课件16张PPT。1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积提出问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．引入新课 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？探究 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图侧面展开正棱锥的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的展开图侧面展开正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． 例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ． 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，所以： 交BC于点D．解：先求 的面积，过点S作 ，典型例题因此，四面体S-ABC 的表面积为 ．圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ．圆台的侧面展开图是扇环三者之间关系 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？ 例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取3.14，结果精确到1 ）？ 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：答：花盆的表面积约是999 ．典型例题柱体、锥体、台体的表面积知识小结 圆台圆柱圆锥作业：
P32 习题1.3A组 1，2，5第二课时 柱体、锥体、台体的体积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）
（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.
（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.
3．情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
（二）教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的体积计算.
难点：简单组合体的体积计算.
（三）教学方法
讲练结合
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.
教师设问，学生回忆
师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积.
复习巩固
点出主题
探索新知
柱体、锥体、台体的体积
1．柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱体 = Sh (S是底面积，h为柱体高)
V锥体 =(S是底面积，h为锥体高)
V台体 =(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)
2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？
生：V = Sh (S为底面面积，h为高)
师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S为底面面积，h为高)
师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). 锥体的体积公式都是V = (S为底面面积，h为高)
师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.
生：锥体体积同底等高的柱体体积的.
师：台体的结构特征是什么？
生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分.
师：台体的体积大家可以怎样求？
生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差.
师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式
V =
其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)
师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？
生：令S′=0，得到锥体体积公式.
令S′=S，得到柱体体积公式.
柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高.
因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路.
培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.
典例分析
例1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14，可用计算器)？
解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即
≈2956 (mm3) = 2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)
答：这堆螺帽大约有252个.
师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？
生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
学生分析，教师板书过程.
师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等.
空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.
典例分析
例2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.
【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h = 2r，
∵S = S侧 + 2S底 = 2 +，∴.
∴内接正四棱柱的底面边长a=2r sin45°=.
∴V = S底·h =
= 4·，
即圆柱的内接正四棱柱的体积为.
教师投影例2并读题
师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用S表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.
生：取内接正四棱柱的对角面.
师：有什么好处？
生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量.
学生分析，教师板书过程.
师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.
旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.
随堂练习
1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.
答案：2325 cm2.
2．正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？
答案：.
学生独立完成
培养学生理解能力，空间想象能力.
归纳总结
1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.
2．简单组合体体积的计算.
3．等积变换
学生归纳，教师补充完善.
巩固所学，提高自我整合知识能力.
课后作业
1.3 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备用例题
例1：三棱柱ABC – A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2 = 7:5 .
【分析】不妨设V1对应的几何体AEF – A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的；V2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示.
【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V = V1 + V2 = Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点
∴.
∴V1:V2 = 7:5.
【评析】本题求不规则的几何体C1B1—EBCF的体积时，是通过计算棱柱ABC—A1B1C1和棱台AEF—A1B1C1的体积的差来求得的.
例2：一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(=3.14)
【解析】因为圆锥形铅锤的体积为
(cm3)
设水面下降的高底为x，则小圆柱的体积为(20÷2)2x = 100x (cm3)
所以有60=100x，解此方程得x = 0.6 (cm).
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.
1. 3.2 球的体积和表面积
【教学目标】
（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】
重点：球的体积和面积公式的实际应用
难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【教学过程】
一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。
教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2
二、典例
例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm3）
求空心钢球的体积 。
解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式
解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm3)
由V=(4/3) π(53-r3)得r=4(cm)
点评：初步应用球的体积公式
变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________()
例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。 （答案：2500π）
解析：利用轴截面解决
解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x则R2=x2+202,R2=(x+9)2+72
解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π
点评：数形结合解决实际问题
变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，
则这个球的表面积是 。 （答案50π）
【板书设计】
一、球的面积和体积公式
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】P30 1、2
1.3.2 球的体积和表面积
课前预习学案
预习目标：记忆球的体积、表面积公式
预习内容：1.3.2课本内容思考：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来 表示球的体积和面积
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一．学习目标：应用球的体积与表面积公式的解决实际问题
学习重点：球的体积和面积公式的实际应用
学习难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。
二．学习过程：教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。
教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2
例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm3）
求空心钢球的体积 。
变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________
例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。
变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，
则这个球的表面积是 。
课后练习与提高
一．选择题
将气球的半径扩大1倍，它的体积增大到原来的（）倍
A2 B4 C8 D16
2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A.16π B.20π C.24π D.32π
3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍.
二．填空题
4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.
5.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________..
