1.1.3集合的基本运算 学案 解析版

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1.1.3　集合的基本运算
[来源:学科网ZXXK]
1.集合的并集

温馨提示：“x∈A，或x∈B”包括了三种情况：①x∈A，但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A，且x∈B.
2.集合的交集

温馨提示：当集合A、B没有公共元素时，A与B有交集，此时A∩B＝?.
3.集合的并集、交集的常用运算性质
A∪A＝A；A∪?＝A；A∪B＝B∪A；(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；
(A∪B)?A；A∪B＝A?B?A；A∩B＝A?A?B；A∩B＝A∪B?A＝B.
3.全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.
(2)记法：全集通常记作U.
温馨提示：全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素.
4.补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA
符号语言 ?UA＝{x|x∈U且x?A}
图形语言
温馨提示：补集是集合之间的一种运算，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的.
3.常用的运算性质
(1)(?UA)∪A＝U，(2)(?UA)∩A＝?.


类型一　集合并集的运算
【例1】 (1).设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{x∈R|－1≤x≤5}
解析　(A∪B)∩C＝{1，2，4，6}∩{x|－1≤x≤5}＝{1，2，4}，选B.
答案　B
(2).设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，则B＝(　　)
A.{1，－3} B.{1，0} C.{1，3} D.{1，5}
解析　1是方程x2－4x＋m＝0的解，x＝1代入方程得m＝3，∴x2－4x＋3＝0的解为x＝1或x＝3，∴B＝{1，3}.
答案　C
(3).已知集合A＝{x|3解　由A∪B＝B，知A?B.又A＝{x|3结合数轴可知解得≤k≤2.
故A∪B＝B时，k的取值范围为.
【训练1】 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(　　)
A.{－1，2，3} B.{－1，－2，3}
C.{1，－2，3} D.{1，－2，－3}
(2)设集合A＝{m|m－2>0}，B＝{m|－1≤m<5}，则A∪B＝________.
解析　(1)因为A＝{1，－2}，B＝{－2，3}，所以A∪B＝{1，－2，3}.故选C.

(2)A＝{m|m－2>0}＝{m|m>2}，将集合A、B表示在数轴上，如图所示，由图知A∪B＝{m|m≥－1}.
答案　(1)C　(2){m|m≥－1}
类型二　集合交集的简单运算
【例2】 (1)已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x|x<－1或x>3}，求A∩B.
(2)若A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x>a，且a<3}，求A∩B.
(3)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
解　(1)由3x＋2>0，得x>－.
所以A＝，又B＝{x|x<－1或x>3}.
因此，结合数轴可知，A∩B＝{x|x>3}.

(2)如图所示，当a<－2时，A∩B＝A＝{x|－2≤x≤3}；当－2≤a<3时，A∩B＝{x|a(3)解析　A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B的元素表示直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A∩B元素的个数为2.
答案　B
【训练2】 已知M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a的值.
解　∵M∩N＝{3}，∴3∈M；
∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，
解得a＝－1或4.
但当a＝－1时，集合N中元素不满足互异性，故舍去；
当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，
符合题意.∴a＝4.

类型三　并集、交集的性质及应用
【例3】 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
解　由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}.又A∪B＝A，所以B?A.
(1)若B＝?，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.
(2)若B≠?，则B＝{1}或B＝{2}.
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
综上可知，适合题意的实数a所组成的集合C＝{0，1，2}.
【训练3】 已知集合A＝{x|－2解　因为A∩B＝B，所以B?A.
(1)当B＝?时，即2m＋1≥m＋7，所以m≥6.此时满足A∩B＝B.
(2)当B≠?时，由无解.
故m的取值范围是{m|m≥6}.
类型四　补集的运算
【例4】 设全集U＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}，A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{－2，0}.求?UA，?UB.
解　法一　∵－2≤x≤2且x∈Z，
∴x的值为－2，－1，0，1，2；
又方程x2－2x＝0的解为x＝0或x＝2；
∴U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{0，2}，B＝{－2，0}.
则?UA＝{－2，－1，1}，?UB＝{－1，1，2}.
【训练4】 (1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x≥}，则?UA＝(　　)
A.? B.{2}
C.{5} D.{2，5}
(2)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则?U(A∪B)＝(　　)
A.{2，6} B.{3，6}
C.{1，3，4，5} D.{1，2，4，6}
解析　(1)U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥3}∴?UA＝{x∈N|2≤x<3}＝{2}.
(2)∵A∪B＝{1，3，4，5}，∴?U(A∪B)＝{2，6}，故选A.
答案　(1)B　(2)A
类型五　补集的简单应用
【例5】 已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a解　由题意得?RA＝{x|x≥－1}.
(1)若B＝?，则a＋3≤2a，
即a≥3，满足B??RA.
(2)若B≠?，则由B??RA，得2a≥－1且2a即－≤a<3.
综上可得a的取值范围为.
【训练5】 设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}.若?UA＝{5}，求实数a的值.
解　由题意知，a2＋2a－3＝5，
解得a＝－4或a＝2.
当a＝2时，|2a－1|＝|4－1|＝3，
此时A＝{2，3}，符合题意；
当a＝－4时，|2a－1|＝|－8－1|＝9，
此时A＝{9，2}，不符合题意.故实数a的值为2.
类型六　交集、并集、补集的综合运算
【例6】 设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}.
(1)求a的值及A、B；
(2)设全集U＝A∪B，求(?UA)∪(?UB)；
(3)写出(?UA)∪(?UB)的所有子集.
解　(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈A，且2∈B.
∴8＋2a＋2＝0，即a＝－5.
∴A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝，
B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}.
(2)由(1)可知U＝，
∴?UA＝{－5}，?UB＝，
∴(?UA)∪(?UB)＝.
(3)由(2)可知(?UA)∪(?UB)的所有子集为?，{－5}，，.
【训练6】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解　如图所示.

