课件10张PPT。章末整合提升专题一三视图的应用 已知几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，需
先由三视图还原出直观图，再根据直观图求几何体的体积或表
面积．图 1
例 1：一个几何体的三视图如图 1，则这个几
何体的体积为________． 思维突破：由三视图可得，该几何体由一个正四棱柱和一
个正四棱锥组成，正四棱柱的底面边长为 1，高为 2，正四棱锥
的底面边长为 2 ，高为 1 ，故该几何体的体积 V ＝1×1×2 ＋ 1－1.如图 2，网格纸的小正方形的边长是 1，
在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_____.图 21－2.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 3，则其表面积等于__________.解析：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1 的正图 3专题二几何体体积或表面积的相关计算 例 2：如图 4，为了制作一个圆柱形灯笼，先
要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用 S 平方
米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(1)当圆柱底面半径 r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最
大值(结果精确到 0.01 平方米)；
(2)若要制作一个如图 4 放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，
请作出用于灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素).图 42－1.一个几何体的三视图如图 5，则这个几何体的体积为___.3图 5 2－2.已知四棱椎 P－ABCD 的底面是边长为 6
的正方形，侧棱 PA ⊥底面 ABCD，且 PA ＝8，则该四棱椎的体积是___.96课件13张PPT。第一章 空间几何体单元复习知识框架一、空间几何体的结构简单组合体二、空间几何体的三视图和直观图中心投影平行投影三、空间几何体的表面积和体积圆柱的侧面积：圆锥的侧面积：圆台的侧面积：球的表面积：柱体的体积：锥体的体积：台体的体积：球的体积： 例1 直角三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，绕三边旋转一周分别形成三个几何体.说明它们的结构特征，画出其直观图和三视图，并求出它们的表面积和体积.综合应用 例2 有一个几何体由8个面围成，每一个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一个平面内，ABCD是边长为30cm的正方形.说明这个几何体的结构特征，画出其直观图和三视图，并求出它的表面积和体积.两个共底四棱锥俯视图 例3 一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升）？ 151000毫升 例4 有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？ V≈2956（mm3）=2.956（cm3） 5.8×100÷7.8×2.956≈252（个） 作业：
P36复习参考题A组：6，7.
P37复习参考题B组：2，4.习题课 空间几何体
【课时目标】 熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体积与表面积计算．
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式．
2．空间几何体的表面积和体积公式．
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝________
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝________
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝_________
____________
球
S＝________
V＝πR3
一、选择题
1．圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是( )
A．S B．πS C．2πS D．4πS
2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A． B． C．1 D．2
3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )
A．280 B．292 C．360 D．372
5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )
A． B． C． D．
6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是( )
A．96 B．16 C．24 D．48
二、填空题
7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．
8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3．
9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm．
三、解答题
10．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
11．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．
能力提升
12．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m3．
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝ ，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．
1．空间几何体是高考必考的知识点之一，重点考查空间几何体的三视图和体积、表面积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积，更是近几年高考的热点．
其中组合体的体积和表面积有加强的趋势，但难度也不会太大，解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力，由三视图得到正确立体图，进行准确计算．
2．“展”是化折为直，化曲为平，把立体几何问题转化为平面几何问题，多用于研究线面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等．
习题课 空间几何体 答案
知识梳理
1．2πrl πrl π(r＋r′)l
2．Sh Sh (S上＋S下＋)h 4πR2
作业设计
1．B [设圆柱底面半径为r，则S＝4r2，
S侧＝2πr·2r＝4πr2＝πS．]
2．C [由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和，三棱柱的高为，所以该几何体的体积V＝×1××＝1．]
3．C [当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为．]
4．C [由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360．]
5．C [连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为，则八面体的体积为V＝2××(a)2·＝．]
6．D [由πR3＝，得R＝2．
∴正三棱柱的高h＝4．
设其底面边长为a，
则·a＝2，∴a＝4．
∴V＝(4)2·4＝48．]
7．
解析 该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥，下面是底面边长为1、高为2的正四棱柱的组合体，其体积为
V＝1×1×2＋×22×1＝．
8．144
解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台＝(82＋42＋)×3＝112，V正四棱柱＝4×4×2＝32，故V＝112＋32＝144．
9．4
解析 设球的半径为r cm，则πr2×8＋πr3×3
＝πr2×6r．解得r＝4．
10．解 (1)如图所示．
(2)所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥
＝4×4×6－××2＝ (cm3)．
11．解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1．2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1．2－2r)＝πr2＋2．4πr－4πr2＝－3πr2＋2．4πr＝－3π(r2－0．8r)＝－3π(r－0．4)2＋0．48π．
∴当r＝0．4时，S有最大值0．48π，约为1．51平方米．
(2)若灯笼底面半径为0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图如图．
12．4
解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V＝××3×4×2＝4 m3．
13．5
解析
将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图．
连接A1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD⊥C1D于D点，△BCC1为等腰直角三角形，
∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7．
∴A1C＝＝＝5 ．
第一章 章末检测（A）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列几何体是台体的是( )
2．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥组合体 D．无法确定
3．如图所示，下列三视图表示的几何体是( )
A．圆台 B．棱锥 C．圆锥 D．圆柱
4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为( )
A． B． C． D．
