课件32张PPT。2.1.2空间中直线与直线
之间的位置关系 公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).文字语言：图形语言：符号语言：公理1是判断直线是否在平面内的依据.公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一
个平面.推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.ACBl文字语言：图形语言：符号语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.公理3是判定两个平面是否相交的依据.平面公理31. 下列四个命题中，正确的是( )
A. 四边形一定是平面图形
B. 空间的三个点确定一个平面
C. 梯形一定是平面图形
D. 六边形一定是平面图形
E. 三角形一定是平面图形练习1. 下列四个命题中，正确的是( )
A. 四边形一定是平面图形
B. 空间的三个点确定一个平面
C. 梯形一定是平面图形
D. 六边形一定是平面图形
E. 三角形一定是平面图形C、E练习2. 空间四边形ABCD中，E、F、G、H
分别是AB、BC、CD、DA上的点，已
知EH和FG交于P点，求证: EH、FG、
BD三线共点.练习AEFBHDGCP问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？讲授新课问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同
一平面内吗？定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.空间两直线的位置关系：(1) 从公共点的数目来看可分为：①有且只有一个公共点，则两直线相交②没有公共点，则两直线平行两直线为异面直线(2) 从平面的性质来讲，可分为：①在同一平面内两直线平行两直线相交②不在同一平面内，则两直线为异面直线.结论：不同在任何一个平面内的两条直线
为异面直线.定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.没有只有一个没有共面不共面共面平行相交异面位置关系公共点个数是否共面立交桥A1B1C1D1CBDA练习 如图所示：正方体的棱所在的直线
中，与直线A1B异面的有哪些？ 答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1A1B1C1D1CBDA练习 如图所示：正方体的棱所在的直线
中，与直线A1B异面的有哪些？ 异面直线直观图的画法两条直线异面:?lm分别在两个相交平面内的两条异面直线:异面直线直观图的画法1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.巩固：1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.a??⑴巩固：1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.a??ab??⑴⑵巩固：1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.a??ab??ab??⑴⑵⑶巩固：2. 两条异面直线指：A. 空间中不相交的两条直线；
B. 不在同一平面内的两条直线；
C. 不同在任一平面内的两条直线；
D. 分别在两个不同平面内的两条直线；
E. 空间没有公共点的两条直线；
F. 既不相交，又不平行的两条直线.巩固：( )空间两直线平行的判定公理公理4 平行于同一条直线的两直线互相
平行.空间两直线平行的判定公理公理4 平行于同一条直线的两直线互相
平行.若 a//b，c//b
则 a//c.定理：空间中如果两个角的两边分别平
行，那么这两个角相等或互补.1. 空间直线的位置关系；
2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的
两条直线)；
3. 异面直线画法及判定；
4. 平面图形适用的结论，对于立体图形
不一定适用，需要验证.课堂小结1、平行关系的传递性例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。三、两条异面直线所成的角如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′，a′b′ 则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ 称为异面直线a，b所成的角。？任选若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥b异面直线所成角θ的取值范围： 平移例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角：练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角；
2、与直线BB1垂直的棱有多少条？1）AB与CC1；2）A1 B1与AC；3）A1B与D1B1。1）AB与CC1所成的角= 9 0°2）A1 B1与AC所成的角= 4 5°3）A1B与D1B1所成的角= 6 0°2）与棱BB1垂直的棱有：ABCDA1B1C1D1相交：异面：垂直相交垂直异面垂直1）直线AD1与B1C所成的夹角9 0°填空：
1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 ________三种。
2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是
________直线。
3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系
有______________。
4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。
5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。平行相交异面平行异面无数无数相交、异面
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( )
2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( )
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。 ( )
4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。 ( ) ????判断对错：思考题：
1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ ）。
（A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行
2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数
是（ ）对。
（A）6 （B）3 （C）8 （D）12
3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（ ）
平面。
（A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
【教学目标】
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】
重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】
（一）创设情景、导入课题
问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？
问题2：没有公共点的直线一定平行吗？
问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出
异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？
2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：
3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？
