《利用导数研究函数的最值》教学设计
教学目标
1.知识与技能：
（1）了解函数的极值、最值的区别与联系，理解函数最值的概念；
（2）掌握利用导数求函数最值的方法与步骤.
2.过程与方法：
预习环节中，学生初步了解极值与最值的区别，自主解决基础问题.课堂教学中，学生进一步明确极值与最值的联系，会求函数在闭区间、开区间上的最值.培养学生数形结合、转化、分类讨论、建模、概括归纳等数学思想与数学方法，提高学生分析和解决问题的能力.
情感、态度与价值观
学生在手工制作、课前预习、合作交流等活动中参与体验数学知识的应用，提高学生学习积极性，充分发挥学生主观能动性，促进学生信心和数学品质提升.
教学重点和难点
教学重点：利用导数求函数最值的方法与步骤.
教学难点：函数的最大值、最小值和极大值、极小值的区别与联系.
教学方法
通过学生自主预习、小组合作交流、讲解习题等方式，发展学生能力.借助几何画板、实物投影仪等多媒体突破认知难点，增进交流互动，提高课堂效率.
教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
情
境
创
设
【学生课前活动】
课前老师给学习小组分发边长为15cm的正方形彩色卡纸，请同学们沿着正方形纸片的四个角，各截去一个相同的小正方形，然后将四边折起，做成一个无盖的方底盒子.计算出各自盒子的容积.同时思考为使盒子的容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
学生自主预习学案.
【课堂引入】
学生展示制作的盒子.几何画板中动态演示盒子容积随着小正方形边长的改变所发生的变化规律.
学生制作满足要求的无盖长方体盒子，计算出相应的容积.初步建立实际问题的数学模型.
学生独立思考学案中的最值问题，老师了解学生难点，进一步明确课堂目标.
学生观察几何画板中的盒子形状和相应容积的数值的动态变化，直观感受容积最大值.
彩色卡纸、动手进行小制作、生活中的最优化问题、几何画板直观的动态演示，这些细节旨在激发学生的学习兴趣与求知欲，吸引学生积极探求解决问题的方法.
温
故
知
新
函数在区间上的图象如上图所示，请找出在此区间上的极大值、极小值和最大值、最小值．
设为定义在区间D上的连续函数.
问题1：满足什么条件时， 是函数的最大值或最小值？
问题2：满足什么条件时， 是函数的极大值或极小值？
问题3：函数的极值与最值有何区别与联系？（定义范围、存在性、大小比较等）
学生观察函数图象分析归纳极值与最值的区别和联系，思考并回答问题.
老师关注学生在概念表述中的数学语言和数学符号是否准确，促进学生明确极值与最值的区别和联系.
直观的函数图象培养学生观察、分析、归纳的能力
问题设置凸显极值与最值得联系与区别，突破本节难点.
知
识
应
用
连续可导函数在闭区间上的最值探究
【例1】
求函数的最大值与最小值.
几何画板演示函数图像
【变式练习】
1. 已知若在区间[－2，2]上的最大值为20，则它在该区间上的最小值为______.
2.设函数.若当时，恒成立，则实数的取值范围是__________.
【思路小结】
求可导函数在区间上的最大值与最小值的步骤：
①求在内的__________；
②将的各____与____的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
连续可导函数在开区间上的最值探究
【例2】
求函数的最大值.
解：函数的定义域为
令（舍去）
且 当时，
当时，
是极大值点，也是最大值点
即
【变式练习】
求函数的最小值.
习题拓展（1）
例题2中由得
，即：
习题拓展（2）
若将变式练习中的区间定义为或等，要关注对参数的讨论.
【思路小结】
函数在开区间上的最值问题要明确函数的定义域、函数的单调性和极值.
学以致用，优化生活
【例3】沿着边长15cm的正方形纸片的四个角，各截去一个相同的小正方形，然后将四边折起，做成一个无盖的方底盒子.为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
解：设截下的小正方形边长为，盒子容积为，则盒子的底面边长为，高为
由得
令，得（舍）
学生在自主预习学案的基础上，以学习小组为单位，核对答案、研讨问题.
课堂上的问题解决主要以学生展示预习成果，讲解习题为主.老师指导学生对函数在闭区间上的最值情况作分析小结，提高认知.
学生对变式练习1的解答情况基本为两种：求出所有极值和端点值，比较出最大值；先判断最大值取自哪些可能的点，再进行计算.
老师强调学生难点问题（1）正确运算；（2）明确极值点是否在所给区间内.
