第二章 基本初等函数（Ⅰ）
一、课标要求：
教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.
1. 了解指数函数模型的实际背景.
2. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
3. 理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=ax的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.
4. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.
5. 理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
6. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=logax符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.
7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.
8. 通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数的图象，了解它们的变化情况 .
二、编写意图与教学建议：
1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.
2. 在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展 .
4. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..
6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
第二章小结与复习
（一）教学目标
1.知识与技能
掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识.
2.过程与方法
归纳、总结、提高.
3.情感、态度、价值观
培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.
（二）教学重点、难点
重点：指数函数、对数函数的性质的运用.
难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解.
（三）教学方法
讲授法、讨论法.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
引入
（多媒体投影）
1.本章知识结构
2.方法总结
学生总结，老师完善.
师：请同学们总结本章知识结构.
生：（1）指数式和对数式：①整数指数幂；②方根和根式的概念；③分数指数幂；④有理指数幂的运算性质；⑤无理数指数幂；⑥对数概念；⑦对数的运算性质；⑧指数式与对数式的互化关系.
（2）指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的定义域、值域；③指数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1，0＜a＜1两种情况）；④不同底的指数函数图象的比较；⑤指数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用.
（3）对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的定义域、值域；③对数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1和0＜a＜1两种情况）；④不同底的对数函数图象的比较；
⑤对数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用；⑦反函数的有关知识.
（4）幂函数：①幂函数的概念；②幂函数的定义域、值域（要结合指数来讲）；③幂函数的图象（过定点情况，图象要结合指数来讲）；④幂函数的性质（奇偶性、单调性等，同样要结合指数）；⑥图象和性质的应用.
师：请同学们归纳本章解题方法.
生：（1）函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
（2）函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤函数的单调性法.
（3）单调性的判定法：①设x1、x2是所研究区间内的任两个自变量，且x1＜x2；②判定f（x1）与f（x2）的大小；③作差比较或作商比较.
（注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性）
（4）图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转；③利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象.
（5）常用函数的研究、总结与推广：
①研究函数y=（ax±a－x）（a＞0，且a≠1）的定义域、值域、单调性、反函数；
②研究函数y=loga（±x）（a＞0，且a≠1）的定义域、单调性、反函数.
（6）抽象函数〔即不给出f（x）的解析式，只知道f（x）具备的条件〕的研究.
①若f（a+x）=f（a－x），则f（x）关于直线x=a对称.
②若对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）可与指数函数类比.
③若对任意的x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y），则f（x）可与对数函数类比.
对本章知识、方法形成体系.
应用
举例
例1 设a＞0，x=（a－a），
求（x+）n的值.
例2 已知函数f（x）=（m＞0，且m≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论函数f（x）的单调性.
【例3】 己知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）=f 2（x）+f（x2）的最大值和最小值.
【例4】 求函数y=loga（x－x2）（a＞0，a≠1）的定义域、值域、单调区间.
【例5】 设x≥0，y≥0，且x+2y=1，求函数y=log（8xy+4y2+1）的值域.
例6 函数f（x）=lg［（a2－1）x2+（a+1）x+1］.
（1）若f（x）的定义域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围.
例1解：1+x2=1+（a－2+a）
=（a）+2+a）
=［（a+a）］2.
∵a＞0，∴a＞0，a＞0.
∴a+a＞0.
∴x+=x+（a+a）=（a－a）+（a+a）=a.
∴（x+）n=a.
小结：本题考查了分数指数幂的运算性质，技巧是把根号大的式子化成完全平方的形式.
例2解：（1）∵mx＞0，mx+1≠0恒成立，
∴函数的定义域为R.
∵y=，∴mx=＞0.
∴－1＜y＜1.
∴函数f（x）的值域为（－1，1）.
（2）∵函数的定义域为R，关于原点对称，
又∵f（－x）==
=－f（x），
∴函数f（x）是奇函数.
（3）任取x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）=－=.
∵m+1＞0，m+1＞0，
∴当m＞1时，m－m＜0，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
当0＜m＜1时，m－m＞0，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
综上，当m＞1时，函数f（x）为增函数；
当0＜m＜1时，函数f（x）为减函数.
