1.3.2奇偶性 学案

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学案 函数的奇偶性
【知识要点】
1．函数奇偶性的概念（前提为定义域关于原点对称）
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内_____一个x，都有___________ ，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内_____一个x，都有____________ ，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2.奇、偶函数的图象特征（几何意义）
3.常见及复合函数奇偶性及证明
4.奇偶函数图像平移对称问题
(1)偶函数的图象关于____对称．(2)奇函数的图象关于_____对称．


类型一 函数奇偶性定义
例一 、判别下列函数的奇偶性：
； （2）； （3）； （4）；

（5）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （6）f(x)＝；

（7）+； （8）f（x）=+.


类型二 函数奇偶性应用
例二、 已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.




变式2：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.




类型三 解析式求解
例三、已知是奇函数，是偶函数，且，求、.



变式3 设在R上是奇函数，当x>0时，，则的表达式是什么？



当堂检测：
1. 对于定义域是R的任意奇函数有（ ）.
A． B．
C． D．
2. 已知是定义上的奇函数，且在上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．6
4.下列说法错误的是（ ）.
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数，又是偶函数
D.既不是奇函数，又不是偶函数
5.判断函数的奇偶性是 .
6.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 .
7.若，且，求.

答案：
例一
偶函数（2）非奇非偶（3）奇函数（4）非奇非偶
（5）偶函数（6）奇函数（7）非奇非偶（8）既奇既偶
例二
令<<0，则->->0所以，f（-x1）f（-x2）=-f（x2）.所以f（x1）>f（x2），又因为<<0。所以f（x）在定义上为减函数
变式2
令令b>a>0，则-b<-a<0 所以，f（b）f（-a）=-f（a）.所以f（-a）>f（-b），又因为-b<-a<0。所以f（x）在定义上为增函数
例三

因为且根据奇偶性可知，f(x）=-f（-x），g（x）=g（-x）
所以变为f（-x）-g（-x）=，代入变为-f（x）-g（x）=与原式联立可得：
f（x）=，g（x）=
变式3


当堂检测
1B 2C 3A 4B
5偶函数
6 增 最小值为-4
7因为，令g（x）= ax3+bx 可知g(x)为奇函数，所以g（-7）=12，所以g（7）=-12，所以f（7）=g（7）+5=-7















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