课件21张PPT。2．1 空间点、直线、平面之间
的位置关系 2.1.1 平 面问题提出2.空间中，点、直线、平面之间有哪些基本位置关系？我们将从理论进行分析和探究.平面知识探究(一): 平面的概念、画法及表示思考1:生活中有许多物体通常呈平 面形，你能列举一些实例吗？ 思考2:将一条线段向两端无限伸展得到的图形是什么？将课桌面、平静的水面、田径场地面向四周无限伸展得到的图形是什么？ 思考4:我们不可能把一条直线或一个平面全部画在纸上，在作图时通常用一条线段表示直线，你认为用一个什么图形表示平面比较合适？ 思考3:直线是否有长短、粗细之分？平面是否有大小、厚薄之别？思考5:我们常常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的2倍.下列平行四边形表示的平面的大致位置如何？思考6:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如平面α α平面ABCD或平面AC
或平面BD思考7:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l上”,“点A在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？ 思考8:如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，否则，就说直线l在平面α外. 那么“直线l在平面α内”，“直线l在平面α外”， 用集合符号可怎样表示？知识探究（二）：平面的基本性质1思考1:如果直线l与平面α有一个公共点P，那么直线l是否在平面α内? 思考2:如图，设直线l与平面α有一个公共点A，点B为直线l上另一个点，当点B逐渐与平面α靠近时，直线l上其余各点与平面α的位置关系如何变化？．思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线l上其余各点与平面α的位置关系如何？由此可得什么结论？公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.思考4：公理1如何用符号语言表述？它有什么理论作用？知识探究（三）：平面的基本性质2 思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？经过三点、四点可以作多少个平面？ 思考2:照相机，测量仪等器材的支架为何要做成三脚架？思考3:经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 思考4:公理2可简述为“不共线的三点确定一个平面”， 它有什么理论作用？ 知识探究（四）:平面的基本性质3 思考2:如果两条不重合
的直线有公共点，则其
公共点只有一个.如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？思考3:根据上述分析可得什么结论？ 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 思考5:你能说一说公理3有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据. 思考4:若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.平面α与平面β相交于直线l，可记作 ，那么公理3用符号语言可怎样表述?理论迁移例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
判断下列命题是否正确，并说明理由.
（1）直线AC1在平面A1B1C1D1内；
（2）设正方体上、下底面中心分别为 O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
（3）由点A，O，C可以确定一个平面；（4）平面AB1C1与平面AC1D重合.
（1）直线AC1在平面A1B1C1D1内；
（2）设正方体上、下底面中心分别为 O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交 线为OO1；
（3）由点A，O，C可以确定一个平面；（4）平面AB1C1与平面AC1D重合.例2 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
作业:
P43练习：1，2， 3（做书上）， 4.
P51习题2.1A组：1，2.
2. 1.1 平面
【教学目标】
1.使学生掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理，
2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系。
【教学重难点】
教学重点：三个公理的教学是重点。
教学难点：公理的理解与运用是难点。
【教学过程】
1．提问：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？
2．新课
（1）、生活中的平面
生活中的一些物体通常呈平面形，如课桌面、黑板面、海面都是平面，几何里说
的平面（plane）是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面限延展的。
（2）、平面的画法与表示法
常常把水平的平面画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍
平面表示：平面通常用α、β、γ写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β、平面γ，也可以用平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD，或平面AC或平面BD。
如果一个平面被另一个平面遮住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如右图。
平面内有无数个点，平面可以看成是点的集合，点P在平面α内，记作P∈α，点Q在平面α外，记作Qα。
（3）、公理1
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
此公理可以判断直线是否在平面内。
点动成线、线动成面。直线、平面都可以看成点的集合。点P在直线l上，记作P∈l，点P在直线l外，记作Pl。如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作lα；否则，就说直线l在平面α外，记作lα。
公理1也可以表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα
（4）、公理2
三脚架可以声支撑照相机或测量用的平板仪或电子琴，自行车前后轮胎及支架。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（补充3个推论）：
推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
（5）、公理3
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
P∈α∩βα∩β＝l，且P∈l
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
解析：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系
解：左边的图中，
α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。
右边的图中，
α∩β＝l，aα，bβ，
a∩l=P，b∩l=P。
点评：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系
变式1：用符号表示下列语句
点A在平面α内，点B在平面α外 (A∈α, Bα)
直线l经过平面α外的一点M ( Mα, M∈l)
例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？
解析：结合实物做出解答
解：不共面的四点可以确定4个平面（如三棱锥）
共点的三条直线可以确定1个或3个平面
点评：发展学生思维
变式2：判断正误
1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（√）
2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（√）
【板书设计】
一、平面的三个公理
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】 教材P52 1、2
2.1.1 平面
课前预习学案
一.预习目标：点线面间的关系、符号表示
二.预习内容：2.1.1课本内容思考：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一．学习目标：应用公理及推论判断点线面间的关系
二．学习过程
1.点线面 的位置关系及符号表示
2.平面的画法与表示法
3．公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（补充3个推论）：
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
变式1：用符号表示下列语句
点A在平面α内，点B在平面α外 (A∈α, Bα)
（2）直线l经过平面α外的一点M ( Mα, M∈l)
例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？
变式2：判断正误
1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（√）
