1.2.2 函数的表示法 学案

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学案 函数的表示方法
【知识要点】
函数有哪些表示方法呢？
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；（待定系数，换元，配凑，消元，赋值）
（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；
（3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系.
类型一 函数的解析式
【例1】求下列函数的解析式：
（1）已知一次函数满足f（f（x））＝4x+1，求解析式f（x）


（2）已知二次函数满足f（3x+1）＝9x2+6x+5，求f（x）的解析式．


（3）已知函数y＝f（x）满足2f（x）+f＝2x，x∈R且x≠0，求f（x）；


设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（0）＝1，且对于任意的实数a，b有
f（a﹣b）＝f（a）﹣b（2a﹣b+1），求f（x）的解析式．



练习：(1已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（2﹣x）﹣f（x）＝0，f（1）＝﹣2，求f（x）；



(2）已知f（x+）＝x2+，求f（x）．


（3）已知f（+1）＝x+3，求f（x）



(4)已知f（x）﹣2f（）＝3x+2，求f（x）．



（5）已知对任意实数x、y都有f（x+y）﹣2f（y）＝x2+2xy﹣y2+3x﹣3y，求f（x）．



类型二 函数的图像
【例2】画出下列函数图像：
（1）y＝﹣x2+2|x|+3；

（2）y＝|﹣x2+2x+3|

（3）y＝

（4）y＝1+

（5）已知函数f（x）为定义在[﹣2，2]上的图象，请分别画出下列函数的图象．
①y＝f（x+1）；
②y＝f（x）+1．








函数的表示方法学案答案

例一（1）解：设f（x）＝ax+b，则f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝4x+1；
∴；∴，或；∴，或f（x）＝﹣2x﹣1．
故答案为：2x+，或﹣2x﹣1．（待定系数法）
法一：由f（3x+1）＝（3x+1）2+4，即可得到函数的解析式，所以f（x）＝x2+4。
（配凑法）
法二：令整理的
所以f（x）＝x2+4。（换元法）

将式子2f（x）+＝2x①中的x换上得到：②；①②联立解出
f（x）＝；（消元法）
（4）令a＝b＝x，则f（0）＝f（x）﹣x（2x﹣x+1），又f（0）＝1，所以f（x）＝1+x（x+1）即f（x）＝x2+x+1。（赋值法）
练习：解：（1）f（0）＝2，则可设f（x）＝ax2+bx+2
f（2﹣x）＝f（x），即f（1+1﹣x）＝f（1﹣（1﹣x）），即x＝1为函数的对称轴，即x＝﹣＝1，得：b＝﹣2a，f（1）＝﹣2，得：a+b+2＝﹣2，即a﹣2a+2＝﹣2，得：a＝4，故b＝﹣8
∴f（x）＝4x2﹣8x+2；（待定系数法）
（2）∵f（x+）＝x2+＝（x+）2﹣2；故f（x）＝x2﹣2，（x≥2或x≤﹣2）；（配凑法）
（3）设+1＝t（t≥1），则x＝（t﹣1）2，∴f（t）＝（t﹣1）2+3＝t2﹣2t+4，
∴f（x）＝x2﹣2x+4（x≥1）；（换元法）
（4）以代替x，代入f（x）﹣2f（）＝3x+2①，可得f（）﹣2f（x）＝+2②，
①②联立可得f（x）＝﹣x﹣﹣2．（消元法）
（5）解：令x＝y＝0得f（0）＝2f（0），则f（0）＝0令y＝0得f（x）＝f（0）+x2+3x
即f（x）＝x2+3x．（赋值法）
类型二 函数的图像
（1））y＝﹣x2+2|x|+3＝，其图象为：

（2）y＝|﹣x2+2x+3|＝
其图象为：

（3）y＝＝2+，
其图象由y＝的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到，如下图所示：

（4））作函数y＝1+的图象如下，
，
故函数的单调减区间为（﹣∞，0），值域为[1，+∞）；
（5）①将f（x）图象向左平移1个单位即可得到y＝f（x+1）的函数图象，作出图象如下：

②将f（x）图象向上平移1个单位得到y＝f（x）+1的图象，如图：








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