∵A＝{x|－2U＝{x|x≤4}，
∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3或2A∩B＝{x|－2∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2课时同步练习
1.已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)
A.A∩B＝ B.A∩B＝?
C.A∪B＝ D.A∪B＝R
解析　由3－2x>0得x<，所以A∩B＝{x|x<2}∩＝，故选A.
答案　A
2.已知集合A＝{x|－1A.a<－1 B.a>2
C.a≥2 D.－1解析　∵A∩B＝A，∴A?B.在数轴上画出两集合，要使集合B完全覆盖集合A，集合B的端点a应在2处或其右侧，因此a≥2.
答案　C
3.已知全集U(U≠?)和集合A、B、D，且A＝?UB，B＝?UD，则集合A与D的关系是________.
解析　A＝?UB＝?U(?UD)＝D.
答案　A＝D
4.设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，则实数m＝________.
解析　∵U＝{0，1，2，3}，?UA＝{1，2}，
∴A＝{0，3}，又0，3是方程x2＋mx＝0的两根，
∴m＝－3.
答案　－3
5.已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且?UA＝{－1}，则a的值是(　　)
A.－1 B.1
C.3 D.±1
解析　因为U＝{－1，1，3}，?UA＝{－1}，所以A＝{1，3}，
又因为a2＋
6.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围为________.
解析　由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}.
由P∪M＝P得M?P.又M＝{a}，所以－1≤a≤1.
答案　{a|－1≤a≤1}
此时A＝{0，1，－3}，B＝{－3，－1，1}，
则A∩B＝{1，－3}，这与已知矛盾.[来源:Zxxk.Com]
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{0，1，－3}，B＝{－3，－4，2}，A∩B＝{－3}，符合题意.因此A∪B＝{－3，－4，2，0，1}.
7.设集合A＝{x|－1解析　利用数轴分析可知，a>－1.

答案　{a|a>－1}
8.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1解析　因为A∪B＝A，所以B?A，又B≠?，所以即2答案　{m|2
9.设全集为U，M＝{0，2，4}，?UM＝{6}，则U等于(　　)
A.{0，2，4，6} B.{0，2，4}
C.{6} D.?
解析　U＝M∪?UM＝{0，2，4，6}.
答案　A
10.已知集合A＝{x∈R|－2A.{x|x<6} B.{x|－2C.{x|x>－2} D.{x|2≤x<6}
解析　由B＝{x∈R|x<2}，得?RB＝{x|x≥2}.又A＝{x∈R|－2(?RB)＝{x|x>－2}.
答案　C
11.已知全集U＝{6，7，8}，且?UA＝{6}，则集合A的真子集有________个.
解析　因为U＝{6，7，8}，?UA＝{6}，所以A＝{7，8}，A的真子集为{7}，{8}，?，共3个.
答案　3
12.设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，若点P(2，3)∈A∩(?UB)，则下列选项正确的是(　　)
A.m>－1，n<5 B.m<－1，n<5
C.m>－1，n>5 D.m<－1，n>5
解析　由P(2，3)∈A∩(?UB)得
P∈A且P?B，故解得m>－1，n<5.
答案　A
13.已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是________.
解析　?RB＝{x|x<1或x>2}，又A＝{x|x≤a}，A∪(?RB)＝R，所以a≥2.
答案　{a|a≥2}
14.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k解析　由题意得?UA＝{x|1又B∩?UA≠?，故B≠?，结合图形可知

