课件30张PPT。1.2.3 平行投影和中心投影摄影作品汽车设计图纸问题提出 1.照相、绘画之所以有空间视觉效果，主要处决于线条、明暗和色彩，其中对线条画法的基本原理是一个几何问题，我们需要学习这方面的知识. 2.在建筑、机械等工程中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，你想知道这方面的基础知识吗？知识探究（一）：中心投影与平行投影 光是直线传播的,一个不透明物体在光的照射下,在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.思考1:不同的光源发出的光线是有差异的,其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？思考2:我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？ 中心投影平行投影思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？正投影斜投影思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？手影表演手影表演知识小结投影平行投影中心投影斜投影正投影画法几何与蒙日画法几何
画法几何（descriptive geometry），研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科。1103年，中国宋代的李诫著有《营造法式》，其中的建筑图基本上符合几何规则，但在当时未形成画法的理论。1799年，法国的G.蒙日发表 《画法几何》一书，提出用多面正投影图来表达空间形体，从而为画法几何奠定了理论基础。以后各国学者又在投影变换、轴测图及其他方面不断提出新的理论和方法，使这门学科日趋完善。 画法几何的基础是投影法，源于光线照射空间形体后在平面上留下阴影这一物理现象。形成投影的要素有投影线、物体和投影面。投影方法分为中心投影法（所有投影线均经过某一投影中心点）和平行投影法（所有投影线均互相平行）。采用中心投影法可以画出透视图，采用平行投影法可以画出轴测图，这两种图的立体感都较好。平行投影法根据投影线是否垂直于投影面又可分为正投影法和斜投影法。其中用正投影法将空间形体投影到水平投影面上并在相应点、线的投影旁加注其到投影面高度数值的图称为标高投影图。通常为显示形体的立体形象，建筑工程中常用透视图，机械工程中常用轴测图，而在地形测量、水利、土木、地质和采矿等工程中则常用标高投影图。透视图、轴测图和标高投影图都是单面投影图。由于空间形体具有长、宽、高3个方向的形状大小，而其投影只反映了两个方向的形状大小，为全面和确切地描述空间形体，须采用多面正投影图（用空间形体的几个正投影联合表达其形状和位置的图）。知识探究（二）：柱、锥、台、球的三视图 把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形. 但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面从不同的角度看建筑问题1:要很好地描绘这幢房子，需要从哪些方向去看？问题2:如果要建造房子，你是工程师，需要给施工员提供哪几种图纸？（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，叫做几何体的正视图； （2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，叫做几何体的俯视图； （4）几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.三视图 正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的哪三个角度观察得到的几何体的正投影图？它们都是平面图形还是空间图形？ 俯视图正视图侧视图 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正视图的的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样．正视图侧视图俯视图 如图，圆柱的正视图和侧视图都是长方形，俯视图是圆。圆柱的三视图圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？正视图侧视图俯视图圆锥的三视图旋转体的正侧视图一样正视图侧视图俯视图圆锥的三视图 一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？正俯等长,正侧等高, 侧俯等宽.aabbcc高平齐长对正，高平齐，宽相等例1.下图所示的长方体和圆柱三视图是否正确?理论迁移理论迁移 例2.如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同.正视正视能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 例3:请根据视图说出立体图形的名称,并画出立体图形.(长方体)(四棱锥)正视图俯视图左视图指出下面三个平面图形是右面这个物体的三视图中的哪个视图。课堂练习作业:
P15练习：1，2，3.1.2.3空间几何体的直观图
【教学目标】
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。
【教学重难点】
教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
教学难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
【教学过程】
（一）情景导入
1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱
把实物圆柱放在讲台上让学生画。
2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标
这也是我们今天要学习的主要内容:
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。
（三）检查预习
1．表示空间图形的 ，叫做空间图形的直观图。
2．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成 于轴、轴或轴的线段。平行于轴和轴的线段，在直观图中长度 ；平行于轴的线段，长度变为原来的 。
3．斜二测画法是一种特殊的 投影画法。
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗？
（四）合作探究
用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。
（五）交流展示
略
（六）精讲精练
例1. 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解
分析:画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
变式训练1:根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。
例2.用斜二测画法画水平放置的圆的直观图
分析:教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。
教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。
变式训练2:探求空间几何体的直观图的画法
用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。
（七）反馈测评
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把、、轴画成对应的、、，做与的度数分别为（ ）
A． B． C． D．或
2．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是（ ）
A．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变
B．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的
C．画与直角坐标系对应的时，必须是