生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形
证明：连接BD
因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD且EH=BD
同理FG∥BD且FG=BD
因为EH∥FG且EH=FG
所以四边形 EFGH是平行四边形
点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用
变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
4、组织学生思考教材P46的思考题
让学生观察、思考：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
5、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1,
哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？
哪些棱所在的直线与AA1垂直？
解析：考察异面直线的理解
解：（1）棱AD.DC.CC1.DD1.D1C1.B1C1所在直线分别与直线BA1是异面直线
（2）直线AB.BC.CD.DA.A1B1.B1C1.C1D1.D1A1分别与AA1垂直
点评：理解异面直线，垂直包括相交垂直与异面垂直
变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。（6条）
【板书设计】
一、空间中两条直线的位置关系
二、异面直线所成角
三、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】P49 1、2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
课前预习学案
一．预习目标：明确直线间的位置关系
二预习内容：2.1.2课本内容思考：空间两条直线有多少种位置关系
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一． 学习目标
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
学习重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
学习难点：异面直线所成角的计算。
学习过程
1 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2.以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角
例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形
变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1,
哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？
哪些棱所在的直线与AA1垂直？
变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。（6条）
课后练习与提高
一．选择题
1.垂直于两条异面直线的直线有（ ）条
A 1 B2 C无数 D以上都不对
2.两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB与CD（ ）
A 垂直 B平行 C相交 D以上都不对
3．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60o角；
④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）
（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④
二．填空题
4.在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 ________
5. 空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角为_________
三．解答题
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.
课件45张PPT。2.1.2空间中直线与直线
之间的位置关系复习引入确定平面的条件：复习引入经过不共线三点确定平面的条件：经过一条直线和直线外的一点经过两条相交直线经过两条平行直线有且只有
一个平面1. 下列四个命题中，正确的是( )
A. 四边形一定是平面图形
B. 空间的三个点确定一个平面
C. 梯形一定是平面图形
D. 六边形一定是平面图形
E. 三角形一定是平面图形练习1. 下列四个命题中，正确的是( )
A. 四边形一定是平面图形
B. 空间的三个点确定一个平面
C. 梯形一定是平面图形
D. 六边形一定是平面图形
E. 三角形一定是平面图形C、E练习2. 空间四边形ABCD中，E、F、G、H
分别是AB、BC、CD、DA上的点，已
知EH和FG交于P点，求证: EH、FG、
BD三线共点.练习AEFBHDGCP问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？讲授新课问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？讲授新课问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？讲授新课问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？讲授新课问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同
一平面内吗？定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.平行相交异面位置关系公共点个数是否共面定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.只有一个平行相交异面位置关系公共点个数是否共面定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.没有只有一个平行相交异面位置关系公共点个数是否共面定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.没有只有一个没有平行相交异面位置关系公共点个数是否共面定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.没有只有一个没有共面平行相交异面位置关系公共点个数是否共面定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.没有只有一个没有共面共面平行相交异面位置关系公共点个数是否共面定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.没有只有一个没有共面不共面共面平行相交异面位置关系公共点个数是否共面定义：不同在任何一个平面内的两条直线
叫做异面直线.空间两直线的位置关系：空间两直线的位置关系：(1) 从公共点的数目来看可分为：①有且只有一个公共点，则两直线相交②没有公共点，则两直线平行两直线为异面直线空间两直线的位置关系：(1) 从公共点的数目来看可分为：①有且只有一个公共点，则两直线相交②没有公共点，则两直线平行两直线为异面直线(2) 从平面的性质来讲，可分为：①在同一平面内两直线平行两直线相交②不在同一平面内，则两直线为异面直线.空间两直线的位置关系：(1) 从公共点的数目来看可分为：①有且只有一个公共点，则两直线相交②没有公共点，则两直线平行两直线为异面直线(2) 从平面的性质来讲，可分为：①在同一平面内②不在同一平面内，则两直线为异面直线.结论：不同在任何一个平面内的两条直线
为异面直线.两直线平行两直线相交立交桥立交桥A1B1C1D1CBDA练习 如图所示：正方体的棱所在的直线
中，与直线A1B异面的有哪些？ 答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1A1B1C1D1CBDA练习 如图所示：正方体的棱所在的直线