三．解答题
6. 图5是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？
图5
课件22张PPT。1.3.2 球的体积
和表面积复习引入OABCR1．球的概念讲授新课OABCR1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．讲授新课OABCR1．球的概念 定点叫做球心，
定长叫做球的半径． 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．讲授新课OABCR1．球的概念 定点叫做球心，
定长叫做球的半径． 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球． 与定点距离等
于定长的点的集合
叫做球面．讲授新课OABCR1．球的概念 定点叫做球心，
定长叫做球的半径． 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球． 与定点距离等
于定长的点的集合
叫做球面．讲授新课2. 球的表面积半径是R的球的表面积是2. 球的表面积半径是R的球的表面积是S＝4?R2半径是R的球的体积是3. 球的体积半径是R的球的体积是3. 球的体积例1 有一种空心钢球， 质量为142g，
测得外径等于5.0cm， 求它的内径
(钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．例2 圆柱的底面直径与高都等于球
的直径.
(1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.练习1. 教科书P.28 练习 第1、3题练习1. 教科书P.28 练习 第1、3题2. 教科书P.28 练习 第2题 一个正方体的
顶点都在球面上，
它的棱长是a cm，
求球的体积．练习1. 教科书P.28 练习 第1、3题2. 教科书P.28 练习 第2题 一个正方体的
顶点都在球面上，
它的棱长是a cm，
求球的体积．⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a，则⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a，则a⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a，则a⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a，则a课堂小结1. 球的表面积公式；
2. 球的体积公式；
3. 球的表面积公式与
体积公式的应用.课后作业2. 《习案》第七课时.1．阅读教材P.27到P.28；
1.3.2 球的体积和表面积
【课时目标】 1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝________．
一、选择题
1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A． B．
C． D．
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )
A．2倍 B．2倍
C．倍 D．倍
3．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )
A．1∶ B．1∶3
C．1∶3 D．1∶9
4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶4∶7
5．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )
A．25π B．50π
C．125π D．以上都不对
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( )
A．4∶9 B．9∶4
C．4∶27 D．27∶4
二、填空题
7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．
8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．
9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．
三、解答题
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
能力提升
12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则( )
A．以上四个图形都是正确的
B．只有(2)(4)是正确的
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．
1．3．2 球的体积和表面积 答案
知识梳理
1．4πR2 4 2．πR3
作业设计
1．A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝r，再由体积公式求得体积比为．]
2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到原来的2倍．]
3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a．]
4．C [由表面积之比得到半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶∶，从而得体积之比为V1∶V2∶V3＝1∶2∶3．]
5．B [外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝(a、b、c分别是长、宽、高)．]
6．A [设球半径为r，圆锥的高为h，则π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9．]
7．4
解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR地球＝8，故R地球＝(万里)，所以火星的半径为万里，其大圆的周长为4万里．
8．3 cm
解析 设球的半径为r，则36π＝πr3，可得r＝3 cm．
9．(1)球 (2)球
解析 设正方体的棱长为a，球的半径为r．
(1)当6a2＝4πr2时，V球＝πr3＝a3>a3＝V正方体；
(2)当a3＝πr3时，S球＝4πr2＝6a2<6a2＝S正方体．
10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须
V圆锥≥V半球，V半球＝×πr3＝×π×43，
V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h．
依题意：π×42×h≥×π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝πr，
当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8 cm时，
制造的杯子最省材料．
11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π·(h)2·h＝πh3，由V＝V′，得h＝r．
即容器中水的深度为r．
12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．]
13．解 设正方体的棱长为a．如图所示．
①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2．
②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2．
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝a，
r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2．
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．
第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
一、基础过关
1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的时，它的体积是原来的 ( )
A. B. C. D.
2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( )
A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1
3．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为 ( )
A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2
4．若球的体积与表面积相等，则球的半径是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________ cm.
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为______ cm3.
7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．
8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．
二、能力提升
9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )
A．24π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3
C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确
10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为 ( )
A．2π，6π B．3π，5π
C．4π，6π D．2π，4π
11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.
12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
三、探究与拓展
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
答案
1．C 2.A 3.B 4.C 5.3 6．6
7．(1)球 (2)球
8．解 ∵PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体．
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．
∴2R＝a，R＝a，
∴V＝πR3＝π(a)3＝πa3.
9．A 10.A 11.9π＋18
12．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，
而将球取出后，设容器内水的深度为h，
则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是
V′＝π·(h)2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r.
即容器中水的深度为r.
13．解 设正方体的棱长为a.如图所示．
(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，
所以有2r1＝a，
r1＝，
所以S1＝4πr＝πa2.
(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，
过球心作正方体的对角面得截面，
2r2＝a，r2＝a，
所以S2＝4πr＝2πa2.
(3)中正方体的各个顶点在球面上，
过球心作正方体的对角面得截面，
所以有2r3＝a，r3＝a，
所以S3＝4πr＝3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
