22.3实践与探索导学案
课题
实践与探索
单元
22
学科
数学
年级
九年级
知识目标
使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.
重点难点
重点：用一元二次方程解决实际问题
难点：建立数学模型，找等量关系，列方程
教学过程
知识链接
列方程解应用题的一般步骤？
合作探究
一、教材38页问题1
学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2 ，问道路的宽为多少m？
/
（1）题目中的已知量和未知量分别是什么?
（2）题目中相等关系式什么?
二、教材39页试一试
如果设想把小道平移到两边，如图，小道所占的面积是否保持不变？
/
三、教材40页问题
小明把一张长为10厘米的正方形纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，在折合成一个无盖的长方体盒子。如图
/
(1)如果要求长方体的底面面积为81cm2 ，那么剪去的正方形边长为多少？
(2)按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么截去的正方形的边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
/
四、教材40页探索
以剪去的正方形的边长为自变量,折合而成的长方体的侧面积为函数,在直角坐标系中画出相应的点,猜猜函数图形的形状。
五、教材39页问题2
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
若每次降价的百分率为x,第一次降价后每瓶零售价为56(1-x)元，第二次降价后 每瓶零售价为56
(1???)
2
元
列出方程
。
六、教材41页问题
某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？
1、翻一番，你是如何理解的？
2、“平均年增长率”你又是如何理解的？
若调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？
。
又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？
。
归纳：增长率的问题
。
。
自主尝试
1、一个长方体的长与宽的比为5：2，高为5厘米，表面积为40平方厘米。画出这个长方体的展开图，及其过程（设未知数）
2某企业2007年利润为50万元，如果以后每年的利润都比上年的利润增长x%。那么2009年的年利润将达到多少万元？
【方法宝典】
建立数学模型，列方程，解答
当堂检测
1、有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，则这个框的宽应为 .
2、某公司2006年的产值为500万元，2008年的产值为720万元，则该公司产值的年平均增长率为 .
3、某公司2002，2004年的营业额分别为80万元、180万元，若2003，2004，2005这三年的年增长率都相同，则该公司2005年的营业额应为 万元．
4、椐报道，2007年“五?一”黄金周宜昌市共接待游客约80万人，旅游总收入约2.56亿元．其中县区接待的游客人数占全市接待的游客人数的60%，而游客人均旅游消费（旅游总收入÷旅游总人数）比城区接待的游客人均旅游消费少50元．
（1）2007年“五?一”黄金周，宜昌市城区与县区的旅游收入分别是多少万元？
（2）预计2008年“五?一”黄金周与2007年同期相比，全市旅游总收入增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的2.59倍，游客人数增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的1.5倍．请估计2008年“五?一”黄金周全市的旅游总收入是多少亿元？（保留3个有效数字）
5、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．
（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？
/
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
一元二次方程的应用
参考答案：
当堂检测：
5 2、20% 3、270
设城区游客人均消费x元，则县区游客人均消费（x-50）元．依据题意可列方程：80×（1-60%）x+80×60%（x-50）=25600，解得：x=350，
350×80×（1-60%）=11200（万元），25600-11200=14400（万元）
答：城区与县（市）区的旅游收入分别是11200万元和14400万元．
(2)设2008年与2007年相比，游客人均旅游消费增长的百分数为z，则旅游总收入增长的百分数为2.59z，旅游人数增长的百分数为1.5z，
依据题意可列方程：（1+z）×80（1+1.5z）=25600（1+2.59z）
化简并整理得：1.5z2-0.09z=0，
解得：z=0.06或z=0（舍去）
2008年“五?一”黄金周宜昌市的旅游总收入为：
25600（1+2.59z）=25600×（1+0.1554）=29578.24（万元）
=2.957824（亿元）≈2.96（亿元）（6分）．
答：估计2008年“五?一”黄金周全市的旅游总收入是2.96亿元．
5、解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（80-x）米
依题意，得x?（80-x）=750
即，x2-80x+1500=0，
解此方程，得x1=30，x2=50．
∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去
当x=30时，（80-x）=×（80-30）=25，
所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2．
（2）不能．
因为由x? （80-x）=810得x2-80x+1620=0
又∵b2-4ac=（-80）2-4×1×1620=-80＜0，
∴上述方程没有实数根
因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2
/
华师大版数学九年级上22.3实践与探索教学设计
课题
实践与探索
单元
22
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.过程与方法目标
通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活,通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力,经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤
情感态度与价值观目标
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情
重点
用一元二次方程解决实际问题
难点
建立数学模型，找等量关系，列方程
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提问：
列方程解应用题的一般步骤？
生：第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；
第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；
第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；
第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）
师：怎样用一元二次方程解决实际问题呢？这节课，我们一起来学习一下.