小结：求值域用了反表示法，函数表达式中有指数式mx，它具有大于0的范围，注意反表示法求值域这类题型的特征.函数的单调性要注意分类讨论.
例3解：∵f（x）的定义域为
［1，4］，
∴g（x）的定义域为［1，2］.
∵g（x）=f 2（x）+f（x2）=（1+log2x）2+（1+log2x2）=（log2x+2）2－2，
又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1，
∴当x=1时，g（x）min=2；
当x=2时，g（x）max=7.
小结：这是一道易错题，首先要考虑定义域是本题防错的关键.其实研究函数问题考虑定义域应该成为一种习惯.
例4解：（1）定义域：由x－x2＞0，得0＜x＜1，
∴定义域为（0，1）.
（2）∵0＜x－x2=－（x－）2+≤，
∴当0＜a＜1时，
loga（x－x2）≥loga，
函数的值域为［loga，+∞）；
当a＞1时，loga（x－x2）≤loga，函数的值域为（－∞，loga］.
（3）令u=x－x2，在区间（0，1）内，u=x－x2在（0，］上递增，在［，1）上递减.
∴当0＜a＜1时，函数在（0，］上是减函数，在［，1）上是增函数；
当a＞1时，函数在（0，］上是增函数，在［，1）上是减函数.
小结：复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的研究通常由里向外，本题讨论的分界线是对数的底.
例5解：∵x+2y=1，
∴x=1－2y≥0.
又y≥0，∴0≤y≤.
∴8xy+4y2+1=8（1－2y）y+4y2+1=－12y2+8y+1.
∵0≤y≤，∴1≤－12y2+8y+1=－12（y－）2+≤.
∴log≤log（8xy+4y2+1）≤log1=0.
∴函数的值域为［log，0］.
小结：本题的易错点是代换时没有注意到通过x求出y的范围.所以我们在代换时要注意等价代换，即考虑到字母的取值范围.
例6解：（1）∵f（x）的定义域为（－∞，+∞），
∴（a2－1）x2+（a+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立.
当a2－1≠0时，
即
∴a＜－1或a＞.
当a2－1=0时，若a=－1，则f（x）=0，定义域也是（－∞，+∞）；
若a=1，则f（x）=lg（2x+1），定义域不是（－∞，+∞）.
故所求a的取值范围是（－∞，－1］∪（，+∞）.
（2）∵f（x）的值域为（－∞，+∞），
∴只要t=（a2－1）x2+（a+1）x+1能取到（0，+∞）内的任何一个值.
∴
即
∴1＜a≤.
又当a2－1=0时，若a=1，则f（x）=lg（2x+1），其值域也是（－∞，+∞）；
若a=－1，则f（x）=0，不合题意.
∴所求a的取值范围是［1，］.
小结：本题考查了换元转化思想和分类讨论思想，理解对数函数概念，特别是把握定义域、值域的含义是解题的关键.特别是（2）中，f（x）的值域是R的含义是真数部分即t=（a－1）x2+（a+1）x+1在x取值时需取满足（0，+∞）的每一个值，否则f（x）的值域就不是R，这就要求t关于x的二次函数不能有比零大的最小值.因此Δ≥0，这时要注意f（x）的定义域不是R的集合了，而是（－∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1、x2分别为相应二次方程的小根、大根.
进一步掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质等知识.
培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.
归纳
总结
1.我们从正整数指数幂出发，经过推广得到了有理数指数幂，又由“有理数逼近无理数”的思想，认识了实数指数幂.这个过程体现了数学概念推广的基本思想.有理数指数幂、实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的.从对数与指数的相互联系出发，根据指数幂的运算性质，我们推出了对数运算性质.
2.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型描述.本章学习的三种不同类型的函数模型，刻画了客观世界中三类具有不同变化规律，因而具有不同对应关系的变化现象.指数函数、对数函数和幂函数是描述客观世界中许多事物发展变化的三类重要的函数模型，这三类函数的图象和性质是我们解决相关问题的重要工具.
3.研究函数时，函数图象的作用要充分重视.另外，计算器或计算机可以帮助我们方便地作出函数图象，并可以动态地演示函数的变化过程，这对我们研究函数性质很有帮助.
学生先自回顾反思，教师点评完善．
形成知识体系.