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
3．两条相交直线的平行投影是（ ）
A．两条相交直线 B．一条直线
C．一条折线 D．两条相交直线或一条直线
4．下列叙述中正确的个数是（ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。
A．0 B．1 C．2 D．3
【板书设计】
一、空间图形的直观图
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
1.2.2空间几何体的直观图
课前预习学案
一、预习目标
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
二、预习内容
1．表示空间图形的 ，叫做空间图形的直观图。
2．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成 于轴、轴或轴的线段。平行于轴和轴的线段，在直观图中长度 ；平行于轴的线段，长度变为原来的 。
3．斜二测画法是一种特殊的 投影画法。
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗？
三、提出疑惑
1．利用斜二测画法叙述正确的是（ ）
A．正三角形的直观图是正三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．矩形的直观图是矩形 D．圆的直观图一定是圆
2．下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
C．两个全等三角形的直观图一定也全等
D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形是全等三角形
3．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm，若AB//轴，则画出直观图后对应的线段 ，若轴，则画出直观图后对应的线段= 。
4．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则AB边上的中线的实际长度为 。
课内探究学案
一、学习目标
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。
学习重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
学习难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
二、学习过程
(一) 掌握直观图的斜二测画法及步骤
探究: 直观图的斜二测画法及步骤
组内讨论,自我展示.
(二)精讲点拨、有效训练
例1. 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解
变式训练:根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，独立完成后，组内讨论
例2.用斜二测画法画水平放置的圆的直观图
变式训练:探求空间几何体的直观图的画法
用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
三、反思总结
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。
四、当堂检测
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把、、轴画成对应的、、，做与的度数分别为（ ）
A． B． C． D．或
2．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是（ ）
A．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变
B．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的
C．画与直角坐标系对应的时，必须是
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
3．两条相交直线的平行投影是（ ）
A．两条相交直线 B．一条直线
C．一条折线 D．两条相交直线或一条直线
4．下列叙述中正确的个数是（ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。
A．0 B．1 C．2 D．3
课后练习与提高
1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．64 C．16或64 D．都不对
2．一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．都不对
3．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
4．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。
以上结论中，正确的是 。
5．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点的直观图中对应点是，则点的找法是 。
6．根据图中所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状。
空间几何体的直观图
（一）数学目标
1．知识与技能
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.
（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点.
2．过程与方法
学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.
3．情感态度与价值观
（1）提高空间想象力与直观感受.
（2）体会对比在学习中的作用.
（3）感受几何作图在生产活动中的应用.
（二）教学重点、难点
重点、难点：用斜二测面法画空间几何值的直观图.
（三）教学方法
在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件的具体准确逐步演示，使学生熟练掌握并归纳斜二测画法去画直棱柱的基本步骤.
教学环节
数学内容
师生互动
设计意图
创设情境
三视图用三个角度的正棱影图反映空间几何体的形状和大小，我们能否将空间图形用一个平面图形来表示呢？
学生讨论发现能，如教材图1.1—2如图1.1—10.
师：这些平面图形既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们称这种图形为立体图形的直观图.
设疑激趣点出主题
探索新知
1．水平放置的平面图形的直观图的画法.
（1）例1 用斜二测法画水平放置的正六边形的直观图.
画法：（1）如图（1），在正方边开ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′ = 45°.
（2）在图（2）中，以O′为中点，在x′ 轴上取A′D′=AD，在y′ 轴上取M′ N ′ =MN. 以点N ′ 为中点，画B′C′ 平行于x′ 轴，并且等于BC；再以M ′为中点，画E′F′平行于x′ 轴，并且等于EF.
（3）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′ 轴和y′ 轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图（3））
2） 斜二测画法基本步骤.
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平表示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
教师用多媒体课件边演示边讲解.
学生观察、思考、归纳
师：从以上演示我们可以发现画一个水平放置的平面多边形直观图的关键是什么？
生：确定多边形顶点的位置.
师：请大家尝试归纳平面多边形直观图的基本步骤.
生：①选取恰当的坐标系.
②画平行线段，截取长度
③依次连结各顶点成图（老师板书）
师：有哪些注意事项
生1：平行于x轴，y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴.