学生回顾列方程解应用题的步骤，然后引出一元二次方程的应用
通过复习，引出新问题，提高学生学习的积极性.
讲授新课
课件展示：
学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2 ，问道路的宽为多少m？
师：（1）题目中的已知量和未知量分别是什么?
（2）题目中相等关系式什么?
如图：如图，设道路的宽为x米，你能列出方程吗？
/
师：如果设想把小道平移到两边，如图，小道所占的面积是否保持不变？
/
生：不变
师：小明把一张长为10厘米的正方形纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，在折合成一个无盖的长方体盒子。如图
/
能够折合成一个无盖的长方体（如图）,假设正方形硬纸板的边长为10cm，此长方体的底面是正方形，设剪去小正方形边长为xcm，则底面正方形边长为（10-2x）cm，高为xcm
(1)如果要求长方体的底面面积为81cm2 ，那么剪去的正方形边长为多少？
生：解：小正方形边长为xcm，
则底面边长为（10-2x）cm
根据题意得，（10-2x）2 =81
解得，
??
1
=0.5，
??
2
=9.5 （舍去）
答:小正方形边长0.5cm.
师：按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么截去的正方形的边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
/
(3)以剪去的正方形的边长为自变量,折合而成的长方体的侧面积为函数,在直角坐标系中画出相应的点,猜猜函数图形的形状。
师：能从图中观察到侧面积的最大值吗?
课件展示：
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
师：若每次降价的百分率为x,第一次降价后每瓶零售价为56(1-x)元，第二次降价后 每瓶零售价为56
(1???)
2
元
你能列出方程吗？
课件展示
某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？
师：思考
1、翻一番，你是如何理解的？
2、“平均年增长率”你又是如何理解的？
生：翻一番，即为原产值的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2
生：“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按相同的百分数增加
师：若调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？
生：
(??+??)
??
=??.??
(??+??)
??
=??.??
师：又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？
生：(1+x)(1+2x)=2
师：归纳一下，关于增长率的问题吧
生：连续两次增长，平均每次的增长率为x，原值为a，连续两次增长后的值为b，则有a×(1+x)2=b
生：连续两次降低，平均每次的降低率为x，原值为a，连续两次降低后的值为b，则有a(1-x)2=b
在老师的带领下，进行分析问题，解答问题.
学生解答，老师订正
学生自主探究，画出函数图象，并找出最值.
学生自主解答，老师订正
在老师的指引下，分析增长率问题，并总结出增长率问题的常用形式.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
巩固所学知识，
培养学生分析归纳的能力.
培养学生发散思维，自己解决问题的能力
培养学生动脑的能力，能自己分析问题并解决问题.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
课堂练习
1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．(3+x)(4-0.5x)=15 B．(x+3)(4+0.5x)=15
C．(x+4)(3-0.5x)=15 D．(x+1)(4-0.5x)=15
答案：A
2．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．x（5+x）=6 B．x（5-x）=6
C．x（10-x）=6 D．x（10-2x）=6
答案：B
3.为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为 .
答案：20×（1+x）2=25
4.某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 .