课后
作业
作业：小结与复习 习案
学生独立完成
巩固新知
提升能力
备选例题
例1 已知f (x) = lgx，则y = |f (1 – x)|的图象是下图中的（ A ）
【解析】方法一：y = |f (1 – x)| = |lg(1 – x)|，显然x≠1，故排除B、D；又因为当x = 0时，y = 0，故排除C.
方法二：从图象变换得结果：
y = lg(–x)
y = lg[– (x–1)]y = |lg(1 – x)|.
【小结】（1）y = lgx变成y = lg (1 – x)过程不会变换，不知道关于什么轴对称导致误解.
（2）解决有关图象的选择问题，方法比较灵活，可用特值排除法，也可直接求解，但一定要注意图象的特点，对于图象的对称、平移问题一定要注意对称轴是什么. 平移是左移还是右移，移动的单位是多少，这是移动的关键.
例2 设a＞0，a≠1，t＞0，比较与的大小，并证明你的结论.
【解析】∵t＞0，∴可比较与的大小，
即比较与的大小.
∵当t = 1时，，∴.
当t≠1时，
∵= ＞0，
∴t + 1＞，∴＞.
∴当0＜a＜1时，＞，
即＞.
当a＞1时，＜，
即＜.
综上知：当t = 1时，；
当t＞0且t≠1时，若0＜a＜1，
有＞；
若a＞1，则有＜.
【小结】解决此类比较大小的题目，要注意结合函数的单调性，作差比较一定要判断差值与0的大小，从而作出大小的比较，注意分类讨论的思想应用，本题中的t +1和的比较. 可由t + 1 – 2≥0，所以t + 1≥ (t=1时取等号)，从而得出0＜≤1和≥.
课件75张PPT。第二章复习一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架一、本章知识框架二、本章的主要概念1. 映射 2. 函数
3. 函数的单调性 4. 反函数
5. 分数指数幂与根式 6. 指数函数
7. 对数 8. 对数函数三、本章的主要方法三、本章的主要方法1. 相同函数的判断方法：
三、本章的主要方法1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同；
三、本章的主要方法1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
三、本章的主要方法1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．三、本章的主要方法2. 函数解析式的求法：
1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．三、本章的主要方法2. 函数解析式的求法：
①换元法；
1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．三、本章的主要方法2. 函数解析式的求法：
①换元法； ②配方法；
1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．三、本章的主要方法2. 函数解析式的求法：
①换元法； ②配方法；
③待定系数法； 1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．三、本章的主要方法2. 函数解析式的求法：
①换元法； ②配方法；
③待定系数法； ④方程组法．1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．三、本章的主要方法2. 函数解析式的求法：
①换元法； ②配方法；
③待定系数法； ④方程组法．3. 反函数的求法：
1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．三、本章的主要方法2. 函数解析式的求法：
①换元法； ②配方法；
③待定系数法； ④方程组法．3. 反函数的求法：
①求解x；
1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．三、本章的主要方法2. 函数解析式的求法：
①换元法； ②配方法；
③待定系数法； ④方程组法．3. 反函数的求法：
①求解x； ②互换x，y的位置；
1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．三、本章的主要方法2. 函数解析式的求法：
①换元法； ②配方法；
③待定系数法； ④方程组法．3. 反函数的求法：
①求解x； ②互换x，y的位置；
③注明反函数的定义域.1. 相同函数的判断方法：
①定义域相同； ②值域相同；
③对应法则相同．4. 函数定义域的求法：
(通常考虑以下六个方面)
4. 函数定义域的求法：
(通常考虑以下六个方面)
①分式中分母不为零；
4. 函数定义域的求法：
(通常考虑以下六个方面)
①分式中分母不为零；
②偶次方根被开方数(式)非负；
4. 函数定义域的求法：
(通常考虑以下六个方面)
①分式中分母不为零；
②偶次方根被开方数(式)非负；
③ x0中x≠0；
4. 函数定义域的求法：
(通常考虑以下六个方面)
①分式中分母不为零；
②偶次方根被开方数(式)非负；
③ x0中x≠0；
④对数中真数大于零；
4. 函数定义域的求法：
(通常考虑以下六个方面)
①分式中分母不为零；
②偶次方根被开方数(式)非负；
③ x0中x≠0；
④对数中真数大于零；
⑤指、对数函数中底数大于零且不等于1；
4. 函数定义域的求法：
(通常考虑以下六个方面)
①分式中分母不为零；
②偶次方根被开方数(式)非负；
③ x0中x≠0；
④对数中真数大于零；
⑤指、对数函数中底数大于零且不等于1；
⑥实际问题要考虑实际意义.5. 函数值域的求法：①观察法；
