1.3.1单调性与最大(小)值（函数的最值）学案

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学案 函数的最值

【知识要点】
1.函数最大值与最小值的含义
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
对于任意的，都有；
（2）存在，使得．
那么，我们称是函数的最大值（maximum value）.
仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimum value）的定义
2．求二次函数的最值时，应判断它的开口方向及对称轴与区间的关系．若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合．(如例1)
3．分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值．(如例3)
4.函数的最大(小)值反映在图象上，是函数图象__________的纵坐标．
5最值与值域的联系与区别（值域注意开闭）
6数形结合求最值（作图）

一、利用单调性求最值
例一、1.求函数y＝x2－12x＋20当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值，(1)x∈R；　(2)x∈[1，8]； (3)x∈[－1，1].


2.画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，求函数最小值．



变式1设函数。
（1）将f(x)写成分段函数，在给定坐标系中作出函数的图像；
（2）解不等式f（x）>5.








例二
1.求函数y=在区间[0,2]上的最值.


2.求函数y＝在区间[1,2]上的最大值和最小值．


3.判断函数y=在区间[2,4]上的最值.


4.判断函数在 [1，4]上的单调性并求其最值.



5.函数y＝－的值域为(　　)
A．(－∞，]　　　　　　　 B．(0，]
C．[，＋∞) D．[0，＋∞)


二、逆用求字母参数
例4．二次函数y=x2-2x-3在[a-1,a] 上的最大值是多少？




变式4．已知二次函数在上有最大值4，求实数的值．





答案
例一
1（1）当x=6时取最小，为-16
（2）当x=6时取最小，为-16
当x=1时取最大值，为9
（3）当x=1时取最小值，为9
当x=-1时取最大，为33
2单调减区间为（-，0）与[0，+）
在x=0处取最小值为-1
变式1

f（x）>5时，即可得x（-，-2）（3，+）
例二
1最大值为，最小值为-1.
2最大值为-，最小值为-4.
3最大值为，最小值为4-.
4单调性：在[1,2]上单调递减，在（2,4]上单调递增
在x=2处取最小为4，在x=1或4处取最大为5.
5 f（x）=，f（x）的定义域为[1，+），单调递减，所以值域为（0，].
例四
当a≤时，在x=a-1处取得最大值为
当a>时，在x=a处取最大值为

变式4． 或
解：此二次函数对称轴为x＝－1，结合图像知
（1）当时，

（2）当时，

综合（1）（2）得 或









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