2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（√）
课后练习与提高
一．选择题
空间中ABCDE五点中，ABCD在同一平面内，BCDE在同一平面内，那么这五点（）
A共面 B不一定共面C不共面D以上都不对
若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c的位置关系是（）
A相交、平行或异面 B相交或平行C异面D平行或异面
3.空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点是PQR，PQ=3，QR=4，PR=5，那么异面直线AC、BD所成的角是（） A900 B600 C450 D300
二．填空题
4.在空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH为________
5.直线a、b不在平面α内，a、b在平面α内的射影是两条平行线，则a、b的位置关系是______
三．解答题
6. 完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A(a，D(a，B(b，E(c
求证：BD和AE是异面直线
证明：假设__ 共面于(，则点A、E、B、D都在平面__内
(A(a，D(a，∴__(γ. (P(a，∴P(__.
(P(b，B(b，P(c，E(c ∴__((，__((，这与____矛盾 ∴BD、AE__________
第一课时 平 面
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值观
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
难点：平面基本性质的掌握与运用.
（三）教学方法
师生共同讨论法
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题.
培养学生感性认识
探索新知
1．平面的概念
随堂练习 判定下列命题是否正确：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50m，宽是20m；
④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.
师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？
生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确.
加深学生对平面概念的理解.
探索新知
2．平面的画法及表示
（1）平面的画法
通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.
（2）平面的表示
法1：平面，平面.
法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.
（3）点与平面的关系
平面内有无数个点，平面可看成点的集合. 点A在平面内，记作：A. 点B在平面外，记作：B.
师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)
师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？
生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.
师：大家画一下.
学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)
加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力.
探索新知
3．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（1）公理1的图形如图
（2）符号表示为：
（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.
（1）公理2的图形如图
（2）符号表示为：C 直线AB 存在惟一的平面，
使得
注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.
“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”
（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
（1）公理3的图形如图
（2）符号表示为：
（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.
师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.
生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.
师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）
师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.
直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P l；如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l，记作l，否则就说直线l在平面外，记作.
下面请同学们用符号表示公理1.
学生板书，教师点评并完善.
大家回忆一下几点可以确定一条直线
生：两点可确定一条直线.
师：那么几点可以确定上个平面呢？
学生思考，讨论然后回答.
生1：三点可确定一个平面
师：不需要附加条件吗？
生2：还需要三点不共线
师：这个结论就是我们要讨论的公理2
师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.
师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.
生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.
师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.
通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.
加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.
学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.
典例分析
例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.
分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.
解：在（1）中，，，.
在（2）中，，，，，.
学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评
巩固所学知识
随堂练习
1．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？
（2）共点的三条直线可以确定几个平面？
3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点. （ ）
（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
（ ）
（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面. （ ）
（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （ ）
4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A在平面内，但点B在平面外；
（2）直线a经过平面外的一点M；
（3）直线a既在平面内，又在平面内.
学生独立完成
答案：
1．D
2．（1）不共面的四点可确定4个平面.
（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.
3．（1）×（2）√（3）√（4）√
4．（1）A，B.
（2）M，M.
（3）a，a.
巩固所学知识
归纳总结
1．平面的概念，画法及表示方法.
2．平面的性质及其作用
3．符号表示
4．注意事项
学生归纳、总结教学、补充完善.
回顾、反思、归纳知识，提升自我整合知识的能力，培养思维严谨性固化知识，提升能力.
课后作业
2.1第一课时 习案
学生独立完成
备选例题
例1 已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，
但A(d，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．
同理可证bα，cα．
∴a，b，c，d在同一平面α内．
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
又 H，K∈c，∴cα．
同理可证dα．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
例2 正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线.
分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可.
解答：如图所示A1A∥C1C确定平面A1C
A1C平面A1C
又O∈A1C
平面BC1D∩直线A1C = O
O∈平面BC1D
O在平面A1C与平面BC1D的交线上.