解得0答案　{k|0
15.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩?UB＝(　　)
A.{3} B.{2，5}
C.{1，4，6} D.{2，3，5}
解析　由U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，3，4，6}，所以?UB＝{2，5}，故A∩?UB＝{2，5}.
答案　B
16已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则右图中阴影部分所表示的集合为(　　)
[来源:Z§xx§k.Com]
A.{1} B.{0，1}
C.{1，2} D.{0，1，2}
解析　题图中阴影部分所表示的集合为A∩?RB，因为A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，所以?RB＝{x|x<2}，所以A∩(?RB)＝{1}.
答案　A
17.已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∩B＝?，求a的取值范围.
解　由于A∩B＝?，A＝{x|2a≤x≤a＋3}.
(1)若A＝?，有2a>a＋3，∴a>3.
(2)若A≠?，如图所示，

则有解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是.


18.设全集U＝{x|x是小于等于20的素数}，A∩(?UB)＝{3，5}，(?UA)∩B＝{7，19}，(?UA)∩(?UB)＝{2，17}，求集合A，B.
解　∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，
由题意，利用Venn图如图所示：

∴集合A＝{3，5，11，13}，B＝{7，11，13，19}.

19.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，C＝{x|x2－x＋2m＝0}.若A∩C＝C，求实数m的取值范围.
解　由已知得，A＝{1，2}.因为A∩C＝C，所以C?A.
①当C＝?时，方程x2－x＋2m＝0无实数根，
因此其判别式Δ＝1－8m<0，即m>；
②当C≠?时，方程x2－x＋2m＝0有相同的实数根，即x＝1或x＝2，因此其判别式Δ＝1－8m＝0，解得m＝，代入方程x2－x＋2m＝0，解得x＝，此时A∩C＝?与A∩C＝C矛盾，显然m＝不符合要求；
③当C＝{1，2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个不相等的实数根1，2，而1＋2≠1，不符合一元二次方程中根与系数的关系.综上所述，m的取值范围为.
20.已知集合A＝{x|x2－4x－5≥0}，集合B＝{x|2a≤x≤a＋2}.
(1)若a＝－1，求A∩B和A∪B；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围.
解　(1)A＝{x|x≤－1或x≥5}，B＝{x|－2≤x≤1}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，
A∪B＝{x|x≤1或x≥5}.
(2)因为A∩B＝B，所以B?A.
①若B＝?，则2a>a＋2，得a>2；
②若B≠?，则或
所以a≤－3.
综上知，实数a的取值范围是{a|a>2或a≤－3}.

21.已知集合A＝{1，3，－x3}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(?AB)＝A？实数x若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由.
解　假设存在x，使B∪(?AB)＝A，∴B?A.
(1)若x＋2＝3，则x＝1符合题意.
(2)若x＋2＝－x3，则x＝－1不符合题意.
∴存在x＝1，使B∪(?AB)＝A，
此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}.
22.已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1)求A∪B，(?RA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围.
解　(1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2?RA＝{x|x<3或x≥7}，
从而(?RA)∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2
(2)如图所示，当a>3时，A∩C≠?.
23.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{x|x2＋px＋4＝0}.
若A?U，求?UA.
解　当A＝?时，方程x2＋px＋4＝0无实数解，
此时Δ＝p2－16<0，解得－4故?UA＝U＝{1，2，3，4，5}.
当A≠?时，方程x2＋px＋4＝0的两个根x1，x2必须都属于全集U.因为x1x2＝4，所以只可能有下述情形：[来源:学#科#网Z#X#X#K]
当x1＝x2＝2时，p＝－4，
此时A＝{2}，?UA＝{1，3，4，5}；
当x1＝1，x2＝4时，p＝－5，
此时A＝{1，4}，?UA＝{2，3，5}.
综上所述，当－4当p＝－4时，?UA＝{1，3，4，5}；
当p＝－5时，?UA＝{2，3，5}.

24.设全集U＝R，集合A＝{x|－51}，集合C＝{x|x－m<0}，求实数m的取值范围，使其满足下列两个条件：①C?(A∩B)；②C?(?UA)∩(?UB).
解　因为A＝{x|－51}，所以A∩B＝{x|1又C＝{x|x－5.因此同时满足条件①，②的实数m的取值范围为{m|m≥4}.



















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