6．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台
7．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上( )
A．快、新、乐 B．乐、新、快
C．新、乐、快 D．乐、快、新
8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
9．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A．120° B．150° C．180° D．240°
10．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( )
A．R B．2R C．3R D．4R
11．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为( )
A．48＋12 B．48＋24
C．36＋12 D．36＋24
12．若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是( )
A．9π B．9 C．3π D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．
14．等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为________．
15．设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．
16．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
18．(12分)如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个正方形．
(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；
(2)求这个几何体的体积．
19．(12分)等边三角形ABC的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少？
20．(12分)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
21．(12分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S＝2πrl，其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长．现已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
22．(12分)养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第一章 空间几何体(A) 答案
1．D 2．A 3．A 4．C
5．D [原图与其直观图的面积比为4∶，所以＝，所以S原＝．]
6．D [∵EH∥A1D1，
∴EH∥B1C1，
∴EH∥平面BB1C1C．由线面平行性质，EH∥FG．
同理EF∥GH．且B1C1⊥面EB1F．
由直棱柱定义知几何体B1EF－C1HG为直三棱柱，
∴四边形EFGH为矩形，Ω为五棱柱．故选D．]
7．A
8．C [
如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2．
∴A1O1＝，A1O＝R＝．
∴S球＝4πR2＝24π．]
9．C [S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，
即：2πr2＝πrl，得2r＝l．设侧面展开图的圆心角为θ，
则＝2πr，
∴θ＝180°．]
10．D
11．A [
棱锥的直观图如图，
则有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，
得PD＝5，AB＝6，全面积为×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选A．]
12．C
13．－
解析 设圆柱桶的底面半径为R，
高为h，油桶直立时油面的高度为x，
则h＝πR2x，所以＝－．
14．πa3
解析
如图，正三角形ABC中，AB＝a，高AD＝a，
∴V＝πAD2·CB＝π·2·a＝πa3．
15．28
16．2
解析 由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1－ABCD)，还原在正方体中，如图所示．
多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，
由正方体棱长AB＝2知最长棱的长为2．
17．解 由三视图可知：
该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体，上半部分是半径为1 m的半球．
(1)几何体的表面积为
S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m2)．
(2)几何体的体积为
V＝23＋××π×13＝8＋(m3)．
18．解 (1)直观图如图．
(2)这个几何体是一个四棱锥．
它的底面边长为2，高为，
所以体积V＝×22×＝．
19．解 下图(1)为折叠前对照图，下图(2)为折叠后空间图形．
∵平面APQ⊥平面PBCQ，
又∵AR⊥PQ，
∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．
在Rt△BRD中，
BR2＝BD2＋RD2＝2＋2，
AR2＝x2．
故d2＝BR2＋AR2＝2x2－ax＋a2
＝22＋a2，
∴当x＝a时，d2取得最小值a2．
20．解 S表面＝S圆台底面＋S圆台侧面＋S圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2
＝(4＋60)π．
V＝V圆台－V圆锥＝π(r＋r1r2＋r)h－πrh′
＝π(25＋10＋4)×4－π×4×2＝π．
21．解 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)．
设所求圆柱的底面半径为r，它的侧面积S圆柱侧＝2πrx．
因为＝，所以r＝R－·x．
所以S圆柱侧＝2πRx－·x2．
(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值．
这时圆柱的高x＝．
故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．
22．解 (1)如果按方案一，仓库的底面直径变为16 m，则仓库的体积
V1＝Sh＝×π×()2×4＝(m3)．
如果按方案二，仓库的高变为8 m，则仓库的体积
V2＝Sh＝×π×()2×8＝＝96(m3)．
(2)如果按方案一，仓库的底面直径变为16 m，半径为8 m，棱锥的母线长为
l＝＝4(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×4＝32π(m2)，
如果按方案二，仓库的高变为8 m．
棱锥的母线长为l＝＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π(m2)．
(3)∵V2>V1，S2第一章 章末检测（B）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是( )
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
3．下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．0 B．9 C．快 D．乐
5．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是( )
A．6 B．3 C．6 D．12
6．下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )
A．梯形 B．菱形
C．平行四边形 D．四边形
7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )
8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为( )
A．12 B．36
C．27 D．6
9．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中( )
A．AB∥CD B．AB∥平面CD
C．CD∥GH D．AB∥GH
10．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )
A． B．
C．1 D．
11．如图所示，正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
12．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是( )
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知A、B、C、D四点在同一个球面上，AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，若AB＝6，AC＝2，AD＝8，则B、C两点间的球面距离是________．
14．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
15．下列有关棱柱的说法：
①棱柱的所有的面都是平的；
②棱柱的所有的棱长都相等；
③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；
④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；
⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．
其中正确的有________．(填序号)
16．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分) 画出如图所示的四边形OABC的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)
18．(12分)已知四棱锥P－ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．
19．(12分) 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长．
