课件18张PPT。1.3.1 柱体、锥体、台体，球体的体积 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，h为高）．柱体体积圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ．圆锥体积（其中S为底面面积，h为高） 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 ． 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的 ．即棱锥的体积：锥体体积台体体积 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)．根据台体的特征，如何求台体的体积？棱台（圆台）的体积公式 其中 ， 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为柱体高S分别为上、下底面面积，h 为台体高S为底面面积，h为锥体高台体体积 例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是
）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:答：这堆螺帽大约有252个．典型例题 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？问题一实际问题 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？问题二实际问题球的体积球的表面积例4：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.球的体积 例5 某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）． 解：由于外径为50cm的钢球的质量为： 街心花园中钢球的质量为145000g，而145000<517054，所以钢球是空心的．球的表面积 例5 某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）． 解： 设球的内径是2xcm，那么球的质量为： 答：钢球是空心的．其内径约为45cm． 例6 如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1)？ 解：圆柱形物体的侧面面积半球形物体的表面积为答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．球的表面积(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 倍.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 .练习随堂练习 影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径. 柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体知识小结球的体积球的表面积作业
P32 习题1.3A组 3，4
B组 1第一课时 柱体、锥体、台体的表面积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.
3．情感、态度与价值观
通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.
（二）教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.
难点：展开图与空间几何体的转化.
（三）教学方法
学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？
学生先思考讨论，然后回答.
学生：将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图
则即所求.
师：(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积.
情境生动，激发热情教师顺势带出主题.
探索新知
1．空间多面体的展开图与表面积的计算.
（1）探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.
（2）已知棱长为a，各面均为等边三角形S – ABC (图1.3—2)，求它的表面积.
解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC = a，
∴.
∴四面体S – ABC的表面积
.
师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？
生：相等.
师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.
生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.
师：（肯定）棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？
……
生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.
师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.
师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.
师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.
生：由于四面体S – ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.
学生分析，教师板书解答过程.
让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.
推而广之，培养探索意识会
探索新知
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导
S圆柱 = 2r (r + 1)
S圆锥 = r (r + 1)
S圆台 = (r12 + r2 + r1l + rl )
（2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系
（3）例题分析
例2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？
分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.
解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积
≈1000(cm2) = 0.1(m2).
涂100个花盆需油漆：0.1×100×100 =1000(毫升).
答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.
师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？
生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.
师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？
师：打出投影片（教材图1.3.3和图1.3—4）
生1：圆柱的底面积为，侧面面积为，因此，圆柱的表面积：
生2：圆锥的底面积为，侧面积为，因此，圆锥的表面积：
师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧 =
所以它的表面积为
现在请大家研究这三个表面积公式的关系.
学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.
师：下面我们共同解决一个实际问题.
（师放投影片，并读题）
师：本题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积.
生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书)
让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.
用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.
随堂练习
1．练习圆锥的表面积为a cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.
2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形. 电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10 000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）
答案：1． m；
2．1.74千克.
学生独立完成
归纳总结
1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.
2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系.
学生总结，老师补充、完善
作业
1.3 第一课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备用例题
例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.
【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.
【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD = c，AC = d，则
由（1）得，由（2）得，代入（3）得，
∴，∴.
∴S侧 =.
例2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.
【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.
设底面边长为a，则，∴a = 4.
∴正三棱柱的表面积为
S = S侧 + 2S底 = 3×4×2 + 2×
(mm2).
例3 有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm）
【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.
由题意知，BC=10cm，AB = 2cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
∴AC =(cm).
所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.
【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm. 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？
【分析】 问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.
【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，
EE1=
=
∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.
∴S正棱台侧 = = （mm2）
答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
【教学目标】
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】
教学重点：运用公式解决问题
教学难点：理解计算公式的由来.
【教学过程】
（一）情景导入
讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？
讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？
那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标
这也是我们今天要学习的主要内容:
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习
1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。
2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、
、 、 。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于 。
（四）合作探究
面积探究:
讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
体积探究:
讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？
五）交流展示
略
（六）精讲精练
1. 教学表面积计算公式的推导：
① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
② 练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1)
2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其
中为圆锥底面半径，为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.
例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。
解：设圆锥的母线长为，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为，即，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆柱的底面半径为，根据勾股定理，圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式得
变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为
2. 教学柱锥台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）
② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
→给出柱体体积计算公式： （S为底面面积，h为柱体的高）→
③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？
④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？
→给出锥体的体积计算公式： S为底面面积，h为高）
⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
⑥ 给出台体的体积公式： （S，分别上、下底面积，h为高）
→ （r、R分别为圆台上底、下底半径）
⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？
公式记忆：
例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为
答案：A
变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为
答案：D
（七）反馈测评
1．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:6 D．1:8
分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，将三棱锥转化为三棱锥，这样三棱锥与三棱锥的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。
答案：B
【板书设计】
一、柱体、锥体、台体的表面积与体积
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
课前预习学案
一、预习目标
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
二、预习内容
1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。
2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、
、 、 。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于 。
三、提出疑惑
1．利用斜二测画法叙述正确的是（ ）
1．一个长方体的三个面的面积分别为，则这个长方体的体积为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ）
A．2 B． C． D．8
3．长、宽、高分别为的长方体的表面积S= 。
4．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为，则这个圆台的体积V= 。
课内探究学案
一、学习目标
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
学习重点：运用公式解决问题
学习难点：理解计算公式的由来.