AC∩BD = MM∈平面BC1D
且M∈平面A1C
平面BC1D∩平面A1C = C1M
O∈C1M，即O、C1、M三点共线.
评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.
课件88张PPT。2.1.1 平面一、平面及其表示法1. 平面的概念：1. 平面的概念：1. 平面的概念：1. 平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果.2. 平面的特征：2. 平面的特征： 平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面
在空间是无限延伸的.3. 平面的画法：3. 平面的画法：(1)水平放置的平面：3. 平面的画法：?(1)水平放置的平面：3. 平面的画法：?(1)水平放置的平面：(2)垂直放置的平面：3. 平面的画法：?(1)水平放置的平面：(2)垂直放置的平面：?3. 平面的画法：? 通常把表示平面的平行四边形的锐角画成45o.(1)水平放置的平面：(2)垂直放置的平面：?3. 平面的画法：(3)在画图时，如果图形的一部分被另一
部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，
也可以不画.3. 平面的画法：(3)在画图时，如果图形的一部分被另一
部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，
也可以不画.3. 平面的画法：(3)在画图时，如果图形的一部分被另一
部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，
也可以不画.3. 平面的画法：?? 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.4. 平面的表示方法：如 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.4. 平面的表示方法：如 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.4. 平面的表示方法：如 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.4. 平面的表示方法：如 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.4. 平面的表示方法：如例1. 画出两个竖直放置的相交平面.5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：(1)点与直线的位置关系：5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：(1)点与直线的位置关系：Aa5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：(1)点与直线的位置关系：Aa5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：(1)点与直线的位置关系：记为A∈a.Aa5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：(1)点与直线的位置关系：记为A∈a.AaB5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：点B不在直线a上：(1)点与直线的位置关系：记为A∈a.AaB5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：点B不在直线a上：(1)点与直线的位置关系：记为A∈a.记为B?a.AaB5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：点B不在直线a上：(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：记为A∈a.记为B?a.AaB5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：点B不在直线a上：(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：记为A∈a.记为B?a.AAaB5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：点B不在直线a上：点A在平面?上：(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：记为A∈a.记为B?a.AAaB5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：点B不在直线a上：点A在平面?上：(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：记为A∈a.记为B?a.记为A∈?.AAaB5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：点B不在直线a上：点A在平面?上：(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：记为A∈a.记为B?a.记为A∈?.ABAaB5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：点B不在直线a上：点A在平面?上：点B不在平面?上：(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：记为A∈a.记为B?a.记为A∈?.ABAaB5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系： 点A在直线a上：点B不在直线a上：点A在平面?上：点B不在平面?上：(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：记为A∈a.记为B?a.记为A∈?.记为B??.ABAaB例2. 把下列语句用集合符号表示，并画
出直观图.
(1) 点A在平面?内，点B不在平面?内，
点A，B都在直线a上；
(2) 平面?与平面?相交于直线m，直线a
在平面?内且平行于直线m.例2. 把下列语句用集合符号表示，并画
出直观图.
(1) 点A在平面?内，点B不在平面?内，
点A，B都在直线a上；
(2) 平面?与平面?相交于直线m，直线a
在平面?内且平行于直线m.ABa?例2. 把下列语句用集合符号表示，并画
出直观图.
(1) 点A在平面?内，点B不在平面?内，
点A，B都在直线a上；
(2) 平面?与平面?相交于直线m，直线a
在平面?内且平行于直线m.??maABa?例3. 把下列图形中的点、线、面关系用
集合符号表示出来.l??aBAl??aBA二、平面的基本性质桌面?AB观察下图，你能得到什么结论？桌面?AB观察下图，你能得到什么结论？ 公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).桌面?AB观察下图，你能得到什么结论？ 公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内). 公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内). 公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内). 公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).文字语言：图形语言：符号语言： 公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).文字语言：图形语言：符号语言：公理1是判断直线是否在平面内的依据.观察下图，你能得到什么结论？BCABCABCA观察下图，你能得到什么结论？ 公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.BCABCA观察下图，你能得到什么结论？文字语言：文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.文字语言：图形语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.文字语言：图形语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.文字语言：图形语言：符号语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.文字语言：图形语言：符号语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.文字语言：图形语言：符号语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.公理2是确定一个平面的依据.天花板?墙面?墙面?观察下图，你能得到什么结论？P天花板?墙面?墙面?观察下图，你能得到什么结论？观察下图，你能得到什么结论？P天花板?墙面?墙面? 公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.P天花板?墙面?墙面?观察下图，你能得到什么结论？文字语言：文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.文字语言：图形语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.文字语言：图形语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.文字语言：图形语言：符号语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.文字语言：图形语言：符号语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.文字语言：图形语言：符号语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.公理3是判定两个平面是否相交的依据.(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面?，则a??.