5. 函数值域的求法：①观察法； ②配方法；
5. 函数值域的求法：①观察法； ②配方法；
③图象法；
5. 函数值域的求法：①观察法； ②配方法；
③图象法； ④分离常数法；
5. 函数值域的求法：①观察法； ②配方法；
③图象法； ④分离常数法；
⑤反函数法；
5. 函数值域的求法：①观察法； ②配方法；
③图象法； ④分离常数法；
⑤反函数法； ⑥判别式法；
5. 函数值域的求法：①观察法； ②配方法；
③图象法； ④分离常数法；
⑤反函数法； ⑥判别式法；
⑦换元法.5. 函数值域的求法：6. 函数单调性的判定法：
6. 函数单调性的判定法：
证明的步骤：
①取值；②作差；③定号；④作结论.7. 解应用题的一般步骤：
6. 函数单调性的判定法：
证明的步骤：
①取值；②作差；③定号；④作结论.7. 解应用题的一般步骤：
①审题；②建模；③求模；④还原.6. 函数单调性的判定法：
证明的步骤：
①取值；②作差；③定号；④作结论.(1) 平移变换 (a＞0)向右平移a 个单位y＝f(x)8. 图象的变换规律：向左平移a 个单位y＝f(x)向上平移a 个单位y＝f(x)向下平移a 个单位y＝f(x)(1) 平移变换 (a＞0)向右平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x－a)8. 图象的变换规律：向左平移a 个单位y＝f(x)向上平移a 个单位y＝f(x)向下平移a 个单位y＝f(x)(1) 平移变换 (a＞0)向右平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x－a)8. 图象的变换规律：向左平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x＋a)向上平移a 个单位y＝f(x)向下平移a 个单位y＝f(x)(1) 平移变换 (a＞0)向右平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x－a)8. 图象的变换规律：向左平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x＋a)向上平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x)＋a向下平移a 个单位y＝f(x)(1) 平移变换 (a＞0)向右平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x－a)8. 图象的变换规律：向左平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x＋a)向上平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x)＋a向下平移a 个单位y＝f(x)y＝f(x)－a(2) 对称翻转变换：①互为反函数的两个函数图象关于直线
y＝f(x)对称.即y＝f－1(x)的函数图象与函
数y＝f(x)的图象关于y＝x对称；(2) 对称翻转变换：①互为反函数的两个函数图象关于直线
y＝f(x)对称.即y＝f－1(x)的函数图象与函
数y＝f(x)的图象关于y＝x对称；(2) 对称翻转变换：② y＝f(x)的函数图象与函数y＝f(－x)的
图象关于y轴对称；①互为反函数的两个函数图象关于直线
y＝f(x)对称.即y＝f－1(x)的函数图象与函
数y＝f(x)的图象关于y＝x对称；(2) 对称翻转变换：② y＝f(x)的函数图象与函数y＝f(－x)的
图象关于y轴对称；③ y＝f(x)的函数图象与函数y＝－f(x)的
图象关于x轴对称；①互为反函数的两个函数图象关于直线
y＝f(x)对称.即y＝f－1(x)的函数图象与函
数y＝f(x)的图象关于y＝x对称；(2) 对称翻转变换：② y＝f(x)的函数图象与函数y＝f(－x)的
图象关于y轴对称；③ y＝f(x)的函数图象与函数y＝－f(x)的
图象关于x轴对称；④ y＝f(x)的函数图象与函数y＝－f(－x)
的图象关于原点对称.9. 抽象函数9. 抽象函数(1) 若f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)关于直线
x＝a对称；9. 抽象函数(1) 若f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)关于直线
x＝a对称；(2) 若对任意的x、y∈R，都有
f(x＋y)＝f(x)· f(y)，
则f(x)可与指数函数类比；9. 抽象函数(1) 若f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)关于直线
x＝a对称；(2) 若对任意的x、y∈R，都有
f(x＋y)＝f(x)· f(y)，
则f(x)可与指数函数类比；(3) 若对任意的x、y∈(0, ＋∞)，都有
f(xy)＝f(x)＋f(y)，
则f(x)可与对数函数类比.例1 设集合A和B都是坐标平面内的点集
{(x, y) | x∈R，y∈R}，映射f：A→B把
集合A中的元素(x, y)映射成集合B的元
素(x＋y, x－y) ，则在映射下象(2, 1)的
原象是 ( B )例1 设集合A和B都是坐标平面内的点集
{(x, y) | x∈R，y∈R}，映射f：A→B把
集合A中的元素(x, y)映射成集合B的元
素(x＋y, x－y) ，则在映射下象(2, 1)的
原象是 ( B )例2 设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤2}，
图中表示集合A到集合B的函数关系的图