生2：原图中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变平行于y轴的线段长度，为原来的一半.
师在连虚实线的使用等方面予以补充.
多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.
2．简单几何体的直观图画法
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm的长方体ABCD – A′B′C′D′的直观图.
画法：（1）画轴. 如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.
（2）画底面. 以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN = 4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ =cm. 分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
（3）画侧棱. 过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段A′A，B′B，C′C，D′D.
（4）成图，顺次连接A，B，C，D，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图.
师：下面我们体会一下，用斜二测画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD、A′B′C′D′的直观图的画法.
教师边演示边讲解，学生边观察，边思考，边总结.
师：请大家归纳一下，直棱柱的直观图画法.
生：①画轴 ②画底画 ③画侧棱 ④成图
师：有什么注意事项吗？
生1：竖直方面保持平行关系和长度关系不变.
生2：被遮的部分用虚线.
多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.
3．简单组合体画法
例3 已知几何体的三视图说出它的结构特征，并用斜二测画法画它的直观图.
画法：（1）画轴. 如图(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90°.
（2）画圆的柱的下底面. 在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA = OB. 选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.
（3）在Oz上截取点O′，使OO′ 等于正视图中OO′ 的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
（4）画圆锥的顶点. 在Oz上截取点P，使PO′ 等于正视图中相应的高度.
（5）成图. 连接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图.（如图(2)）
画轴的下底面.
学生讨论然后简答.
生1：这个几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆柱上底面与圆锥底面相重合.
生2：我们可以先画出上部的圆锥.
师给予肯定然后点拔注意事项.
前后联系加强知识的系统性.
随堂练习
1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）：
（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形.
答案：略
2．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）角的水平放置的直观图一定是角. （ √ ）
（2）相等的角在直观图中仍然相等. （ × ）
（3）相等的线段在直观图中仍然相等. （ × ）
（4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行. （ √ ）
3．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图是三角形.
②平行四边形的直观图是平行四边形.
③正方形的直观图是正方形.
④菱形的直观图是菱形.
以上结论，正确的是（ A ）
A．①② B．①
C．③④ D．①②③④
4．用斜二测画法画出五棱锥P – ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中心O（尺寸自定）.
答案：略
学生独立完成
巩固所学知识
归纳总结
1．平面图形斜二测画法.
2．简单几何体斜二测画法.
3．简单组合斜二测画法.
4．注意事项.
学生归纳，然后老师补充、完善
前后联系加强知识的系统性
作业
1.2 第二课时 习案
学生独立完成
巩固知识
提升能力
备用例题
例1 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.
【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图.
【解析】（1）如图1所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，对点O与y轴垂直的是x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴，与x轴分别交于点G、H. 画对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′ = 45°.
（2）如图2所示：以点O′为中点，在x′轴上取G′H′ = GH，分别过G′、H′，在x′轴的上方，作G′B′∥y′轴，使G′B′ =；作H′E′∥y′轴，使H′E′ =；在y′轴的点O′上方取O′A′ =OA，在点O′下方取O′F′ =OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′ = CD.
（3）连结A′B′、B′C′、D′E′、E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图3所示.
1 2 3
【评析】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点.
例2 已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm. 用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.
【解析】（1）画轴. 以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.
（2）画下底面. 以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF = AB = 6cm，在y轴上取线段GH，使得GH =AB，再过G、H分别作AB EF，CD EF，且使得CD的中点为H，AB的中点为G，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.
（3）画上底面. 在z轴上截取线段OO1 = 4cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′ = 45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.
（3）再连结AA1、BB1、CC1、DD1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图2）.
【评析】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解.
例3 如右图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图. 若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1 =C1D1 = 2，A1D1 = O′D1 = 1. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.
【解析】如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取OD=O′D1=1，OC=O′C 1=2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1 = 2.
连接BC，即得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB = 2，CD = 3，直角腰长度为AD = 2.
所以面积为= 5.
【评析】给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力. 画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y′轴的为垂直.