中，与直线A1B异面的有哪些？ 异面直线直观图的画法异面直线直观图的画法两条直线异面:异面直线直观图的画法两条直线异面:?lm分别在两个相交平面内的两条异面直线:异面直线直观图的画法分别在两个相交平面内的两条异面直线:异面直线直观图的画法1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.巩固：1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.a??⑴巩固：1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.a??ab??⑴⑵巩固：1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画
一条直线，使它们成为：
⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.a??ab??ab??⑴⑵⑶巩固：( )2. 两条异面直线指：A. 空间中不相交的两条直线；
B. 某平面内的一条直线和这平面外的直线；
C. 分别在不同平面内的两条直线；
D. 不在同一平面内的两条直线；
E. 不同在任一平面内的两条直线；
F. 分别在两个不同平面内的两条直线；
G. 某一平面内的一条直线和这个平面外
的一条直线；
H. 空间没有公共点的两条直线；
I. 既不相交，又不平行的两条直线.巩固：E、I2. 两条异面直线指：A. 空间中不相交的两条直线；
B. 某平面内的一条直线和这平面外的直线；
C. 分别在不同平面内的两条直线；
D. 不在同一平面内的两条直线；
E. 不同在任一平面内的两条直线；
F. 分别在两个不同平面内的两条直线；
G. 某一平面内的一条直线和这个平面外
的一条直线；
H. 空间没有公共点的两条直线；
I. 既不相交，又不平行的两条直线.( )巩固：空间两直线平行的判定公理公理4 平行于同一条直线的两直线互相
平行.空间两直线平行的判定公理公理4 平行于同一条直线的两直线互相
平行.空间两直线平行的判定公理公理4 平行于同一条直线的两直线互相
平行.若 a//b，c//b
则 a//c.定理：空间中如果两个角的两边分别平
行，那么这两个角相等或互补.定理：空间中如果两个角的两边分别平
行，那么这两个角相等或互补.1. 空间直线的位置关系；
2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的
两条直线)；
3. 异面直线画法及判定；
4. 平面图形适用的结论，对于立体图形
不一定适用，需要验证.课堂小结课堂小结空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面1. 复习本节课内容；
2. 《习案》第九课时.课后作业第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.
难点：异面直线所成角的计算.
（三）教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合；
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？
师投影问题，学生讨论回答
生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.
生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……
师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.
以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知
1．空间的两条直线位置关系：
共面直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点
②平行直线—在同一平面内，没有公共点.
③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.
随堂练习：
如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对.
答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.
现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类
生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.
师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉“任何”
师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”
培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD，
因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且.
同理FG∥BD，且.
因为EH∥FG，且EH = FG，
所以 四边形EFGH为平行四边形.
师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.
生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.
师（肯定）下面我们来看一个例子
观察图，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：从图中可以看出，
∠ADC = ∠A′D′C′，
∠ADC + ∠A′B′C′=180°
师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.
师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.
师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.
培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.
通过分析和引导，培养学生解题能力.
探索新知
3．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的概念.
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
（2）异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.
例3 如图，已知正方体ABCD – A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？
解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.
师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角
；
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
然后师生共同分析例题
加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.
随堂练习
1．填空题：
（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有 条.
（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .
答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.
2．如图，已知长方体ABCD – A′B′C′D′中，AB =，AD =，AA′ =2.
（1）BC和A′C′所成的角是多少度？
（2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？
学生独立完成
答案：.
2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′ = 45°.
（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′ 和BB′ 所成的角.