象是 ( B )例2 设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤2}，
图中表示集合A到集合B的函数关系的图
象是 ( B )例3 函数的定义域是( C )例3 函数的定义域是( A )例4 设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)对于任意的
实数x、y都有 ( C )A. f (xy)＝f (x) f (y)
B. f (xy)＝f (x)＋f (y)
C. f (x＋y)＝f (x) f (y)
D. f (x＋y)＝f (x)＋f (y)A. f (xy)＝f (x) f (y)
B. f (xy)＝f (x)＋f (y)
C. f (x＋y)＝f (x) f (y)
D. f (x＋y)＝f (x)＋f (y)例4 设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)对于任意的
实数x、y都有 ( C )例5 方程4x＋2x－2＝0的解是 .例5 方程4x＋2x－2＝0的解是 .例6方程log4(3x－1)＝log4(x－1)＋log4(3＋x)
的解是 .例5 方程4x＋2x－2＝0的解是 .例6方程log4(3x－1)＝log4(x－1)＋log4(3＋x)
的解是 .例7 若关于x的方程
4x－(a＋1)×2x＋9＝0有实数根，求a的
取值范围.例8 比较大小例9 某化工厂生产一种溶液，按市场要
求，杂质含量不能超过0.1%，若初时
含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量
减少三分之一， 问至少要过滤几次才
能使产品达到市场要求？
(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)课 后 作 业1. 复习本章内容；
2. 《习案》作业二十七.章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若a<，则化简的结果是( )
A. B．－
C. D．－
2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是( )
A．[0，) B．[0，]
C．[1，) D．[1，]
3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
4．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是( )
A．7 B．7
C．±7 D．98
5．若a>1，则函数y＝ax与y＝(1－a)x2的图象可能是下列四个选项中的( )
6．下列函数中值域是(1，＋∞)的是( )
A．y＝()|x－1|
B．y＝
C．y＝()x＋3()x＋1
D．y＝log3(x2－2x＋4)
7．若0
A．增函数且f(x)>0
B．增函数且f(x)<0
C．减函数且f(x)>0
D．减函数且f(x)<0
8．已知函数f(x)＝，则f(f())等于( )
A．4 B.
C．－4 D．－
9．右图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是( )
A．m<0，n>1
B．m>0，n>1
C．m>0,0D．m<0,010．下列式子中成立的是( )
A．log0.441.013.5
C．3.50.3<3.40.3 D．log7611．方程log2x＋log2(x－1)＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N，那么M与N的关系是( )
A．M＝N B．MN
C．MN D．M∩N＝?
12．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为( )
A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.＝________.
14．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
15．设loga<1，则实数a的取值范围是________________．
16．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)计算：(－3)0－＋(－2)－2－；
(2)已知a＝，b＝，
求[]2的值．
18．(12分)(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)计算：log49－log212＋.
19．(12分)设函数f(x)＝2x＋－1(a为实数)．
(1)当a＝0时，若函数y＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式；
(2)当a<0时，求关于x的方程f(x)＝0在实数集R上的解．
20．(12分)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
21．(12分)已知－3≤≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值．
22．(12分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(ax－bx)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．
章末检测(A)
1．C [∵a<，∴2a－1<0.
于是，原式＝＝.]
2．C [由函数的解析式得：即
所以1≤x<.]
