北师大版数学八年级上册4.1函数教学设计
课题
4.1 函数
单元
第四单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：了解函数产生的背景和函数的概念,能判断两个变量间的关系是否属于函数关系.
过程与方法：通过对函数概念的探索,初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
情感态度与价值观：让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
重点
1.掌握函数的概念.2.会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系.
难点
能把实际问题抽象概括为函数问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．如图是某地一天内的气温变化图．
从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？
学生思考回答问题。
承接上一学期变量关系的学习，让学生感受到变量之间关系的是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性。
讲授新课
师;你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
(1)根据上图填表：
t/min
0
1
2
3
4
5
…
h/m
…
(2)对于给定的时间t ，相应的高度h确定吗？
【做一做】
1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表:
层数n
1
2
3
4
5
…
物体总数y
…
思考：层数n和物体总数y之间是什么关系?
对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定，有一个y值和它对应。
2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.
(1)当t分别为-43 ℃ ，-27 ℃, 0 ℃ , 18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？
(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
【思考】有几个T值和它对应？
唯一一个T值
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t 、热力学温度T.
师：归纳总结
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
【例】下列各图中，x是自变量，则y是x的函数吗？为什么？
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
【想一想】函数有哪些表示方法？
（1）图象法（用图像来表示函数的方法）；
（2）列表法（把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数的方法）；
（3）解析法（用代数式来表示函数的方法，用来表示函数关系的式子叫做函数关系式，函数关系式是等式，在书写时有顺序性，一般写成：“函数=函数自变量的代数式”的形式）。
【想一想】上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
层数n
1
2
3
4
5
…
物体总数y
…
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.
学生思考回答问题。
生：3
11
37
45
37
11
生：对于给定的时间t ，相应的高度h确定
生：1
3
6
10
15
生：230K、246K 、273K、291K
生：都能求出相应的T值
生：共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
生：图一y是x的函数
图二：y不是x的函数
自变量t的取值范围:t≥0
自变量n的取值范围：n取正整数
自变量t的取值范围：t≥-273
通过上面三个问题的展示，使学生们初步感受到：现实生活中存在大量的变量间的关系，并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的；变量之间的关系表示方式是多样的（图象、列表和解析式等）.
通过图片展示和三个问题的探究，使学生感受生活中的确存在大量的两个变量之间的关系，并且这两个变量之间的关系可以通过三种不同的方式表现，初步了解三种方式表示两个变量之间关系的各自特点.
通过常量与变量的区别阐述，进一步理解函数的关键；通过三个例题，对函数概念进行更深入的探讨，再次揭示函数概念的本质特征.
通过对函数基本特征的反复比较与探究，学生能比较深刻地理解函数的概念；同时三个例题涉及了初中阶段将要学到一次函数、反比例函数和二次函数，也为学生将来学习这三种函数留下了一个初步的印象.
课堂练习
1.(1)汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)之间的关系式为s=30t.
(2)圆的面积S与半径R的关系式为S=πR2.
2.一般地,在某个变化过程中,有 个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就 了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中 是自变量, 因变量. 答案:两 确定 x y
3.下列变量间的关系不是函数关系的是 ( C )
A.长方形的宽一定,其长与面积B.正方形的周长与面积C.等腰三角形的底边长与面积D.圆的周长与半径
4.下列是关于变量x和y的四个关系式:①y=x;②y2=x;③2x2=y;④y2=2x.其中y是x的函数的有 ( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:
物体的质量/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
10
12.5
15
17.5
20
22.5
下列说法错误的是 ( B )
A.没挂物体时,弹簧的长度为10 cm
B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量
C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为m kg,那么弹簧的长度y cm可以表示为y=2.5m+10
D.当物体的质量为4 kg时,弹簧的长度为20 cm
5.如图(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=7时,点E应运动到 (B )
A.点C处 B.点D处 C.点B处 D.点A处
（2019?黄冈）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ C ）
A．体育场离林茂家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是60m/min
（2019?内江）
在函数 中，自变量x的取值范围是（ D ）
A．x＜4 B．x≥4且x≠-3 C．x＞4
D．x≤4且x≠-3
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
1.初步掌握函数的概念，并能判断两个变量之间的关系是否是函数的关系。
2.在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，并能由给定的自变量的值，相应的求出函数的值。
3.函数的三种表达式：
（1）图象法 ；（2）列表法；（3）解析法
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
函数
课件32张PPT。4.1 函数北师版 八年级上新知导入在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，如图是某地一天内的气温变化图．从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？新知讲解你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？新知讲解下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.(1)根据左图填表：11374537310新知讲解下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.(2)对于给定的时间t ，相应的高度h确定吗？对于给定的时间t ，相应的高度h确定新知讲解【做一做】
1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？新知讲解填写下表：1361015新知讲解1361015思考：层数n和物体总数y之间是什么关系?对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定，有一个y值和它对应。新知讲解2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.
