1.2.2函数的表示法（分段函数与映射） 学案

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学案 分段函数与映射
【知识要点】
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数。
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集。
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象。
2、一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“：A→B”
说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．
（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
类型一 分段函数
【例1】某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内(不含五公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．



【例2】(1)已知函数f（x）＝，若f（a）+f（f（1））＝0，则实数a的值等于（　　）
A．﹣28 B．﹣10 C．10 D．28
(2）设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，p＝2，则下列结论不成立的是：　 ．
A .fp[f（0）]＝f[fp（0）]； B. fp[f（1）]＝f[fp（1）]；
fp[fp（2）]＝f[f（2）]； D. fp[fp（3）]＝f[f（3）]．

(3)如图，已知函数f（x）的图象是两条直线的一部分，其定义域为（﹣1，1），则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集是　 　．

(4) 已知实数a≠0，函数f（x）＝．
（1）若a＝﹣3，求f（10），f（f（10））的值；
（2）若f（1﹣a）＝f（1+a），求实数a的值．



类型二 映射
【例3】下列对应中，
①A＝{矩形}，B＝{实数}，f为“求矩形的面积”；
②A＝{平面α内的圆}，B＝{平面α内的矩形}，f：“作圆的内接矩形”；
③A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→y＝x2+1；
④A＝R，B＝R，f：x→y＝；
⑤A＝{x∈R|1≤x≤2}，B＝R，f：x→y＝2x+1．
是从集合A到集合B的映射的为　 　．
【例4】在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？
A 开平方 B A 求正弦 B







（1） （2）

A 求平方 B A 乘以2 B







（3） （4）
【例5】（1）已知集合A＝{0，1}，B＝{x，y，z}，则从集合A到集合B的映射可能有（　　）种．
A．6 B．8 C．9 D．12
（2）设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（　　）
A．（3，1） B．（，） C．（，﹣） D．（1，3）
（3）设a，b为实数，集合M＝{﹣1，，1}，N＝{a，b，b﹣a}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b的值等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1




分段函数与映射答案

【例1】、解：设票价为y元，里程为x公里，则根据题意，如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是（0，20]．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数的解析式：
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示

【例2】、（1）解：∵函数f（x）＝，
∴f（1）＝2，f（f（1））＝f（2）＝32＝9，
∵f（a）+f（f（1））＝0，∴f（a）＝﹣9．
当a＞1时，3a＝﹣9，不成立；
当a≤1时，a+1＝﹣9，解得a＝﹣10．故选：B．
(2)解：根据题意写成f（x）＝x2﹣2x﹣1，p＝2的分段函数形式即f2（x）＝．
A：fp[f（0）]＝f2（﹣1）＝2，f[fp（0）]＝f[f2（0）]＝f（﹣1）＝2，故①成立；
B：fp[f（1）]＝f2（﹣2）＝2，f[fp（1）]＝f[f2（1）]＝f（﹣2）＝7，故②不成立；
C：fp[fp（2）]＝f2[f2（2）]＝2，f[f（2）]＝2，故③成立；
D：fp[fp（3）]＝f2[f2（3）]＝﹣1，f[f（3）]＝﹣1，故④成立；
所以只有B结论不正确，故本题答案为：B
（3）解：根据题意，当x∈（﹣1，0]时，线段过点（﹣1，0），（0，﹣1），其解析式为f（x）＝﹣x﹣1，
同理，当x∈（0，1）时，函数f（x）的解析式为f（x）＝﹣x+1，
即函数f（x）＝，
分3种情况讨论：
①，当x∈（﹣1，0）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1可化为：﹣x﹣1﹣（x+1）＞﹣1，
解可得：﹣1＜x＜﹣；
②，当x＝0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣1，则f（x）﹣f（﹣x）＝0，满足f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1，
③，当x∈（0，1）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1可化为（﹣x+1）﹣（x﹣1）＞﹣1，
解可得：0＜x＜1，
综合可得：不等式的解集为（﹣1，﹣）∪[0，1）；
故答案为：（﹣1，﹣）∪[0，1）．
（4）解：（1）函数f（x）＝．
f（10）＝﹣10﹣2×（﹣3）＝﹣4，
f（f（10））＝f（﹣4）＝2×（﹣4）﹣3＝﹣11
（2）当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1，
∴f（1﹣a）＝﹣（1﹣a）﹣2a＝﹣1﹣a，f（1+a）＝2（1+a）+a＝3a+2，
∵f（1﹣a）＝f（1+a），∴﹣1﹣a＝3a+2，∴a＝﹣．
当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1，
∴f（1﹣a）＝2（1﹣a）+a＝2﹣a，f（1+a）＝﹣（1+a）﹣2a＝﹣3a﹣1，
∵f（1﹣a）＝f（1+a），∴2﹣a＝﹣3a﹣1，∴a＝﹣（舍去）．
综上，a＝﹣．
【例3】、解：其中②，由于圆的内接矩形不唯一，因此f不是从A到B的映射；
其中④，A中的元素0在B中没有对应元素，因此f不是从A到B的映射．
①③⑤符合映射的定义．
故答案为：①③⑤．
【例4】、解：（1）既不是映射也不是函数关系；（2）是映射不是函数；（3）是映射也是函数；（4）是映射也是函数。
【例5】、（1）解：集合A中的元素0在集合B中有3种不同的对应方式（x，y，z三选一），
集合A中的元素1在集合B中也有3种不同的对应方式（x，y，z三选一），
根据“分步计数原理（乘法原理）”，
集合A到集合B的映射共有N＝3×3＝9，故选：C．
（2）解：由映射的定义结合题意可得 x+y＝2，x﹣y＝1，解得 x＝，y＝，
故像（2，1）的原像是 （，），故选：B．
（3）解：当a＝﹣1时，
集合M＝{﹣1，﹣b，1}，N＝{﹣1，b，b+1}，
∵元素x映射到集合N中仍为x，∴b＝0，∴a+b＝﹣1；
当a＝1时，集合M＝{﹣1，b，1}，N＝{1，b，b﹣1}，
∵元素x映射到集合N中仍为x，∴b＝0，∴a+b＝1；
综上得a+b＝±1∵A，B，C全不正确，故选：D．













300
450
600
900

3
－3
2
－2
1
－1

3
4
5
6




1

9
4
1

1
－1
2
－2
3
－3

1
2
3
4
5
6

1
2
3

1
4
9



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