20．(12分) 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：
(1)该几何体的体积V；
(2)该几何体的侧面积S．
21．(12分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h1，且水面高是锥体高的，即h1＝h，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求h2的大小．
22．(12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：(1)AD应取多长？(2)容器的容积．
第一章 空间几何体(B) 答案
1．D
2．A
[由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，
AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，
∴V＝SA×(AB＋CD)×AD＝×2××(2＋4)×2＝4，故选A．]
3．C 4．B
5．D [△OAB为直角三角形，两直角边分别为4和6，S＝12．]
6．D [四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．]
7．A
8．B [由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为3，所以正三角形边长为6，所以V＝×36×4＝36，故选B．]
9．C [
原正方体如图，由图可得CD∥GH，C正确．]
10．D [设上，下底半径分别为r1，r2，
过高中点的圆面半径为r0，由题意
得r2＝4r1，r0＝r1，∴＝＝．]
11．C [根据正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴AC＝a．在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又AC＝a，
∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝a2．]
12．A [当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故选A．]
13．π
解析
如图所示，由条件可知AB⊥BD，AC⊥CD．由此可知AD为该球的直径，设AD的中点为O，则O为球心，连接OB、OC，由AB＝6，AD＝8，AC＝2，得球的半径OB＝OC＝OA＝OD＝4，BC＝＝＝4，所以球心角∠BOC＝60°，所以B、C两点间的球面距离为R＝π．
14．27π
解析 若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d等于正方体的体对角线的长．
∵棱长为3，∴d＝ ＝3 ?R＝．
∴S＝4πR2＝27π．
15．①④⑤
16．①与④，②与⑥，③与⑤
解析 将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对．
17．解 直观图如下图所示．
(1)画轴：在直观图中画出x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2)确定A′，B′，C′三点，在x′轴上取B′使O′B′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y′轴的平行线，过(0,2)，(0，－1)两点作x′轴的平行线，得交点A′，C′．
(3)顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，C′O′并擦去辅助线，就得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′．
18．解 由三视图知底面ABCD为矩形，
AB＝2，BC＝4．
顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，
则体积VP－ABCD＝SABCD×PE＝×2×4×2＝．
19．解 (1)正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为＝．
(2)
如图所示，将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
设PC＝x，则P1C＝x．
在Rt△MAP1中，
在勾股定理得(3＋x)2＋22＝29，
求得x＝2．
∴PC＝P1C＝2．
∵＝＝，
∴NC＝．
20．解
由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．
由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，
由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC．
∴PM＝＝＝5，
PN＝＝＝4．
(1)V＝Sh＝×(8×6)×4＝64．
(2)S侧＝2S△PAB＋2S△PBC＝AB·PM＋BC·PN＝8×5＋6×4＝40＋24．
21．解 当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r，水的体积为：
V＝πr2h－π2·h＝πr2h．
当锥顶向下时，设水面圆半径为r′，
则V＝π·r′2·h2．
又r′＝，
此时V＝π··h2＝，
∴＝πr2h，
∴h2＝h，
即所求h2的值为h．
22．解
(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，
AD＝x，则OD＝72－x，由题意得
，∴．
即AD应取36 cm．
(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，
圆台的高h＝
＝＝6．
∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)
＝π·6·(122＋12×6＋62)
＝504π(cm3)．
章末检测
一、选择题
1．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是 ( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥组合体 D．无法确定
1题图 2题图
2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是 ( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②
3．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是
( )
4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
4题图 5题图
5．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是 ( )
A．等腰梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
6．如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ( )
A．6 B．9 C．12 D．18
8．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π C．4π D．6π
9．如图所示，则这个几何体的体积等于 ( )
A．4 B．6 C．8 D．12
10．将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为选项图中的 ( )
11．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )
A．120° B．150° C．180° D．240°
12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱
⑤圆锥 ⑥圆柱
14．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm3.
15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．
16.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．
三、解答题
17．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
18．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图如图．
(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；
(2)求这个几何体的体积．
19. 如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
20. 如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：(1)AD的长；(2)容器的容积．
答案
1．A 2.B 3.D 4．C 5．B 6．D 7.B 8.B 9．A 10．A 11．C 12．A
13．①②③⑤
14．1 15.24π
16.－
17．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体，上半部分是半径为1 m的半球．
(1)几何体的表面积为S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m2)．
(2)几何体的体积为V＝23＋××π×13＝8＋(m3)．
18．解 (1)直观图如图．
(2)这个几何体是一个四棱锥．
它的底面边长为2，高为，
所以体积V＝×22×＝.
19．解 S表面＝S圆台底面＋S圆台侧面＋S圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2
＝(4＋60)π.
V＝V圆台－V圆锥
＝π(r＋r1r2＋r)h－πrh′
＝π(25＋10＋4)×4－π×4×2
＝π.
20．解 (1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，
则OD＝72－x，由题意得
，∴.
即AD应取36 cm.
(2)∵2πr＝·OD＝·36，
∴r＝6 cm，
圆台的高h＝＝＝6.
∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π·6·(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．
