3.1 直线的倾斜角与斜率AB卷 解析版

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A卷
1．已知一条直线过点(3，-2)与点(-1，-2),则这条直线的倾斜角是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：直线过点与，直线的斜率，则直线的倾斜角为.
2．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(　　)
A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率
B．倾斜角为135°的直线的斜率为1
C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
【答案】D
【详解】
任一直线都有倾斜角，但不都存在斜率；
倾斜角为135°的直线的斜率为-1；
若一条直线的倾斜角为α且不为直角，则它的斜率为k＝tan α；
直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)；所以选D.
3．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【答案】A
【解析】∵过点和的直线的倾斜角为钝角
∴直线的斜率小于0，即.
∴
∴
故选A.


4．已知点A(-1，2)，B(3，0)，P(-2，-3)，经过点P的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为　(　　)
A．k≤或k≥5 B．≤k≤5
C．k≤或k≥5 D．≤k≤5
【答案】B
【解析】如图所示，

因为点，
所以，
结合图形可得，要使直线l与线段AB有公共点，直线l的斜率k需满足，
所以。选B。
5．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
【详解】
由题得（x-3）k+1-y=0，所以，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.
故答案为：C

6．若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
【答案】－1
【详解】
线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.

7．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值为________．
【答案】3
【详解】
由题意得，即，解得m=2或m=3,
当m=2时，斜率不存在，所以m=2不符，经检验m=3符合，选D.

8．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m,3)的直线与直线x＋3y－1＝0的斜率相等，则m的值为_______
【答案】4.
【详解】
由题意，根据直线方程求得斜率，
又由斜率公式可得点的斜率为，
因为过点的直线与直线的斜率相等，所以，
解得.
9．直线过点，且不过第四象限，则的斜率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图，当直线在位置时， ；当直线在位置时， ，故直线的斜率的取值范围是，故答案为.


10．设P为x轴上的一点，A（－3，8）、B（2，14），若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为_____．
【答案】
【解析】
设为满足题意的点，则，，于是，解得，故答案为.
11．设直线l的倾斜角为α，且≤α≤，则直线l的斜率k的取值范围是_____________．
【答案】∪[1，＋∞)
【解析】由k＝tanα知，k∈∪[1，＋∞)．
12．已知直线经过两点，问：当取何值时：
（1）与轴平行？（2）与轴平行？（3）的斜率为？
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）当直线与轴平行时，直线的斜率为0，此时.
（2）当与轴平行时，直线不存在斜率，此时.
（3）当的斜率为时，有，解得.
故当时，与轴平行；当时，与轴平行；
当，的斜率为.
B卷


13：直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
思路：要求倾斜角（设为），可将直线转化为斜截式得：，所以
，即，结合正切的定义以及倾斜角的范围可得：
答案：B
14．若直线（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则最小值
A．2 B．6
C．12 D．3+2
【答案】D
【详解】
∵直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），
∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1，
∵= （m+n）=3+≥3+2，
当且仅当，即n=m时取等号，
∴的最小值为3+2，
故答案为：D
15.已知点M，N的坐标分别是，直线l经过点，且与线段MN相交.?
（1）求直线PM与PN的斜率；
（2）求直线l的斜率k的取值范围．
【解析】（1）由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为.?
（2）如图，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，又，∴.?
当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，又，∴.?
综上所述，.
16．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t的取值范围．
【答案】
试题解析：因为直线的倾斜角不是锐角，所以α＝0°或α＝90°或α是钝角；当α是钝角时，直线的斜率小于0，即<0，解分式不等式可得结果．
当α＝0°时，1＋t＝2t，得t＝1；当α＝90°时，1－t＝3，得t＝－2；
当α是钝角时，直线的斜率小于0，即<0，得<0，
所以或，解得－2综上所述，实数t的取值范围为[－2,1]

17．已知{an}是等差数列，d是公差且不为零，它的前n项和为Sn，设集合A={(an, )| n∈N}，若以A中的元素作为点的坐标，这些点都在同一直线上，求这条直线的斜率。
【答案】
【解析】试题分析：由经过两点的直线斜率计算公式，化简，得出结果。
试题解析：

18．已知直线l1经过点A（3，a），B（a－2，－3），直线l2经过点C（2，3），D（－1，a－2），如果l1⊥l2，求a的值．
【答案】5或－6
【解析】∵直线l2经过点C（2，3），D（－1，a－2），且2≠－1，∴l2的斜率存在，设为k2，当k2＝0时，l1的斜率不存在，即a－2＝3，即a＝5；
当k2≠0时，a≠5，此时l1的斜率k1≠0，由k1·k2＝－1，得，解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.
考点：两直线垂直的性质.
19．已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求的最大值与最小值．
【答案】的最小值为，最大值为2.
【解析】试题分析：将 看成直角坐标系中的线段，而 的几何意义是线段AB上的一点与原点连线的斜率，进而求出的最大值和最小值。
试题解析：如图，AB为线段2x＋y＝8(2≤x≤3)，由已知点P(x，y)在线段AB上运动，其中A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，的几何意义是直线OP的斜率，因为
kOA＝2，kOB＝，所以的最小值为，最大值为2.


20．已知直线（）.
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（3）若直线轴负半轴于，交轴正半轴于，△的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.
【答案】（1）无论k取何值，直线过定点(－2，1)；（2）；（3）△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0.
【解析】（1）将直线方程变形为含参数的项与 不含参数的项，借助条件建立方程组，即可求出定点坐标；（2）借助（1）的结论，并数形结合建立关于的不等式组求解；（3）先求出两点的坐标，再建立△的面积关于斜率的函数，运用基本不等式求最小值，并借助函数取得最小值时的条件求出直线的方程：
(1)证明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令?? x＋2=0 且 1－y=0，得: x=-2?， y=1
∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)
（2）直线方程可化为，
当时，要使直线不经过第四象限，则，解得；
当时，直线为，符合题意.
综上：的取值范围是。
（3）令y＝0得：A点坐标为,令x＝0得：B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，
∴S△AOB＝?|2k＋1|＝?(2k＋1)＝≥?(4＋4)＝4?????
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，
即 x－2y＋4＝0.






























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