(1)当t分别为-43 ℃ ，-27 ℃, 0 ℃ , 18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？解：当t=-43时，T=-43+273=230（K） 当t=-27时，T=-27+273=246（K） 当t=0时，T=0+273=273（K） 当t=18时，T=18+273=291（K）新知讲解2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.
(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？都能求出相应的T值【思考】有几个T值和它对应？唯一一个T值新知讲解【思考】上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t 、热力学温度T.共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.新知讲解【归纳总结】一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.新知讲解【例】下列各图中，x是自变量，则y是x的函数吗？为什么？y是x的函数y不是x的函数判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.新知讲解【想一想】函数有哪些表示方法？图像法新知讲解【想一想】函数有哪些表示方法？列表法新知讲解【想一想】函数有哪些表示方法？热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.解析式法新知讲解【总结归纳】函数的三种表示方法（1）图象法（用图像来表示函数的方法）；
（2）列表法（把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数的方法）；
（3）解析式法（用代数式来表示函数的方法，用来表示函数关系的式子叫做函数关系式，函数关系式是等式，在书写时有顺序性，一般写成：“函数=函数自变量的代数式”的形式）。新知讲解【想一想】上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？自变量t的取值范围:__________t≥0新知讲解【想一想】上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？1361015自变量n的取值范围：_________.n取正整数新知讲解【想一想】上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.自变量t的取值范围：___________.t≥-273新知讲解函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值课堂练习1.(1)汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)之间的关系式为 .
(2)圆的面积S与半径R的关系式为 .
2.一般地,在某个变化过程中,有 个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就 了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中 是自变量, 是因变量. s=30tS=πR2两确定xy课堂练习3.选择
（1）下列变量间的关系不是函数关系的是 ( )
A.长方形的宽一定,其长与面积B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积D.圆的周长与半径
（2）下列是关于变量x和y的四个关系式:①y=x;②y2=x;③2x2=y;
④y2=2x.其中y是x的函数的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个CB课堂练习4.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:下列说法错误的是 ( )
A.没挂物体时,弹簧的长度为10 cm
B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量
C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为m kg,那么弹簧的长度y cm可以表示为y=2.5m+10
D.当物体的质量为4 kg时,弹簧的长度为20 cmB拓展提高5.如图(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=7时,点E应运动到 ( )A.点C处
B.点D处
C.点B处
D.点A处B中考链接6.（2019?黄冈）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）A．体育场离林茂家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是60m/minC中考链接7.（2019?内江）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）A．x＜4
B．x≥4且x≠-3
C．x＞4
D．x≤4且x≠-3D课堂总结1.初步掌握函数的概念，并能判断两个变量之间的关系是否是函数的关系。
2.在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，并能由给定的自变量的值，相应的求出函数的值。
3.函数的三种表达式：
（1）图象法 ；（2）列表法；（3）解析法这节课你学到了什么？板书设计4.1 函数
1.定义：自变量、因变量、常量
2.函数的关系式
3.函数的图像作业布置课本 P77 练习题
P77 习题4.1谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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