二、学习过程
（一）台体、柱体面积问题探究:
讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
（二）台体、柱体体积探究:
讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？
方法：组内讨论,自我展示.
(二)精讲点拨、有效训练
1. 教学表面积计算公式的推导：
讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其
中为圆锥底面半径，为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.
例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。
变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2. 教学柱锥台的体积计算公式：
给出台体的体积公式： （S，分别上、下底面积，h为高）
→ （r、R分别为圆台上底、下底半径）
探究：比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？
公式记忆：
例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
三、反思总结
S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
S=， S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。
S=，S=.
四、当堂检测
1．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:6 D．1:8
课后练习与提高
1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
4．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的 倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的 倍。
5．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是 。
6．右图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点。现在沿所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？
参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 4 16 5. S/2
6. 解：设正方体的棱长淡，则正方体的体积为
三棱锥的底面是，即为，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以所以的面积为又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以所以锯掉的部分的体积为
又因，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的
课件25张PPT。1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 在初中已经学过正方体和长方体
的表面积，你知道正方体和长方体的
展开图的面积与其表面积的关系吗？复 习 引 入 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面
图形围成的几何体，它们的展开图是什
么？如何计算它们的表面积？探 究讲 授 新 课 正六棱柱的侧面展开图是什么？
如何计算它的表面积？棱柱的展开图 正六棱柱的侧面展开图是什么？
如何计算它的表面积？棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图ha 正五棱锥的侧面展开图是什么？
如何计算它的表面积？棱锥的展开图 正五棱锥的侧面展开图是什么？
如何计算它的表面积？正棱锥的侧面展开图h'h'侧面展开棱锥的展开图 正四棱台的侧面展开图是什么？
如何计算它的表面积？棱台的展开图 正四棱台的侧面展开图是什么？
如何计算它的表面积？正棱台的侧面展开图侧面展开棱台的展开图h'h' 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面
图形围成的几何体，它们的侧面展开图
还是平面图形，计算它们的表面积就是
计算它的各个侧面面积和底面面积之和．播放动画例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形
的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCASa练习
粉碎机的上料斗是正四棱台形(上、下
底面是正方形，侧面为全等的等腰梯形)，
它的上、下底面边长分别为
80mm、440mm，高是200mm，
计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积. 圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想
象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积圆台的侧面展开图是扇环OO' 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想
象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积圆台的侧面展开图是扇环OO' 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想
象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积播放动画例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为
20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水
圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15 cm．
那么花盆的表面积约是多少平方厘米？练习2. 一个圆台，上、下底面半径分别为
10、20，母线与底面的夹角为60°，
求圆台的表面积. 2. 一个圆台，上、下底面半径分别为
10、20，母线与底面的夹角为60°，
求圆台的表面积. 变式 求切割之前的圆锥的表面积.练习4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，
其面积为 ，求这个圆锥的表面积.5. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周
所得几何体的表面积是多少？3. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长
为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求
其表面积.练习课 后 作 业2. 《习案》第五课时.1．阅读教材P.23到P.27；课件26张PPT。1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积
计算公式？复习引入r'＝rr'＝0 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积
计算公式？OO'r'rllO'O复习引入柱体、锥体、台体
的表面积各面面积之和展开图圆
台圆
柱圆
锥r'＝0r＝r'2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6，底面
边长为4，求其表面积. 2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6，底面
边长为4，求其表面积. 3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥
的体积计算公式？ 讲授新课①讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的
体积关系？讲授新课①讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的
体积关系？②根据正方体、长方体、圆柱的体积
公式，推测柱体的体积计算公式？①讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的
体积关系？②根据正方体、长方体、圆柱的体积
公式，推测柱体的体积计算公式？(S为底面面积，h为柱体的高)讲授新课③讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间
的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥
之间的体积关系？③讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间
的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥
之间的体积关系？④根据圆锥的体积公式，推测锥体的体
积计算公式？③讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间
的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥
之间的体积关系？④根据圆锥的体积公式，推测锥体的体
积计算公式？(S为底面面积，h为高)⑤讨论：台体的上底面积S'，下底面积S，
高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
⑤讨论：台体的上底面积S'，下底面积S，
高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？⑤讨论：台体的上底面积S'，下底面积S，
高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？(S， S'分别上、下底面积，h为高)⑤讨论：台体的上底面积S'，下底面积S，
高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？(S， S'分别上、下底面积，h为高)⑥台体的体积公式如何用上下底面半径
及高表示?⑤讨论：台体的上底面积S'，下底面积S，
高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？⑥台体的体积公式如何用上下底面半径
及高表示?(S， S'分别上、下底面积，h为高) (r、R分别为圆台上底、下底半径)例 一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg，
底面六边形，边长12mm，内空直径
10mm，高10mm，估算这堆螺帽多
少个？(铁的密度7.8g/cm3)练习1. 将若干毫升水倒入底面半径为2cm的
圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；
若将这些水倒入轴截面是正三角形的
倒圆锥形容器中，求水面的高度.练习1. 将若干毫升水倒入底面半径为2cm的
圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；
若将这些水倒入轴截面是正三角形的
倒圆锥形容器中，求水面的高度.2. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，
它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.3.若正方体的全面积增为原来的2倍，
那么它的体积增为原来的 ( )A．2倍 B．4倍 练习3.若正方体的全面积增为原来的2倍，
那么它的体积增为原来的 ( )A．2倍 B．4倍 练习D4.圆柱的侧面展开图是边长为
6?和4?的矩形，则其圆柱的
体积为 .练习4.圆柱的侧面展开图是边长为
6?和4?的矩形，则其圆柱的
体积为 .练习36?2或24?2课堂小结 柱锥台的体积公式及相关关系；
公式实际运用.课后作业2. 《习案》第六课时.1．阅读教材P.23到P.27；§1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．
1．旋转体的表面积
名称
图形
公式
圆柱
底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝________
表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥
底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝________
表面积：S＝________
圆台
上底面面积：
S上底＝____________
下底面面积：
S下底＝____________
侧面积：S侧＝__________
表面积：
S＝________________
2．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h．
一、选择题
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
A．8 B． C． D．
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )
A． B． C． D．
3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于( )
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )
A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2
5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )
A．24π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3
C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确
6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )
A．7＋ B．＋ C．7＋ D．
二、填空题
7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
8．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm3．
9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
三、解答题
10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)
11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
能力提升
12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．
1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh．
4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．
§1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
答案
知识梳理
1．πr2 2πrl πr2 πrl πr(r＋l) πr′2 πr2 π(r′＋r)l
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2．(1)Sh (2)Sh
作业设计
1．B [易知2πr＝4，则2r＝，
所以轴截面面积＝×2＝．]
2．A [设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，全面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为：．]
3．A [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则2πr＝πl，则l＝r，所以
A＝πr2＋πr2＝πr2，B＝πr2，得A∶B＝11∶8．]
4．B [以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πb2a，以长为b的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πa2b．]
5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm2,12π cm3．]
6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，，表面积S表面＝2S底＋S侧面＝(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋)×1＝7＋．]
7．3
解析 由题意知，
圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，
即2πr×3＝2πr2，所以r＝3．
8．或
解析 (1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝，
所以V＝π·2·8＝(cm3)．
(2)8为底面圆周长，则2πr＝8，所以r＝，
所以V＝π·2·12＝ (cm3)．
9． cm3
解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，
V＝Sh＝ cm3．
10．解
如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
∴S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2．
h＝＝＝10，
V＝πh(r＋r1r2＋r)
＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π (cm3)．
即圆台的表面积为1 100π cm2，体积为π cm3．
11．
解 如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12．
连接OE、O1E1，则OE＝AB
＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3．
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－O1E1＝6－3＝3．
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32
＝32×42＋32＝32×17，
所以E1E＝3．
所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E
＝2×(12＋6)×3＝108．
12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋．]
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1．
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S表＝2S下＋S侧
＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36．
∴该几何体的表面积为36．
§1.3 空间几何体的表面积与体积
第1课时 柱体、锥体、台体的表面积
一、基础过关
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
A．8 B. C. D.
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为 ( )
A. B. C. D.
3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于 ( )
A．6 B．6π C．3π D．6π
4．三视图如图所示的几何体的全面积是 ( )
A．7＋ B.＋ C．7＋ D.
5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．
6．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为________cm2.
7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
8．长方体ABCD—A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值．
二、能力提升
9．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于 ( )
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
10．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 ( )
A．372 B．360 C．292 D．280
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
12．有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
三、探究与拓展
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．
答案
1．B 2．A 3．C 4.A 5.60° 6.12 800 7.2
8．解 把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.
由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为.
9．A 10．B
11．38
12．解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．
AC＝＝5π cm，
故铁丝的最短长度为5π cm.
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1.
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S表＝2S下＋S侧
＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.
∴该几何体的表面积为36.
