽象出一个数学问题，检索出可用的数学知识，并能运用这些数学知识和技能解决问题，是学习数学的最终目标，所以，对这种能力的考查越来越受到命题者的青睐． 二、跨学科小综合，注意运用其它学科定理、公式1、（沈阳市）两个物体A、B所受压强分别为PA（帕）与PB（帕）（PA、PB为常数），它们所受压力F（牛）与受力面积S（米2）的函数关系图象分别是射线lA、lB．如图所示，则 （ ）A（A）PA＜PB
（B）PA＝PB
（C）PA＞PB
（D）PA≤PB 2、（甘肃省）受力面积为S（米2）（S为常数，S≠0）的物体，所受的压强P（帕）压力F（牛）的函数关系为P＝ ，则这个函数的图象是 （ ）A（A） （B） （C） （D） 3、（安徽省）一段导线，在0℃时的电阻为2欧，温度每增加1℃，电阻增加0.008欧，那么电阻R欧表示为温度t℃的函数关系式为 （ ）
（A）R＝0.008t
（B）R＝2＋0.008t
（C）R＝2.008t
（D）R＝2t＋0.008B4、（北京市西城区）如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安，那么通过这一电阻电流I随它两端U变化的图象是 （ ）D（A） （B） （C） （D）5、（苏州市）如图，l甲、l乙分别是甲、乙两弹簧的长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体的伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的大小关系 （ ）A（A）k甲＞k乙
（B）k甲＝k乙
（C）k甲＜k乙
（D）不能确定6、（吉林省）一定质量的二氧化碳，当它的体积V＝5m3时，它的密度ρ＝1.98kg／m3．
（1）求出ρ与V的函数关系式；
（2）求当V＝9m3时二氧化碳密度ρ ．解：
（1）设二氧化碳质量为mkg
将V＝5m3， ρ ＝1.98代入ρ ＝m/v，
得m＝9.9（kg）
所求函数关系式为ρ ＝9.9/v．
（2）V＝9代入ρ ＝9.9/v得，
ρ ＝1.1（kg／m3）3.2.2函数模型及其应用(3)1.一次函数的解析式为_____________,其图像是
当______时，一次函数在 上为增函数，
当______时，一次函数在 上为减函数。2.二次函数的解析式为_______________________,
其图像是一条________线，
当______时，函数有最小值为__________，
函数有单调减区间__________单调增区间_________
当______时，函数有最大值为____________，
函数有单调增区间__________单调减区间_________1.一次函数的解析式为_____________,其图像是
当______时，一次函数在 上为增函数，
当______时，一次函数在 上为减函数。2.二次函数的解析式为_______________________,
其图像是一条________线，
当______时，函数有最小值为__________，
函数有单调减区间__________单调增区间_________
当______时，函数有最大值为____________，
函数有单调增区间__________单调减区间_________一直线抛物3.指数函数的解析式为___________
图象分布在____轴上方
当______ 时，函数在 上为增函数，
当______ 时，函数在 上为减函数。4.对数函数的解析式为____________________
其图像分布在______轴右侧
当______ 时，函数在区间__________单调递增
当______ 时，函数在区间__________单调递减5.幂函数的解析式为____________________
函数在第___象限一定有图像，图象恒过_____点
当______时，函数在区间__________单调递增
当______时，函数在区间__________单调递减3.指数函数的解析式为___________
图象分布在____轴上方
当______ 时，函数在 上为增函数，
当______ 时，函数在 上为减函数。4.对数函数的解析式为____________________
其图像分布在______轴右侧
当______ 时，函数在区间__________单调递增
当______ 时，函数在区间__________单调递减5.幂函数的解析式为____________________
函数在第___象限一定有图像，图象恒过_____点
当______时，函数在区间__________单调递增
当______时，函数在区间__________单调递减xyI(1,1)常见的数学函数模型一次函数模型：y=kx+b (k≠0)
二次函数模型：y=ax2+bx+c (a≠0)
指数函数模型：
y=max+n (m≠0,a>0且a≠1)
对数函数模型：
y=mlogax+n (m≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型：y=bxa+c (b≠0,a≠1)
分段函数模型：注意：建立相应函数模型后，求函数解析式多采用用待定系数法 我们在前面的学习中已提到：函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律，那么也就基本掌握了相应事物的变化规律。
然而在许多实际问题面前，我们常常会发现并没有现成的函数模型直接让我们使用。这就需要我们学会利用具体问题的条件和背景来寻找和建立合适的数学解题模型。思考引入某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步去学校，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段路后就累了，于是就走完余下的路程。如果用纵轴表示该同学去学校时离开家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此学生走法的是（ ）0（C)变化列表法、图象法、解析法 通过上述问题的分析我们再一次认识到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，通过函数研究，我们可以认识事物的变化规律。以前我们学过哪些描述函数的具体方法？ 根据你的理解，用函数模型研究实际应用问题时我们应当注意什么？解题的基本步骤有哪些？解决实际应用问题的一般步骤：
①审题：弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
③解模：求解数学模型,得出数学结论;
④还原：将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题．例1：某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析思考：
①销售单价每增加1元，日均销售量就减少多少桶？
②销售利润有哪些因素决定？怎样计算较好？
