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A卷
一、单选题
1.和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )
A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0
C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0
【答案】A
【详解】
和直线关于轴对称的直线,其斜率与和直线的斜率相反
设所求直线为
两直线在轴截距相等,则所求直线是
故选
2.等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,若点A,C的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B的坐标可能是( )
A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4) C.(4,6) D.(0,2)
【答案】A
【详解】
设,则
解得或
故选
3.P、Q分别为3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为 ( )
A. B. C.3 D.6
【答案】C
【解析】
|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线3x+4y-12=0上取点(4,0),然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.
4.已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为( )
A.2x+3y+5=0 B.2x-3y+5=0
C.3x+2y+5=0 D.3x-2y+5=0
【答案】D
【解析】∵坐标原点关于直线:的对称点为
∴
∵直线经过点
∴点到直线的距离
∴点到直线的距离最大为,此时
∴直线的方程为,即.
故选D.
5.若直线:与:平行,则与间的距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵直线:与:平行
∴
∴
∴直线与之间的距离为.
故选B.
6.两平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是 ( )
A.0C.0【答案】B
【解析】当两平行线垂直于AB时它们之间的距离最大,此时d=|AB|==5,故07.在直线2x-3y+5=0上求点P,使P点到A(2,3)距离为,则P点坐标是( )
A.(5,5) B.(-1,1)
C.(5,5)或(-1,1) D.(5,5)或(1,-1)
【答案】C
【解析】设点P(x,y),则,由|PA|=得(x-2)2+(-3)2=13,
即(x-2)2=9,解得x=-1或x=5,当x=-1时,y=1;
当x=5时,y=5,∴P(-1, 1) 或 (5, 5).
8.已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2).
(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程;
(2)求△ABC的面积.
【答案】(1)x+5y+3=0;(2)S△ABC=3
试题解析:
(1)由斜率公式,得kBC=5,
所以BC边上的高所在直线方程为y+1=- (x-2),即x+5y+3=0.
(2)由两点间的距离公式,得|BC|= ,BC边所在的直线方程为y+2=5(x-3),即5x-y-17=0,
所以点A到直线BC的距离d=,
故S△ABC=.
9.已知M(1,0)、N(-1,0),点P为直线2x-y-1=0上的动点,求PM2+PN2的最小值及取最小值时点P的坐标.
【答案】最小值为,点
【解析】
【详解】
∵P为直线2x-y-1=0上的点,∴可设P的坐标为(m,2m-1),由两点的距离公式得
PM2+PN2=(m-1)2+(2m-1)2+(m+1)2+(2m-1)2=10m2-8m+4.(m∈R)
令f(m)=10m2-8m+4=,所以PM2+PN2取最小值,此时点.
10.已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x+3y-13=0,对角线AC,BD的交点为P(1,5),求正方形ABCD其他三边所在直线的方程.
【答案】
【详解】
因为点P(1,5)到lCD的距离为d,
则d=.
∵lAB∥lCD,∴可设lAB:x+3y+m=0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d,
则=,
又∵m≠-13,∴m=-19,即lAB:x+3y-19=0.
∵lAD⊥lCD,∴可设lAD:3x-y+n=0,
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离,且都等于d=,
=,n=5,或n=-1,
则lAD:3x-y+5=0,lBC:3x-y-1=0.
所以,正方形ABCD其他三边所在直线方程为x+3y-19=0,3x-y+5=0,3x-y-1=0.
B卷
11.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB中点M到原点距离的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
点M一定在直线x+y-=0,即x+y-6=0上,∴M到原点的最小值为=3.
故答案为:A
12.由点P(2,3)发出的光线射到直线x+y=-1上,反射后过点Q(1,1),则反射光线所在直线的一般方程为________.
【答案】
【详解】
设点关于直线的对称点为
则
解得,即对称点为
则反射光线所在直线方程为,
即
故答案为
13.在平面直角坐标系中,的对角线所在的直线相交于,若边所在直线的方程为,则边的对边所在直线的方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直线与轴的交点关于点的对称点为,设直线的方程为,则直线过,解得,所以边所在直线的方程为,故选B.
14.已知,则的最小值为______.
【答案】
【详解】
的几何意义为直线x+y-3=0上的点与点间的距离,
的最小值为点到直线x+y-3=0距离,.
的最小值为.
故答案为.
15.在平面直角坐标系中,若动点到两直线和的距离之和为,则的最大值是________.
【答案】18
试题分析:动点到两直线和的距离之和为
即,设,则,
,若,当时,取得最大值为18,若,当时,取得最大值为10,综上可知,当点在时,取得最大值为18.
16.在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的角平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
【答案】,
试题解析:由方程组解得点A的坐标为(-1,0).
又直线AB的斜率kAB=1,x轴是∠A的平分线,
所以kAC=-1,则AC边所在的直线方程为y=-(x+1).①
又已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,
故直线BC的斜率kBC=-2,
所以BC边所在的直线方程为y-2=-2(x-1).②
解①②组成的方程组得
即顶点C的坐标为(5,-6).
17.已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').
∵kPP'·kl=-1,∴·3=-1, ①
又PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3·-+3=0. ②
联立①②,解得.
(1)把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,
∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为,
即7x+y+22=0.
18.已知直线l过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截的线段中点M在直线x+y-3=0上,求直线l的方程.
【解析】:∵点M在直线x+y-3=0上,∴设点M的坐标为(t,3-t),由题意知点M到l1,l2的距离相等,即,解得t=,∴.
又l过点A(2,4),由两点式得,即,
故直线l的方程为.
19.直线y=2x是的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4, 2),B(3, 1),求点C的坐标
【解析】把A,B两点的坐标分别代入y=2x知,点A,B不在直线y=2x上,因此y=2x为∠C的平分线所在的直线.
设点A(-4, 2)关于y=2x的对称点为A'(a, b),则,线段AA'的中点坐标为(,),则,解得,即A'(4,-2).
∵y=2x是∠C的平分线所在的直线,∴A'在直线BC上,∴直线BC的方程为,即3x+y-10=0.
由,解得,∴C点坐标为(2,4).
20.已知直线l:x+2y-2=0.试求:
(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;
(2)直线l关于点(1,1)对称的直线方程.
【答案】(1);(2).
试题解析:(1) 设点关于直线的对称点为,
则线段的中点在对称轴上,且.
∴即的坐标为.
(2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上,反之也成立.由
将的坐标代入直线的方程得.
∴直线的方程为.
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