1.3.1单调性与最大(小)值（单调性应用）学案

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学案 单调性应用

一、已知单调性求字母参数
例1、(1)．函数f（x）＝x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，在区间（﹣∞，﹣2）上是减函数，实数m的值等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣4



（2）如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是______


（3）若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围______



（4）若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是___



（5）已知函数f(x)＝(m≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m的取值范围是___



二、抽象函数单调性
例2、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求：（1）f(1)的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．






例3、设函数y＝f（x）是定义在上的函数，并且满足下面三个条件；①对任意正数x，y，都有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）＝﹣1．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明f（x）在是减函数；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2﹣x）＜2成立，求x的取值范围．






例4、已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x＞0时，f(x)＞－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.






例5、对任意x，y满足f（x+y）＝f（x）f（y），且f（x）恒不为0
（1）证明：f（x）＞0（2）当x＞0，f（x）＞1，证明凼数f（x）单调递增．


答案
例1、(1)解：∵函数f（x）＝x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上增函数，在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，∴直线x＝﹣2是函数的图象的对称轴即﹣2＝，解处m＝﹣4故选：D．
（2）答案　
解析　当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.

（3）f（x）＝＝＝；
若f（x）在（﹣2，+∞）上为增函数，根据反比例函数的单调性得：
1﹣2a＜0；∴；∴a的取值范围为：（，+∞）．
（4）答案：
解析：由题意知，解得所以a∈.
（5）答案　(－∞，0)∪(1,4]
解析　由题意可得4－mx≥0，x∈(0,1]恒成立，所以m≤min＝4.当00，解得1例2解析：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1.
由于当x>1时，f(x)<0，所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f()＝f(x1)－f(x2)得，f()＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
即f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
例3、解：（Ⅰ）令x＝y＝1易得f（1）＝0，
而f（9）＝f（3）+f（3）＝﹣1﹣1＝﹣2，
且．
（Ⅱ）取定义域中的任意的x1，x2
且
∴
∴f（x）在R+上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：，
由可（Ⅱ）得：
解得x的范围是．

例4、解析：　(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.
又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，
故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．
例5、解：（1）可得f（0）?f（0）＝f（0），
∵f（0）≠0，
∴f（0）＝1；
又对于任意x∈R，f（x）＝f（+）＝[f（）]2≥0，又f（）≠0，∴f（x）＞0，
（2）任取x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞1，可得f（x2﹣x1）＞1，
f（x2）＝f（x1）f（x2﹣x1）?f（x2）÷f（x1）＝f（x2﹣x1）＞1，
又f（x1+x1）＝f（x1）f（x1）＝f 2（x1）>0?f（x1）>0，
故有f（x2）＞f（x1）．
所以 f（x）是R上增函数．








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