③为了建立数学函数模型，需要做哪些准备工作？
④实际问题的解题书写应注意什么？试着解决问题并写出具体解题过程。解1:设在进价基础上增加x元后，日均利润为y元,
则日均销售量为 桶 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润解2:设每桶水定价为x元时，日销售利润为y元,
则日均销售量为 桶 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润例2:一辆汽车在某段路程的行驶速度与时间关系如图所示：（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象解应用题的策略一般思路可表示如下：实际问题数学问题实际问题结论数学问题结论问题解决数学解答(转化为数学问题)数学化(回到实际问题)符合实际还原说明抽象概括推
理
演
算1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：要使每天收入达到最高,每间定价应为( )A.20元 B.18元 C.16元 D.14元C2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( )A.95元 B.100元 C.105元 D.110元Ay=(90+x-80)(400-20x)小结 本节我们通过分析一些实际问题背景,尝试运用所学函数模型去解决问题，初步认识并体会了函数应用的基本方法和步骤.我们要在逐步应用的过程中掌握这一问题的解题策略．
常见的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及简单的指对函数．作业布置1.回顾课堂内容，整理初等函数在解决实际问题中的基本方法；
2.结合本课内容阅读自学教材P58页数学探究问题；
3.在教材P107页习题3.2A组1、2、3、4;P112页复习参考题A组3、7、8、9;B组题中根据个人实际任意选作两道,通过解题体会并总结函数模型在解决实际问题的过程。 函数的应用举例(4)
———逻辑分析求函数表达式实际问题数学问题解决问题 例1：如图所示：有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上。
（1）写出这个梯形周长y与腰长x的函数式并求出定义域
（2）求出周长的最大值ABCDEx实际问题函数模型函数模型的结果逻辑分析推理运算服务例2：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？（1）平均增长率的问题：原来的产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x，总产值y可用公式y=N(1+p)x
（2）特殊到一般的思想方法：当对于一个问题的一般情况不熟悉或无法下手时，常常从特殊的情况入手，寻找规律练习：P88、ex3、4（1）分析数据：常量、变量、关系等；发现规律，列出式子
（2）在实际问题中，函数的定义域必须根据实际意义来确定，不可忽视。例3：北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社。在1个月（按30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同。这个摊主每天应买进多少份，才能使每月所获的利润最大？最大利润为多少？（3）应用题的操作步骤：1：缜密审题：阅读理解
即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学本质,弄清题中出现的量及其数学含义。2：建立数学模型：
根据各个量的关系,进行数学化设计,即建立目标函数,将实际问题转化为数学问题。（1）列草表、画草图（2）分析数据：常量、变量、关系等（3）发现规律，列出式子（注意定义域）3：解决数学问题4：回顾实际、检验练习：
1:P88、1
2:东方旅社友100张普通客床，若每床每夜收租费10元，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出，并依此情况变化下去，为了投资少而获得租金最多，每床每夜应提高租金多少元？ 3.2.2
函数的应用举例(5) 1.函数的三要素是什么？其中起决定作用的
是什么？ 说明：函数的定义域是函数关系的重要组成部分，实际问题中函数的定义域不仅要使函数表达式有意义，而且还要使实际问题有意义。引例、有一块半径为R 的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底的端点在圆周上，写出这个梯形周长y与腰长x的函数关系式，并求出定义域。变形题：求梯形周长y
的最大值。练习：建筑一个容积为8000m3，深为6m的长方形蓄水池，池壁的造价为a元/m2，池底的造价为2a元/m2，则总造价y(元)与底的一边长x(m)的函数关系式为________________.例1、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y与存期x变化的函数关系式。如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和为多少？（“复利”：即把前一期的本金和利息加在一起作为本金，再计算下一期的利息。）说明：在实际问题中常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来的基础是N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用公式y=N(1+p)x表示。(1) 函数未知问题练习：1、某种商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价_________%.2、某新型电子产品2002年初投产，计划到2004年初使其成本降低36%，那么平均每年应降低成本_________%.练习：3、某厂的产品年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率为_________.例3、在海拔xm处的大气压强为yPa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量。已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105Pa，1000m高空的大气压为0.90 ×105Pa，求600m高空的大气压强。（结果保留3个有效数字）(2) 函数已知问题总结：1、能够运用函数的性质和数学知识解决某些简单的实际问题。
2、了解数学应用题的建模（解题）方法：
（1）认真审题，准确理解题意；
（2）抓住数量关系，建立函数关系式；
（3）根据实际情况确定函数的定义域。3.2.3 函数模型的应用实例（一）
（一）教学目标
1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.