3．C [∵x≥1，∴x2＋3≥4，
∴log2(x2＋3)≥2，则有y≥4.]
4．B [由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，
则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，
A2＝98.又A>0，故A＝＝7.]
5．C [∵a>1，∴y＝ax在R上是增函数，
又1－a<0，所以y＝(1－a)x2的图象为开口向下的抛物线．]
6．C [A选项中，∵|x－1|≥0，∴0B选项中，y＝＝，∴y>0；
C选项中y＝[()x]2＋3()x＋1，∵()x>0，∴y>1；
D选项中y＝log3[(x－1)2＋3]≥1.]
7．C [当－10，排除B、D.设u＝x＋1，则u在(－1,0)上是增函数，且y＝logau在(0，＋∞)上是减函数，故f(x)在(－1,0)上是减函数．]
8．B [根据分段函数可得f()＝log3＝－2，
则f(f())＝f(－2)＝2－2＝.]
9．D [当x＝1时，y＝m，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以010．D [A选项中由于y＝log0.4x在(0，＋∞)单调递减，
所以log0.44>log0.46；
B选项中函数y＝1.01x在R上是增函数，
所以1.013.4<1.013.5；
C选项中由于函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
所以3.50.3>3.40.3；
D选项中log76<1，log67>1，故D正确．]
11．B [由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，
解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；
由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，
解得2x＝4或2x＝，
即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有MN.]
12．C [∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；
当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．
综上可知f(b－2)13.
解析 原式＝＝×＝＝.
14．(1,4)
解析 由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．
15．(0，)∪(1，＋∞)
解析 当a>1时，loga<0<1，满足条件；
当0故a>1或016．(1,2)
解析 当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，所以函数y＝logax在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为loga2，
所以loga2>1＝logaa，所以117．解 (1)原式＝1－0＋－＝1＋－2－1
＝1＋－＝.
(2)因为a＝，b＝，所以
原式＝
＝.
18．解 (1)∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22·3＝12.
(2)原式＝log23－(log23＋log24)＋
＝log23－log23－2＋＝－.
19．解 (1)当a＝0时，f(x)＝2x－1，
由已知g(－x)＝－g(x)，
则当x<0时，g(x)＝－g(－x)＝－f(－x)＝－(2－x－1)
＝－()x＋1，
由于g(x)为奇函数，故知x＝0时，g(x)＝0，
∴g(x)＝.
(2)f(x)＝0，即2x＋－1＝0，整理，
得：(2x)2－2x＋a＝0，
所以2x＝，
又a<0，所以>1，所以2x＝，
从而x＝log2.
20．解 (1)要使此函数有意义，则有或，
解得x>1或x<－1，此函数的定义域为
(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；
当021．解 ∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2
＝(log2x－)2－，
∵－3≤≤－.
∴≤log2x≤3.
∴当log2x＝，即x＝2时，f(x)有最小值－；
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.
22．(1)解 ∵ax－bx>0，∴ax>bx，∴()x>1.
∵a>1>b>0，∴>1.
∴y＝()x在R上递增．
∵()x>()0，∴x>0.
∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)证明 设x1>x2>0，∵a>1>b>0，
∴>>1,0<<<1.
∴－>－>－1.∴－>－>0.
又∵y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，
∴lg(－)>lg(－)，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在定义域内是增函数．
(3)解 由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，
又恰在(1，＋∞)内取正值，
∴f(1)＝0.又f(2)＝lg 2，
∴∴解得
章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，函数g(x)＝的值域为N，则M∩N等于( )
A．M B．N
C．[0,4) D．[0，＋∞)
2．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( )
A．[2,8] B．[0,8]
C．[1,8] D．[－1,8]
3．已知f(3x)＝log2，则f(1)的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D.
4．等于( )
A．7 B．10
C．6 D.