学生讲解对例题2的分析.易错点（1）没有明确函数的定义域；（2）忽略函数单调性的应用，对最值说理不充分.老师要给与及时强调.同时关注规范解题.
习题拓展中，老师引导学生从最大值出发，与作业中的不等式证明相结合.指导学生对问题进行严谨思考，关注分类讨论、转化等思想方法的应用.
学生之间的讨论交流是自主学习的一种体现.提高学生课堂参与度和后续内容的学习质量.
整体对题目的设计思路是函数在闭区间、开区间上最值情况探究.
学生讲题直观反映学生的思考成果和有待解决的问题.也有助于学生积极性和热情的发挥.
实物投影仪展示学生学案内容，增大了学生之间的交流与容量，提高了课堂效率.
变式练习题一方面巩固学生的薄弱环节，另一方面将不等式证明与函数最值联系起来，拓宽学生认知，培养学生转化问题的能力.渗透转化、数形结合、分类讨论等数学思想.
阶段性小结有助于落实求函数在闭区间、开区间上最值的方法和步骤.提高学生概括、归纳的能力
例题3再次回到情景创设的问题中，使学生从直观认识上升为理性解答.培养学生数学建模的能力，展示了导数的实际应用.
课
堂
检
测
求函数在上的最大值和最小值.
求函数的最小值.
望岳
杜甫（唐）
岱宗夫如何？齐鲁青未了。
造化钟神秀，阴阳割昏晓。
荡胸生层云，决眦入归鸟。
会当凌绝顶，一览众山小。
学生自测，老师巡视中了解学生知识落实情况.
引用杜甫的《望岳》，鼓励学生敢于攀登，勇于挑战.
通过典型习题检测教与学的质量，老师对学生的易错点及时加以反馈，提升落实力度.
对学生信心和能力培养要渗透在教学的细节中.
作
业
布
置
1.已知函数在与时都取得极值．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
2.求函数在区间[0,1]上的最大值.
3.证明不等式：
进一步提高学生运用导数和数学思想解决问题的能力.
课件12张PPT。 人教B版高中数学选修1-1
利用导数研究函数的最值
温故知新
设 为定义在区间 上的连续函数.
问题1： 满足什么条件时， 是函数的最大值或最小值？
问题2： 满足什么条件时， 是函数的极大值或极小值？
问题3：极值与最值有何联系与区别？
典型例题变式练习* 已知函数 若在区间[－2，2]上
的最大值为20，求 在该区间上的最小值.
* 设函数 .若当 时，
恒成立，求实数 的取值范围.例题*拓展【例题2】求函数 的最大值.变式练习【变式练习】求函数 的最小值.【例题3】沿着边长15cm的正方形纸片的四个角，各截去一个相同的小正方形，然后将四边折起，做成一个无盖的方底盒子.为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
解：设截下的小正方形边长为 ，盒子容积为 ，则盒子的底面
边长为 ，高为
由 ，得
令 ，解得
即截下的小正方形边长为 时，盒子的容积最大.
学以致用思悟总结* 利用导数求函数 在闭区间 上的最值步骤：
1、求方程 在开区间 的所有实数根 ；
2、计算函数 在 和区间端点的函数值，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
* 利用导数求函数在开区间上的最值：
注意函数的定义域
根据函数的单调性确定极值
* 关注数形结合、分类讨论、转化等数学思想课堂检测1.已知函数 在 与 时都取
得极值．若对 ，不等式 恒成立，求实数
的取值范围．
2.求函数 在区间[0,1]上的最大值.
3.证明不等式：
课后作业 望岳
杜甫（唐）
岱宗夫如何？齐鲁青未了。
造化钟神秀，阴阳割昏晓。
荡胸生层云，决眦入归鸟。
会当凌绝顶，一览众山小。
《利用导数研究函数的最值》评测练习
预习学案中的习题
【例1】求函数的最大值与最小值.
【变式练习】
1. 已知若在区间[－2，2]上的最大值为20，则它在该区间上的最小值为______.
2.设函数.若当时，恒成立，则实数的取值范围是__________.
【例2】求函数的最大值.
【变式练习】求函数的最小值.
【例3】沿着边长15cm的正方形纸片的四个角，各截去一个相同的小正方形，然后将四边折起，做成一个无盖的方底盒子.为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
（二）课堂检测题
求函数在上的最大值和最小值.
求函数的最小值.
（三）课后作业题
1.已知函数在与时都取得极值．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
2.求函数在区间[0,1]上的最大值.
3.证明不等式：
