【备考2020】二轮复习专题三 三角函数性质（一） 学案

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高三专题3之三角函数及函数性质（一）
一、基础知识：
1、正弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：
（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数
（6）单调增区间：
单调减区间：
2、余弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数
（5）对称中心（零点）：
（6）单调增区间：
单调减区间：
3、正切函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称中心：
（5）零点：
（6）单调增区间：
注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值
4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴：
（5）零点：
（6）单调增区间：
单调减区间：
5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可
注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。
2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质
二、典型例题：
例1：函数 （ ）
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
思路：
单调递增区间：
单调递减区间：
符合条件的只有D
答案：D
例2：函数的一个单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
思路：先变形解析式，，再求出单调区间：，时，D选项符合要求
答案：D
例3：的递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
思路：在解函数性质之前首先把的系数变正：，再求其单调区间：，由于，所以区间等同于
答案：D
例4：已知函数，则下列关于函数性质判断正确的是（ ）
A. 最小正周期为，一个对称中心是
B. 最小正周期为，一个对称中心是
C. 最小正周期为，一个对称中心是
D. 最小正周期为，一个对称中心是
思路：
对称中心：
时，一个对称中心是
答案：A


例5：函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
思路：求单调区间可设，即，只需找到所满足的条件然后解出的范围即可。的取值需要满足两个条件，一是保证，二是取单调增的部分，所以可得：，即，解得：
答案：A
例6：设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 的最小正周期是
C. 图像关于点对称 D. 在区间上是增函数
思路：先判断的周期，可结合图像进行判断，可得：；对于对称轴，对称中心，单调区间，可考虑设，即，借助图像先写出所符合的条件，再求出的值（或范围）即可。
对称轴：，不是偶函数
对称中心：，关于点对称
单调增区间：

答案：C

例7：函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为（ ）
A. B. C. D.
思路：根据图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半
，所以间距为：
答案：B
例8：已知函数的图像关于直线对称，则的值为_______
思路一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：

因为关于直线对称，

思路二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意
答案：
例9：已知在单调递增，求的取值范围
思路：的图像可视为仅由放缩得到。，由在单调递增可得： ，即
答案：
例10：已知函数在区间上为增函数，且图像关于点对称，则的取值集合为______________
思路：的图像可视为的图像横坐标变为了，，则，因为在上单调增，所以，即；另一方面，的对称轴为，所以解得，再结合可得
答案：

















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