答案：x(x-1)=2550
5.在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．
/
答案：
解：设花边的宽度为x米，根据题意，得
（2-2x）（1.4-2x）=1.6
解得：x1=1.5（舍去），x2=0.2．
答：花边的宽度为0.2米．
拓展提高
水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是______ 斤
（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
答案：
(1)100+200x
(2)解：根据题意，得（4-2-x）（100+200x）=300，
解得：x=
1
2
或x=1，
∵每天至少售出260斤，
∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
中考链接
1. 【安徽中考】一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足 ( )
A．16(1+2x)=25 B．25(1-2x)=16
C．16
(1+??)
2
=25 D．25
(1???)
2
=16
答案：D
2.【杭州中考】某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次，设参观人次的平均年增长率为x，则（???）
A.10.8（1+x）=16.8?B.16.8（1-x）=10.8?
C.10.8（1+x）2=16.8????????
D.10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
答案：C
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
可以照顾不层次的学生，调动学生学习积极性
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
/
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
列方程解应用题的一般步骤
第一步：分析题意 （弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；）
第二步：抓住等量关系
第三步：列出方程
第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：检验（检查求得的答数是否符合应用题的实际意义）
第六步：答
/
课件24张PPT。22.3实践与探索华师大版 九年级上第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；
第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；
第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；
第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）情境导入一、复习 列方程解应用题的一般步骤？怎样用一元二次方程解决实际问题呢？学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2 ，问道路的宽为多少m？3220xx（1）题目中的已知量和未知量分别是什么?（2）题目中相等关系式什么?新知讲解几何问题新知讲解则横向的路面面积为 ，解:如图，设道路的宽为x米，32x 米2纵向的路面面积为 。20x 米2?答：所求道路的宽为2米。∵0设剪去小正方形边长为xcm，则底面正方形边长为（10-2x）cm，高为xcm(1)如果要求长方体的底面面积为81cm2 ，那么剪去的正方形边长为多少？ ?2 . 按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么截去的正方形的边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？1321.5482.534240.51842250483.5183.以剪去的正方形的边长为自变量,折合而成的长方体的侧面积为函数,在直角坐标系中画出相应的点,猜猜函数图形的形状。能从图中观察到侧面积的最大值吗? 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.????答：每次降价的百分率为25%增长率问题某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？1、翻一番，你是如何理解的？（翻一番，即为原产值的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2） 2、“平均年增长率”你又是如何理解的？（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按相同的百分数增加）思考新知讲解?答：这两年中财政净收入的平均年增长率约为41.4%2.若调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？3、又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？????(1+x)(1+2x)=2新知讲解归纳新知讲解1)连续两次增长，平均每次的增长率为x，原值为a，连续两次增长后的值为b，则有a×(1+x)2=b连续两次增长或连续两次降低2)连续两次降低，平均每次的降低率为x，原值为a，连续两次降低后的值为b，则有a(1-x)2=b 1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．(3+x)(4-0.5x)=15 B．(x+3)(4+0.5x)=15
C．(x+4)(3-0.5x)=15 D．(x+1)(4-0.5x)=15
2．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．x（5+x）=6 B．x（5-x）=6 C．x（10-x）=6 D．x（10-2x）=6
AB课堂练习3.为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为 .
4.某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 .20×（1+x）2=2541，，x(x-1)=2550 5．在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．解：设花边的宽度为x米，根据题意，得
（2-2x）（1.4-2x）=1.6
解得：x1=1.5（舍去），x2=0.2．
答：花边的宽度为0.2米．拓展提高水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是______ 斤
（用含x的代数式表示）；100+200x（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？??中考链接DC列方程解应用题的一般步骤分析题意课堂总结抓住等量关系列出方程解这个方程，求出未知数的值检验答板书设计列方程解应用题的一般步骤第一步：分析题意 （弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；）
第二步：抓住等量关系
第三步：列出方程
第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：检验（检查求得的答数是否符合应用题的实际意义）
第六步：答作业布置1.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
2.在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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