2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.
3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.
（二）教学重点、难点
一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.
（三）教学方法
本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
回顾一次函数和二次函数的有关知识.
教师提出问题，学生回答.
师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.
生：回答上述问题.
以旧引新，激发兴趣.
应用举例
1．一次函数模型的应用
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.
教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.
例1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 = (h)，
所以.
因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是
2h内火车行驶的路程=233(km).
通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.
解题方法：
1．读题，找关键点；
2．抽象成数学模型；
3．求出数学模型的解；
4．做答.
学生总结，教师完善.
培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.
2．二次函数模型的应用
例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
让学生自己读题，并回答下列问题：
①题目求什么，应怎样设未知量；
②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；
③学生完成题目.
法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.
师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.
例2 解答：方法一 依题意可列表如下：
x
y
0
300×20 = 6000
1
(300 – 10×1)(20 + 2×1) = 6380
2
(300 – 10×2)(20 + 2×2) = 6720
3
(300 – 10×3)(20 + 2×3) = 7020
4
(300 – 10×4)(20 + 2×4) = 7280
5
(300 – 10×5)(20 + 2×5) = 7500
6
(300 – 10×6)(20 + 2×6) = 7680
7
(300 – 10×7)(20 + 2×7) = 7820
8
(300 – 10×8)(20 + 2×8) =7920
9
(300 – 10×9)(20 + 2×9) = 7980
10
(300 – 10×10)(20 + 2×10) = 8000
11
(300 – 10×11)(20 + 2×11) = 7980
12
(300 – 10×12)(20 + 2×12) = 7920
13
(300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820
…
…
由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.
方法二 设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为
y = (20 + 2x) (300 – 10x )
= –20x2 + 600x – 200x + 6000
= –20(x2 – 20x + 100 – 100) + 6000
= –20(x – 10)2 + 8000.
由此得到，当x = 10时，ymax = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.
解应用题首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.
3．分将函数模型的应用
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象.
生：解答：
（1）阴影部分的面积为
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
（2）根据图，有
这个函数的图象如图所示.
实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题简化假设数学建模解答模型检验模型评价与应用的进一步深体.
巩固练习
课堂练习
习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.
习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.
习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？
习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.
学生练习，师生点评.
1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程Skm与时间t h之间的函数关系为
S = vt.
当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.
因此所求的函数关系为S=60t，
当t = 3时，S = 180，
所以汽车3h所行驶的路程为180km.
2．设食品的重量为xkg，则食品的价格y元与重量xkg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，
所以当8kg食品的价格为64元.
3．设矩形菜地与墙相对的一边长为xcm，则另一组对边的长为m，从而矩形菜地的面积为：
当x = 150时，Smax = 11250.
即当矩形的长为150m，宽为75m时，菜地的面积最大.
4．解：所求函数的关系式为
学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.
归纳小结
课堂小结
解决应用用问题的步骤：
读题—列式—解答.
学生总结，师生完善
使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程.
布置作业
习题2—3B第1、3题：
教材第71页“思考与讨论”.
学生练习
使学生巩固本节所学知识与方法.
备选例题
例1 某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？
【解析】根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：
（1）当0≤x≤400时，由3.75x=750，得x=200.
（2）当400≤x≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去).
综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张.
答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.
例2 某个经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润
(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润
(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：
据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.
y = – a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①
y = bx ②
把x = 1，y = 0.65代入①式，得
0.65 = – a (1 – 4)2 + 2，
解得a = 0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x – 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.