在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =，BB′= AA′=2，
所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
归纳总结
1．空间中两条直线的位置关系.
2．平行公理及等角定理.
3．异面直线所成的角.
学生归纳，教师点评并完善
培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.
作业
2.1 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
附加例题
例1 “a、b为异面直线”是指：
①a∩b =，且a∥b；
②a面，b面，且a∩b =；
③a面，b面，且∩=；
④a面，b面；
⑤不存在面，使a面，b面成立.
上述结论中，正确的是（ ）
A．①④⑤正确 B．①③④正确
C．仅②④正确 D．仅①⑤正确
【解析】 ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D
例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条.
【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线
a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有
∠A′PO =∠B′PO = 25°.
∵∠APA′＞A′PO，
∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.
例3 空间四边形ABCD，已知AD =1，BD =，且AD⊥BC，对角线BD =，AC =，求AC和BD所成的角。
【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.
则 MG
EM
∵AD⊥BC ∴EM⊥MG
在R t△EMG中，有
在RFG中，∵EF =
∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF⊥FG，即AC⊥BD
∴AC和BD所成角为90°.
【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
【课时目标】 1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4解决一些简单的相关问题．
1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：______________、________________、________________．
2．异面直线的定义
________________________________的两条直线叫做异面直线．
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．
4．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．
5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使________，________，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是________．
一、选择题
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
5．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN<(AC＋BD)
二、填空题
7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．
8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．
三、解答题
10．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
11．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1．
能力提升
12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
13．正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，则EF和CD所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．90°
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．
作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
2．1．2 空间中直线与直线之间的位置关系 答案
知识梳理
1．相交直线 平行直线 异面直线
2．不同在任何一个平面内
3．互相平行
4．平行 相等 互补
5．a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角 (0°，90°]
作业设计
1．D
2．D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]
3．D
4．B [
易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形．]
5．B [①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
]
6．D
[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝AC，
NE＝BD，
所以ME＋NE＝(AC＋BD)．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN<(AC＋BD)．]
7．60°或120°
8．(1)60° (2)45°
解析
连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
9．①③
解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
10．解 取AC的中点G，
连接EG、FG，
则EG∥AB，GF∥CD，
且由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°．
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．
故EF与AB所成的角为15°或75°．
11．证明 (1)如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN＝AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1．
12．②④
解析 ①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，
∴HG、MN必相交．
13．B [
连接B1D1，则E为B1D1中点，
连接AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、基础过关
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 ( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有 ( )
A．∠BAC＝∠B′A′C′
B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D．∠BAC＞∠B′A′C′
3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
4．“a、b为异面直线”是指：
①a∩b＝?，且aD∥b；②a?面α，b?面β，且a∩b＝?；③a?面α，b?面β，且α∩β＝?；④a?面α，b?面α；⑤不存在面α，使a?面α，b?面α成立．
上述结论中，正确的是 ( )
A．①④⑤ B．①③④
C．②④ D．①⑤
5．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．
6．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
7．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，
BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
8．如图，正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
二、能力提升
9.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是
( )
A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD) D．MN<(AC＋BD)
10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
12．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
三、探究与拓展
13．已知三棱锥A—BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
答案
1．D 2．C 3．B
4．D 5.平行或异面
6．(1)60° (2)45°
7．(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊AD.又BC綊AD，
∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
8．解 (1)如图，∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，BD，FO，∵HD綊EA，EA綊FB，
∴HD綊FB，
∴四边形HFBD为平行四边形，
∴HF∥BD，
∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，
∴△AFH为等边三角形，
又依题意知O为AH中点，∴∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.
9．D 10．B
11．①③
12．(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解 取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
13．解 如图，取AC的中点P.
连接PM、PN，
则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，
所以∠MPN为直线AB与CD所成的角(或所成角的补角)．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，
所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．
又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，
所以∠PMN＝60°，
即AB与MN所成的角为60°.
若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，
即AB与MN所成的角为30°.
故直线AB和MN所成的角为60°或30°.