5．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．比较、23.1、的大小关系是( )
A．23.1<< B．<23.1<
C．<<23.1 D．<<23.1
7．式子的值为( )
A. B.
C．2 D．3
8．已知ab>0，下面四个等式中：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；
②lg＝lg a－lg b；
③lg()2＝lg ；
④lg(ab)＝.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
9．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
10．函数y＝2x与y＝x2的图象的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
11．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
12．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝，则f(2＋log23)的值为______．
14．函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
15．函数y＝的单调递增区间为______________．
16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；
(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．
18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
19．(12分)已知x>1且x≠，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．
21．(12分)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
章末检测(B)
1．C [由题意，得M＝{x|x<4}，N＝{y|y≥0}，
∴M∩N＝{x|0≤x<4}．]
2．B [当x＝0时，ymin＝30－1＝0，
当x＝2时，ymax＝32－1＝8，
故值域为[0,8]．]
3．D [由f(3x)＝log2，
得f(x)＝log2，f(1)＝log2＝.]
4．B [＝2·＝2×5＝10.]
5．B [由100a＝5，得2a＝lg 5，
由10b＝2，得b＝lg 2，∴2a＋b＝lg 5＋lg 2＝1.]
6．D [∵＝1.5－3.1＝()3.1，
＝2－3.1＝()3.1，
又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，
<<2，
∴()3.1<()3.1<23.1，故选D.]
7．A [∵log89＝＝log23，
∴原式＝.]
8．B [∵ab>0，∴a、b同号．
当a、b同小于0时①②不成立；
当ab＝1时④不成立，故只有③对．]
9．C [y＝lg＝lg(x＋3)－1，
即y＋1＝lg(x＋3)．故选C.]
10．D [分别作出y＝2x与y＝x2的图象．
知有一个x<0的交点，另外，x＝2，x＝4时也相交，故选D.]
11．B [∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)>0，得x>2.又f(x)为偶函数且f(x－2)>0，∴f(|x－2|)>0，∴|x－2|>2，解得x>4或x<0.]
12．A [由f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a>1，而f(－4)＝a|－4＋1|＝a3，
f(1)＝a|1＋1|＝a2，
∵a3>a2，∴f(－4)>f(1)．]
13.
解析 ∵log23∈(1,2)，∴3<2＋log23<4，
则f(2＋log23)＝f(3＋log23)
＝＝()3·＝×＝.
14．－3
解析 ∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
15．(－∞，1)
解析 函数的定义域为{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x>2或x<1}，
令u＝x2－3x＋2，则y＝是减函数，
所以u＝x2－3x＋2的减区间为函数y＝的增区间，由于二次函数u＝x2－3x＋2图象的对称轴为x＝，
所以(－∞，1)为函数y的递增区间．
16.
解析 y＝－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.
17．解 (1)指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
则f(x)的反函数g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
(2)∵g(x)≤loga(2－3x)，∴logax≤loga(2－3x)
若a>1，则，解得0若0综上所述，a>1时，不等式解集为(0，]；
018．解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈[，1]，
故y＝2t2－t－1＝2(t－)2－，t∈[，1]，
故值域为[－，0]．
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2ax2－x－1＝0在(0，＋∞)上有解．
记g(x)＝2ax2－x－1，当a＝0时，解为x＝－1<0，不成立；
当a<0时，开口向下，对称轴x＝<0，
过点(0，－1)，不成立；
当a>0时，开口向上，对称轴x＝>0，
过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．
故a的取值范围为(0，＋∞)．
19．解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx＝logxx，当1当x>时，x>1，∴logxx>0.
即当1当x>时，f(x)>g(x)．
20．解 (1)∵t＝log2x，≤x≤4，
∴log2≤t≤log24，
即－2≤t≤2.
(2)f(x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)
＝(log2x)2＋3log2x＋2，
∴令t＝log2x，
则y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，
∴当t＝－即log2x＝－，x＝时，
f(x)min＝－.
当t＝2即x＝4时，f(x)max＝12.
21．解 (1)由对数函数的定义知>0，
故f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)(ⅰ)对a>1，loga>0等价于>1，①
而从(1)知1－x>0，故①等价于1＋x>1－x又等价于x>0.
故对a>1，当x∈(0,1)时有f(x)>0.
(ⅱ)对00等价于0<<1，②
而从(1)知1－x>0，故②等价于－1故对00.
综上，a>1时，x的取值范围为(0,1)；
022．解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0?b＝1.∴f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
设x1因为函数y＝2x在R上是增函数且x1∴－>0.
又(＋1)( ＋1)>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)因为f(x)是奇函数，
从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.
即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，
从而判别式Δ＝4＋12k<0?k<－.