课件27张PPT。1.2.3空间几何体的直观图一、几何体的直观图 一、几何体的直观图 一、几何体的直观图 一、几何体的直观图 怎样才能画好物体的直观图呢？ 思考例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形
的直观图.例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形
的直观图.xyABCDEFOGH例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形
的直观图.xyABCDEFOGH例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形
的直观图.y例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形
的直观图.xyABCDEFOGH例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形
的直观图.斜二测画法的关键步骤. 思考xyABCDEFOGH⑴ 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，
两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画
对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O' ，且使∠x'O'y' ＝45o（或135o），它们确定的平面表示水平面.斜二测画法⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，
在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴
的线段；斜二测画法斜二测画法⑶ 已知图形中平行于x轴的线段，在直
观图中保持原长度不变；平行于y轴的
线段，长度为原来的一半．⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，
在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴
的线段；练习1 根据斜二测画法，画出水平放置
的正五边形的直观图. 练习1 根据斜二测画法，画出水平放置
的正五边形的直观图. 练习1 根据斜二测画法，画出水平放置
的正五边形的直观图. 例2 用斜二测画法画水平放置的圆的
直观图.播放动画例3 用斜二测画法画长、宽、高分别是
4cm、3cm、2cm的
长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.二、探求空间几何体的直观图的画法思考: 请说出下列三视图表示的几何体，
并用斜二测画法画出它的直观图. 正
视
图侧
视
图俯
视
图 观察图1.2-15，请同学们比较:在
平行投影下画空间图形与在中心投影
下画空间图形各有什么特点?三、平行投影与中心投影图1.2-15练习2教材P.19练习第1题第(1)问、2、3、4题课 堂 小 结1. 平面图形的斜二测画法的关键与
步骤；课 堂 小 结1. 平面图形的斜二测画法的关键与
步骤；
2. 简单几何体的斜二测画法；课 堂 小 结1. 平面图形的斜二测画法的关键与
步骤；
2. 简单几何体的斜二测画法；
3. 简单组合体的斜二测画法；课 堂 小 结1. 平面图形的斜二测画法的关键与
步骤；
2. 简单几何体的斜二测画法；
3. 简单组合体的斜二测画法；
4. 注意的几点.课 后 作 业2. 《习案》第四课时.1．课外思考教材P.19探究(1)(2)；1.2.3 空间几何体的直观图
【课时目标】 1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．3．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．
用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
(1)在已知图形中取互相________的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．
一、选择题
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有( )
A．①② B．①④
C．③④ D．①③④
2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )
A．等腰梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )
6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )
A．＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
二、填空题
7．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．(填序号)
8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．
9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为____．
三、解答题
10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
能力提升
12．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
直观图与原图形的关系
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍．
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
1．2．3 空间几何体的直观图 答案
知识梳理
(1)垂直 (2)平行 (3)不变 一半
作业设计
1．B [由斜二测画法的规则判断．]
2．B
3．A [
根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝2，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．]
4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．]
5．C
6．D [如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋，AD＝1，所以SABCD＝2＋．
图1 图2]
7．①②
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
8．2．5
解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．
9．
解析
画出直观图，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝．
10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．
11．解 (1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm．
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
12．解 先画出正三角形ABC，
然后再画出它的水平放置的直观图，
如图所示．由斜二测画法规则知
B′C′＝a，O′A′＝a．
过A′引A′M⊥x′轴，
垂足为M，
则A′M＝O′A′·sin 45°＝a×＝a．
∴S△A′B′C′＝B′C′·A′M＝a×a
＝a2．
13．
解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2．
1.2.3 空间几何体的直观图
一、基础过关
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有 ( )
A．①② B．①④ C．③④ D．①③④
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于 ( )
A．45° B．135° C．90° D．45°或135°
3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是 ( )
4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ( )
5．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．(填序号)
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．
7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．
8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
二、能力提升
9．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是 ( )
A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm
10．如图所示的是水平放置的△ABC在直角坐标系的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
12．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
三、探究与拓展
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
答案
1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.5
7．解 设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.
过C′作C′D′⊥O′A′于D′，
则C′D′＝h.
由题意知C′D′(C′B′＋O′A′)＝S.
即h(C′B′＋O′A′)＝S.
又原直角梯形面积为S′＝·2h(C′B′＋O′A′)
＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S.
所以梯形OABC的面积为2S.
8．解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.
9．A 10.2 11.
12．解 画法：步骤：
(1)如图a所示，在梯形ABCD中，
以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，
建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，
画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在图b中，
在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，
A′E′＝AE＝≈2.598 cm；
过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75 cm，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
13．解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′
＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