(4) 平面?与平面?相交，它们只有有限个例4. 判断下列命题是否正确:( )(1) 经过三点确定一个平面. ( )( )( )公共点.(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面?，则a??.
(4) 平面?与平面?相交，它们只有有限个例4. 判断下列命题是否正确:( )(1) 经过三点确定一个平面. ( )( )( )公共点.(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面?，则a??.
(4) 平面?与平面?相交，它们只有有限个例4. 判断下列命题是否正确:( )(1) 经过三点确定一个平面. ( )( )( )公共点.(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面?，则a??.
(4) 平面?与平面?相交，它们只有有限个例4. 判断下列命题是否正确:( )(1) 经过三点确定一个平面. ( )( )( )公共点.(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面?，则a??.
(4) 平面?与平面?相交，它们只有有限个例4. 判断下列命题是否正确:( )(1) 经过三点确定一个平面. ( )( )( )公共点.(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面?，则a??.
(4) 平面?与平面?相交，它们只有有限个例4. 判断下列命题是否正确:( )(1) 经过三点确定一个平面. ( )( )( )练习 课本P.43练习第1、2、3、4题公共点.公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一
个平面.公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一
个平面.AClB公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一
个平面.推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.AClB公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一
个平面.推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.ACBl练习：根据下列条件作图：
(1) A∈?，a??，A∈a；
(2) a ??，b??，c??，且a∩b＝A，
b∩c＝B，c∩a=C.1. 平面的概念，画法及表示方法；
2. 平面的性质及其作用；
3. 符号表示.课堂小结1. 复习本节课内容；
2. 预习：同一平面内的两条直线有几种
位置关系？
3. 作业：《习案》第八课时.课后作业第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
【课时目标】 掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．
1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么________________在此平面内．
符号：________________________________．
2．公理2：过________________________________的三点，________________一个平面．
3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．
符号：________________________________．
4．用符号语言表示下列语句：
(1)点A在平面α内但在平面β外：______________．
(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________．
(3)直线l在面α内也在面β内：____________．
(4)平面α内的两条直线M、n相交于A：________________________．
一、选择题
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作( )
A．M∈b∈β B．M∈b?β
C．M?b?β D．M?b∈β
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合
5．空间中可以确定一个平面的条件是( )
A．两条直线 B．一点和一直线
C．一个三角形 D．三个点
6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有( )
A．2个或3个 B．4个或3个
C．1个或3个 D．1个或4个
二、填空题
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)Aα，a?α________．
(2)α∩β＝a，PD/∈α且Pβ________．
(3)a?α，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知α∩β＝M，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为________．
9．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
能力提升
12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．
求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；
(3)CE、D1F、DA三线共点．
1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1．1 平 面
答案
知识梳理
1．两点 这条直线 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
2．不在一条直线上 有且只有
3．一个 一条 P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
4．(1)A∈α，A?β (2)A∈α，B?α且A∈l，B∈l (3)l?α且l?β (4)M?α，n?α且M∩n＝A
作业设计
1．A [由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A．]
2．B 3．D
4．C [∵A∈α，A∈β，
∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．]
5．C
6．D [四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]
7．(1)C (2)D (3)A (4)B
8．A∈M
解析 因为α∩β＝M，A∈a?α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上．
9．③
10．解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
12．证明
∵l1?β，l2?β，l1l2，
∴l1∩l2交于一点，记交点为P．
∵P∈l1?β，P∈l2?γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B．
∵A1B∥CD1，
∴EF∥CD1．
∴E、C、D1、F四点共面．
(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．
又∵EF＝A1B．
∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．
则P∈D1F?平面ADD1A1，P∈CE?平面ADCB．
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D1F、DA三线共点．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
一、基础过关
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 ( )
A．三角形 B．菱形
C．梯形 D．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是 ( )
A．两条直线 B．一点和一条直线
C．一个三角形 D．三个点
4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有 ( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．
6．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
7．如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
8．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．
二、能力提升
9．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是 ( )
A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定
10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是 ( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合
11．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
12. 如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
三、探究与拓展
13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面．
答案
1．A 2.D 3.C 4.D
5．0
6．A∈m
7. 解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
即点S在交线上，
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的
交线．
8．证明 ∵l1?β，l2?β，l1D∥l2，
∴l1、l2交于一点，记交点为P.
∵P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
9．C 10.C
11．③
12．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面．