设下月投资A种商品x万元，
则投资B种商品为(12 – x)万元，可获纯利润
y = – 0.15 (x – 4)2 + 2 + 0.25 (12 – x)
= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，
当≈3.2时，
≈4.1.
故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.
【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x – m)2 + b后发生的变化.
3.2.4 函数模型的应用实例（二）
（一）教学目标
1．知识与技能
掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力.
2．过程与方法
经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题.
3．情感、态度与价值观
了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣.
（二）教学重点与难点
重点：指数函数模型、拟合函数模型的应用
难点：依据题设情境，建立函数模型.
（三）教学方法
师生合作探究解题方法，总结解题规律.老师启发诱导，学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型，似合函数模型解决实际问题的技能.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
日均销售量/桶
480
440
400
360
销售单价/元
10
11
12
日均销售量/桶
320
280
240
请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
师生合作回顾一元一次函数，一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检”
生：尝试解答例1
解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为
480–40(x–1)=520–40x(桶)
由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得
y=(520–40x)x–200
= –40x2+520x–200，0＜x＜13
易知，当x=6.5时，y有最大值.
所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
师：帮助课本剖析解答过程，回顾反思上节课的学习成果
以旧引新激发兴趣，再现应用技能.
应用举例
4．指数型函数模型的应用
例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
61456
62828
64563
65994
67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
例2 解答：
（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，
所以，这个男生偏胖.
归纳总结：
通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：
师：形如y=bacx函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例很多（如例1）
生：在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例
师生合作总结解答思路及题型特征
师生：共同完成例1 解答：
（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率
r1≈0.0200.
同理可得，
r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184.
于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为
r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.
令y 0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.
根据表中的数据作出散点图并作出函数
y=55196e0.0221t (t∈N)的图象
由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130000代入
y=55196e0.0221t，
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
通过实例求解，提炼方法整合思路提升能力.
巩固练习
练习1已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
解答：（1）已知人口模型为
y = y0en，
其中y0表示t = 0时的人口数，r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有
y = 5e0.003t.
当y = 10时，解得t≈231.
所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.
同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.
（2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.
固化能力强化技巧
应用举例
4．拟合函数模型
例3 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y 给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，
,y=abx+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
归纳总结：
所以y= –0.8×0.54+1.4=1.35
本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与具体实际结合起来.
生：动手实践解题此例学生四个代表分别板书四种函数模型.
师：点评学生解答，总结，回答问题
解析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C?(3，1.3)，D(4，1.37).
（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有
所以得y = 0.1x + 1.
（2）设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有
所以y= –0.05x2+0.35x+0.7.
（3）设，将A，B两点的坐标代入，有
所以
（4）设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得
用已学函数模型综合求解问题，提升综合应用模型的能力.
巩固练习
练习2 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？
学生口述解题思路
老师借助电脑解答问题
（1）列表
（2）画散点图.
（3）确定函数模型.
甲：y1= –x2 +12x+41，
乙：y2 = –52.07×0.778x + 92.5
（4）做出函数图象进行比较.
计算x = 6时，y1 = 77，y2 = 80.9.
可见，乙选择的模型较好.
固化解题技巧
归纳总结
1．数学模型
所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.
2．关于数学建模中的假设
就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表现在以下几个方面：（1）进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.
（2）降低解题难度.由于每一个解题者的能力不同，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解.
一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，得到更满意的解.
