3.2 直线的方程（五种形式之AB卷） 解析版

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A卷
1．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
【答案】C
【详解】
由题得（x-3）k+1-y=0，所以，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.
故答案为：C
2．把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是(　　)
A．y＝－x B．y＝x
C．x－y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
【答案】B
【详解】
已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，
则直线的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，
直线的斜率为tan α＝tan 60°＝，
∴直线的方程为y－＝ (x－1)，即y＝x.
3．已知直线，，则它们的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
对于A，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；
对于B，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；
对于C，直线方程中的，直线方程中的，符合；
对于D，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；
故选C.
4．直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
直线分别交轴和于两点，设点、，
因为是线段的中点，
由中点坐标公式得解得，
所以点、，则直线的方程为，化简得
故选
5．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　)
A．4和3 B．－4和3 C．－4和－3 D．4和－3
【答案】C
【详解】
由题意可得：，
直线平行于直线
，解得
故选



6．直线与平行，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
当时，两直线方程分别为为同一直线，不符。
当时，，解得，选A.
7．两条直线l1：和l2：在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
详解：
由截距式方程可得直线l1的横、纵截距分别为a，﹣b，
直线l2的横、纵截距分别为b，﹣a，
选项A，由l1的图象可得a＜0，b＞0，可得直线l2的截距均为正数，故正确；
选项B，只有当a=﹣b时，才有直线平行，故错误；
选项C，只有当a=b时，才有直线的纵截距相等，故错误；
选项D，由l1的图象可得a＞0，b＞0，可得直线l2的横截距为正数，纵截距为负数，
由图象不对应，故错误．
故选：A．
8．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程．
【详解】
设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴kAD·kBC＝－1，∴·kAD＝－1，解得kAD＝．
∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝ (x＋5)，
即y＝x＋3．
9．已知中，A(1, 3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为 和，求各边所在直线方程．

【详解】
解：设则AB的中点∵D在中线CD：上∴，
解得，故B(5, 1).同样，因点C在直线上，可以设C为，求出.
根据两点式，得中AB：， BC：，AC：.
10．求分别满足下列条件的直线l的方程.
(1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
(2)经过两点，;
(3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
【答案】（1）y＝x±3.（2）当m≠1时，y＝(x－1)，当m＝1时， x＝1.（3）x＋y＝1或或y＝－x.
试题解析：
(1)设直线l的方程为y＝x＋b.
令y＝0，得x＝－b，
∴|b·(－b)|＝6，b＝±3.
∴直线l的方程为y＝x±3.
(2)当m≠1时，直线l的方程是
＝，即y＝ (x－1)
当m＝1时，直线l的方程是x＝1.
(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1；
∵直线过P(4，－3)，∴－＝1.
又∵|a|＝|b|，
∴，解得，或.
当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，
∴l的方程为y＝－x.
综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或＋＝1或y＝－x.



B卷

11．已知a，b满足2a＋3b＝1，则直线4x＋ay－2b＝0必过的定点为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，满足
∴直线化为，即恒成立.
∴，解得
∴直线必过的定点为.
故选D.


12．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
【答案】D
【解析】当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，将(5,2)代入得，y＝x，
即2x－5y＝0；当b≠0时，方程设为，求得b＝，故选D．

13．若直线l过（1,4），在两坐标轴上的截距相等，则直线l直线的方程是____．
【答案】
【详解】
直线在两坐标轴上的截距相等，当直线过原点时，直线方程为y=kx，其中，所以直线为4x-y=0；
当直线不过原点时：直线斜率为k=﹣1，所求直线方程为y-4=﹣1（x﹣1），即x+y-5=0
故答案为：

14．倾斜角为直线的倾斜角的一半且经过点的直线方程为_____．
【答案】
【详解】
直线y＝－x＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率为．
又直线过定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为

15．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是_________
【答案】2x＋y＋1＝0.
【解析】
∵点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，
∴2a1＋b1＋1＝0，
故点P1(a1，b1)的坐标满足2x＋y＋1＝0．
又点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，
∴2a2＋b2＋1＝0，
故点P2(a2，b2)的坐标也满足2x＋y＋1＝0．
∴过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0．
答案：2x＋y＋1＝0
16．在平面直角坐标系中，已知点，分别以的边向外作正方形与，则直线的一般式方程为__________．

【答案】
【解析】分别过 作轴的垂线，垂足分别为，∵四边形 为正方形，∴，可得，∵，∴，可得选，由此可得 坐标为 ，同理得到∴直线 的斜率为，可得直线 的方程为，化简得．






17．已知直线.
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（3）若直线轴负半轴于，交轴正半轴于，△的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.
【答案】（1）无论k取何值，直线过定点(－2，1)；（2）；（3）△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0.
【解析】(1)证明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令?? x＋2=0 且 1－y=0，得: x=-2?， y=1
∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)
（2）直线方程可化为，
当时，要使直线不经过第四象限，则，解得；
当时，直线为，符合题意.
综上：的取值范围是。
（3）令y＝0得：A点坐标为,令x＝0得：B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，
∴S△AOB＝?|2k＋1|＝?(2k＋1)＝≥?(4＋4)＝4?????
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，
即 x－2y＋4＝0.


18．直线经过点与轴、轴分别交于两点，且，求直线的方程．
【答案】或5x+4y-8=0．
【详解】
解：设A（a，0），B（0，b），
当a＜0，b＞0时．
∵|AP|：|PB|=3：5，
∴=，
∴（﹣4﹣a，3）=（﹣a，b），
∴﹣4﹣a=﹣，3=b，
解得a=﹣，b=8．
则直线l的方程为：=1，化为5x﹣4y+32=0．
当a＜0，b<0时．
∵|AP|：|PB|=3：5，
∴=，
∴（﹣4﹣a，3）=（﹣a，b），
∴﹣4﹣a=，3=b，
解得a=﹣，b=-2．
则直线l的方程为：5x+4y-8=0．
∴直线l的方程为5x﹣4y+32=0或5x+4y-8=0．





19．如图所示，已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积最小时l的方程．

【答案】
【详解】
设A(a，0)，B(0，b)，显然a>3，b>2，
则直线l的方程为＋＝1，
因为P(3，2)在直线l上，所以＋＝1，于是b＝，
所以S△AOB＝ab＝，整理得a2－S△AOB·a＋3S△AOB＝0(*)．
因为此方程有解，所以Δ＝S－12S△AOB≥0，
又因为S△AOB>0，所以S△AOB≥12，S△AOB最小值＝12．
将S△AOB＝12代入(*)式，得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4．
此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0．
20．如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.

(1)证明:|PM|·|PN|为定值.
(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
【答案】(1)见解析 (2) +1
【解析】(1)设P(x0,x0+)(x0>0).
则|PN|=x0,|PM|==,
因此|PM|·|PN|=1.
(2)连接OP,直线PM的方程为
y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+.
解方程组
得x=y=x0+,所以|OM|=x0+.
S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM
=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|
=x0(x0+)+(x0+)
=+(+)
≥+1,
当且仅当x0=,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.





















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