1.1.2集合间的基本关系 学案 解析版

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1.1.2　集合间的基本关系
1.子集和真子集的概念
类别 文字语言 图形语言 符号表示
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 [来源:学科网] A?B或B?A
真子集 如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，称集合A是集合B的真子集 A?B和B?A
温馨提示：(1)若A?B，则A中的元素是B中的元素的一部分或是B的全部.(2)注意“∈”与“?”有什么区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“?”表示集合与集合之间的关系.
2.集合相等
若A?B且B?A，则集合A＝B.
3.空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.
(2)空集用符号表示为：?.
(3)规定：空集是任何集合的子集.
温馨提示：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，?，{?}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合，?为不含任何元素的集合，{?}为含有一个元素?的集合.
4.子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.

类型一　有限集合的子集问题
【例1】 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.


【训练1】.若集合{1，2}?M?{1，2，3，4}，试写出满足条件的所有集合M.
解　由{1，2}?M，知1，2∈M，又M?{1，2，3，4}，因此集合M中可以有2个或3个元素，故满足条件的M可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.
类型二　集合间关系的判断
【例2】 下列关系中正确的个数是(　　)
①0∈{0}；②??{0}；③{0，1}?{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　(1)对于①，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}，正确；对于②，由于空集是任何非空集合的真子集，所以??{0}，正确；对于③，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以③错误；对于④，{(a，b)}与{(b，a)}是不同的点集，所以④错误.
答案　B
【训练2】 集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7>0}，试判断集合A和B的关系.
解　A＝{－3，2}，B＝.
∵－3>－，2>－，
∴－3∈B，2∈B，∴A?B，
又0∈B，但0?A，∴A?B.
类型三　由集合间关系求参数问题
【例3.已知集合A＝{x|(a－1)x2－2x＋1＝0}，且集合A有且仅有两个子集，求实数a的值以及对应的两个子集.
解　根据题意可知集合A中只含有一个元素.
(1)当a＝1时，A＝{x|－2x＋1＝0}＝，
此时集合A的两个子集为，?；
(2)当a≠1时，则Δ＝4－4(a－1)＝0，
解得a＝2，此时集合A的两个子集为{1}，?.
故实数a的值为1或2.
当a＝1时，集合A的两个子集为，?；
当a＝2时，集合A的两个子集为{1}，?.

【训练3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.
解　(1)B＝?时，有m－6>2m－1，则m<－5，此时B?A成立.
(2)当B≠?时，B?A，此时满足?不等式组解集为?.
由(1)(2)知，实数m的取值范围是{m|m<－5}.
课时同步练习
1．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为 (　　)
A．7 B．12 C．32 D．64
【答案】D
【解析】集合P*Q的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P*Q的子集个数为26＝64.
故选D
2．下列六个关系式中正确的个数为(　　)
①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤?{0}；⑥0∈{0}.
A．6 B．5
C．4 D．3个及3个以下
【答案】C
【解析】其中①②⑤⑥是正确的；对于③应为， ；对于④应为；故选C.
3．下列各组两个集合A和B表示同一集合的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】试题分析：A选项中集合中元素为无理数，而中元素为有理数，故
B选项中集合中元素为实数，而中元素为有序数对，故
C选项中集合中元素为0,1，而中元素为1，故故选C
考点：集合的元素
4．满足下列关系式的集合的个数是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】由题意可得，集合M中一定有元素1,2,3，如果M是四个元素集，有3种选法，如果M是五个元素集，可选4，5和4,6和5,6，三种选法，如果集合M是六个元素集，只有1种选法，所以M的元素个数为3+3+1=7种，选D.
5．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
集合M中的元素代表所有的奇数除以4所得的数；集合N中的元素代表所有的整数除以4所得的数；很明显M中的元素都在集合N中，N中有一些元素不在M中，故
故选A
6．下列命题中，正确的有 (　　)
①空集是任何集合的真子集；②若A B，BC，则AC；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A?B.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】
空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，
故选C．
7．已知集合,且,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由得：当时，满足题意；当时，（１） 满足题意，（２） ，综上，，故选D.
8．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则 (　　)
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
【答案】A
【解析】由条件知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得b＝－3，c＝2.
故选A
9．下列命题
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若?A，则A≠?.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】
①错，空集是任何集合的子集，有???；②错，如?只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．
10．如果集合A＝{x|x≤}，a＝，那么 (　)
A．a?A B．{a}A C．{a}∈A D．a?A
【答案】B
【解析】
【详解】
a＝<，
∴a∈A，A错误．由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知，C、D错，B正确．
故选B
11．下列六个关系式:⑴其 中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
【答案】C
【解析】
根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间的关系可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确，即正确的关系式个数为个，
故选C.
12．已知{1，2}M{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合M的个数为 （ ）
A．4 B．7 C．8 D．28
【答案】B
【解析】 根据集合之间的关系，可知集合所有的可能为
，共有个，故选B.
13．下列四个集合中，是空集的是 (　　)
A．{0} B．{x|x＞8且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}
【答案】B
【解析】
选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，
故选B．
14．若集合A={x}，B={x}，且AB，则的取值范围是 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】 根据集合之间的关系，要使得集合，则，故选C.
点睛：本题主要考查了集合的运算及集合之间的关系，本题的解答中正确理解集合子集的概念，作出合理运算时解答的关键，同时主要集合运算中端点的取舍问题，这是此类问题解答中的一个易错点.
15．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝ ，则b－a等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】C
【解析】 根据题意，集合，且，
所以，即，
所以，且，
所以，则，故选C.


16．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝?，则实数m的取值范围是____.
【答案】m≥1
【解析】∵M＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.
故答案为m≥1
17．已知非空集合A满足：①A?{1，2，3，4}；②若x∈A，则5－x∈A.符合上述要求的集合A的个数是________.
【答案】3
【解析】由“若 ，则 ”可知，1和4，2和3成对地出现在A中，且 故集合A的个数等于集合 的非空子集的个数，即3个.
18．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________.
【答案】
【解析】
， 则 ，故
19．符合条件的集合的个数是个_______.
【答案】
【解析】由题意可知集合P除了必有元素之外，一定还有其它元素，所以可以有一个元素b或c,可以有两个元素b,c.一共有3种，填3.
20．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“?”)．
【答案】∈
【解析】　由集合相等的定义可知，1∈B.

21．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤k＋1}且B?A，求实数k的取值范围.
【答案】
【解析】
试题分析：根据子集的定义结合图形分别讨论两种情况 的取值范围
试题解析：
解析　.

① 时，有2k－1>k＋1，解得 .
②时，有解得 .
综上，

22．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，B?A，求a的值.
【答案】
【解析】试题分析：根据子集定义分情况讨论 的值，再求出的值 .
试题解析：
因为B?A，所以B中元素1，a2－a＋1都是A中的元素，故分两种情况.
(1)a2－a＋1＝3，解得 ，经检验满足条件.
(2)a2－a＋1＝a，解得a＝1，此时A中元素重复，舍去.
综上所述， .
23．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且5?B，求实数a的值.
【答案】－4
【解析】　试题分析：根据5∈A得a2＋2a－3=5，解得a=-4或a=2,再代入，根据5?B验证得a＝－4.
试题解析：∵5∈A，且5?B，
∴　即∴a＝－4.

24.设集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解　B?A，分为两种情况：①当B＝?时，满足B?A，
此时m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
②当B≠?时，有
解得－1≤m<2.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
综上可得m的取值范围是{m|m≥－1}.



















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