师生合作交流归纳知识，整合解题体会
整合理论培养学习能力
课后练习
3.2 第四课时 习案
学生独立完成
固化知识提高能力
3、2、2函数模型的应用实例 同步练习
一、选择题
1、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。在下面图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合该学生走法的是（ ）
2、一个高为H、满缸水量为V的鱼缸的截面如右图所示，
其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出。若鱼缸水深为h
时的体积为v，则函数v=f(h)的大致图像可能是下面图中
的（ ）
3、如右图，平面图形中阴影部分面积S
是h(h∈[0,H])的函数，则该函数的图象
是（ ）
如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m)与时间t(月)的关系: y=a, 有以下叙述: ①这个指数函数的底数为2; ②第5个月时, 浮萍面积就会超过30 m; ③浮萍从4 m蔓延到12 m需要经过1、5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到2 m、3 m、6 m所经过的时间分别为t、t、t, 则t+t=t、 其中正确的是
A、 ①② B、 ①②③④ C、 ②③④⑤ D、 ①②⑤
5、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（ ）
A、na(1-b%) B、a(1-nb%) C、a[(1-(b%))n D、a(1-b%)n
6、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1、06(0、50×[m]＋1)给出，其中
m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数（如[3]＝3，[3、7]＝4， [3、1]＝4），则从甲 地到乙地通话时间为5、5分钟的话费为： （ ）
A、3.71 B、3.97
C、4.24 D、4.77
7、人骑车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米
（b＜ a），再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是图中的 （ ）
二、填空题
8、1992年底世界人口达到54、8亿，若人口的平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那y与x的函数关系是 。
9、某工厂1995年12月份的产值是1月份的产值的a倍，那么1995年1至12月份的产值平均每月比上月增长的百分率是 。
10、某产品的总成本C（万元）与产量x(台)之间有函数关系式：C=3000+20x-0、1x2,其中 x(0,240)。若每台产品售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为 台。
11、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得几次测量分别得a1,a2,…，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,…，an推出的a= 。
三、解答题
12、20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：
每亩需劳力 每亩预计产值
蔬 菜 1100元
棉 花 750元
水 稻 600元
问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？
13、如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半 圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x)，
并写出它的定义域。
14、曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系式是Q=已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等试将年利润y（万元）表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利？
15、经市场调查，某商品在近100天内其销售量和价格均是相间t的函数，且销售量近似地满足关系：g(t)=-+(t∈N*，016．如图，河流航线AC段长40公里，工厂上；位于码头C正北30公里处，原来工厂B所需原料需由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆路运到工厂B，由于水运太长，运费太高，工厂B与航运局协商在AC段上另建一码头D，并由码头D到工厂B修一条新公路，原料改为按由A到D再到B的路线运输．设=公里(0≤≤40)，每10吨货物总运费为y元，已知每10吨货物每公里运费，水路为l元，公路为2元．
(1)写出y关于的函数关系式；
(2)要使运费最省，码头D应建在何处?
17．如图，今有网球从斜坡O点处抛出路线方程是；斜坡的方程为，其中y是垂直高度(米)，是与O的水平距离(米)．
(1)网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出A点的垂直高度，以及A点与O点的水平距离；
(2)在图象上，标出网球所能达到的最高点B，求OB与水平线O之间的夹角的正切值．
18．一工厂对某种原料的全年需求量是Q吨，为保证生产又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后立即购进．已知每次订购费用是元，工厂每天使用的原料数量相同，仓库贮存原料的年保管费用是元／吨，问全年订购多少次，才能使订购费用与保管费用之和最少?
19．某厂每天需要本厂甲车间生产的某种零件10件，已知甲车间每天的生产能力为50件，生产准备费用为2500元／次，其它费用为200元／件，每件一年的库存费为365元．试问，一年中安排生产多少次时全年费用最少?(一年按365天计算)
20．经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前个月，对某种商品需求总量 (万件)近似地满足关系．
(1)写出明年第个月这种商品需求量 (万件)与月份的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过1．4万件；
(2)若计划每月该商品的市场投放量都是万件，并且要保证每月都满足市场需求，则至少为多少万件?
答案：
A；2、C；3、C；4、D；5、D；6、B；7、C
填空题
8、Y=54、8×(1+x%)8
9、100()%
10、150
设生产者不亏本的最低产量为x万元，则由题意，25x-(3000+20x-0、1x2)0,即x2+50x-300000、
∴ x150或x-200,又 ∵x(0,240), ∴x150。
11、
设a与各数据的差的平方和为m,即m=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2=na2-2(a1+a2+…+an)a+a12+a22+…+an2=n(a-)2+(a12+a22+…+a2n)-
∵ n>0,∵a=时,m取最小值。
解答题
12、设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u，依题意得x+y+z=50，，则u=1100x+750y+600z=43500+50x∴ x0,y=90-3x0,z=，wx-400,得20x30,∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20、∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元。
13、AB=2x, =x,于是AD=，因此，y=2x· +，即y=-。 由，得014、解：设每年投入x万元，年销量为万件，
每件产品的年平均成本为，
年平均每件所占广告费为，
销售价为
年利润为
当x=100时，明显y<0
故该公司投入100万元时，该公司亏损
15、解：前40天内日销售额为S=(t+22)(-t+)=-t2+t+799,
∴S=-（t-10、5）2+、
后60天内日销售额为S=(-t+52)(- t+)=∴S=(t-106、5)2-。
函数关系式为S=由上式可知对于0对于4016、
17、
18、
19、
20、
