课件9张PPT。§2.2.4平面与平面平行的性质复习：直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。?ba?注意：1、定理三个条件缺一不可。 问题3：若两个平面平行，则一个平面内的直线a与另一个平面内的直线有什么位置关系? a异面、平行问题探究:证明:｛ 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 即：二、平面和平面平行的性质定理例3. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.证明：定理应用:P63习题3证明:过A作直线AH//DF,连结AD,GE,HF(如图).课堂练习:直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行课堂小结【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α. 证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，
则ME∥AC，∴ ME∥平面α，
又 NE∥BD， ∴ NE∥β，
又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，
∵ MN平面MEN，∴MN∥α. 平面与平面平行的性质教案
【教学目标】
1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理；
2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用；
3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.
【教学重难点】
重点：通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。
难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。
【教学过程】
1、 教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出课前预习学案中的结论
结论：<1>结合长方体模型，可知：或平行或异面；
<2>直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
<3>文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；符号语言：；图形语言如图所示：
<4>应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”
2、思考：如果平面,那么平面内的直线a和平面内的哪些直线平行？怎么找出这些直线？
(教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论)
结论：过直线a做平面与平面相交,则交线和a平行.
(在教师的启发下，师生共同概括完成上述结论及证明过程，从而得到两个平面平行的性质定理)。
3、平面和平面平行平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
证明：
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
4、平面和平面平行的性质定理应用
例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
（学生交流讨论形成结果）
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：
已知：，，，
求证：。
解析：利用什么定理？（平面与平面平行性质定理）关键是如何得到第三个相交平面。证明：因为AB∥CD，
所以过AB、CD可作平面γ,且平面γ与平面α、平面β分别交于AD和BC，
因为α∥β，所以AD∥BC
所以四边形ABCD是平行四边形
所以
点评：
变式训练1：
判断下列结论是否成立：
① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（ ）
② ；（ ）
③ 平行于同一个平面的两条直线平行；（ ）
④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；（ ）
⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。（ ）
例题2：已知：如下图，四棱锥S-ABCD底面为平行四边形，E、F分别为边AD、SB中点
求证：EF∥平面SDC。
解析：证线面平行，需证线线平行
证明：方法一
5、课堂小结：
面面平行的性质定理及其它性质（）；转化思想.
【板书设计】
一、平面与平面平行的性质定理
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
习题2.2A组第6、7、题，B组第2题；
2、2、4平面与平面平行的性质
课前预习学案
一、预习目标：
通过图形探究平面与平面平行的性质定理
二、预习内容：
阅读教材第66—67页内容，然后回答问题
（1）利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？
（2）请同学们回忆线面平行的性质定理，然后结合模型探究面面平行的性质定理；
（3）用三种语言描述平面与平面平行的性质定理；
（4）应用面面平行的性质定理的难点在哪里？应用面面平行的性质定理口诀是什么？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、 学习目标
1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理；
2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用；
3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.
学习重点：通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。
学习难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。
二、学习过程
1、 教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出课前预习学案中的结论
结论：<1>结合长方体模型，可知：或平行或异面；
<2>直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
<3>文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；符号语言：；图形语言如图所示：
<4>应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”
2、思考：如果平面,那么平面内的直线a和平面内的哪些直线平行？怎么找出这些直线？
(教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论)
结论：过直线a做平面与平面相交,则交线和a平行.
(在教师的启发下，师生共同概括完成上述结论及证明过程，从而得到两个平面平行的性质定理)。
3、平面与平面平行性质定理：
讨论：
① 两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
符号语言表示：
。
② 当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？
猜想：
证明：学生独立完成
通过讨论猜想并证明得到：
平面与平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
用符号语言表示性质定理：
4、平面和平面平行的性质定理应用
例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
（学生交流讨论形成结果）
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：
已知：，，，
求证：。
分析：利用什么定理？（平面与平面平行性质定理）关键是如何得到第三个相交平面。证明：
变式训练1：
判断下列结论是否成立：
① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；( )
② ；( )
③ 平行于同一个平面的两条直线平行；( )
④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；( )
⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。( )
例题2：
已知：如下图，四棱锥S-ABCD底面为平行四边形，E、F分别为边AD、SB中点
求证：EF∥平面SDC。
证明：方法一
方法二：
变式训练2：
5、课堂小结：
6、当堂检测：
(1)习题2.2A组 1、2
(2)、已知平面α∥平面β直线a∥α，a(β，求证：a∥β．
课后练习与提高
一、选择题
1．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
2．平面α∥平面β，直线a(α，P∈β，则过点P的直线中（ ）
A．不存在与α平行的直线 B．不一定存在与α平行的直线
C．有且只有—条直线与a平行 D．有无数条与a平行的直线
3．下列命题中为真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．垂直于同一条直线的两个平面平行
C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．
D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行．
二、填空题
4．过两平行平面α、β外的点P两条直线AB与CD，它们分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则ＢD的长为__________．
5．已知点A、B到平面α的距离分别为d与3d，则A、B的中点到平面α的距离为________．
三、解答题
6、如图，平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AＢ、CD上，且，求证：EF∥平面β．
?
参考答案
平面与平面平行的性质
一、教学目标：
1、知识与技能
掌握两个平面平行的性质定理及其应用
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用
3、情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；
（2）进一步体会类比的作用；
（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点
重点：平面与平面平等的性质定理
难点：平面与平面平等的运用
三、教学方法
讲录结合
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
1．直线和平面平行的性质
2．平面和平面平行的性质
3．线线平等线面平行→面面平行
师生共同复习. 教师点出主题.
复习巩固
探索新知
平面和平面平行的性质
1．思考：（1）两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个面具有什么关系？
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么关系？
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一平面内的直线在什么条件下不平行？
2．例1 如图，已知平面，，满足，，，证：a∥b.
证明：因为，
，
所以，.
又因为，
所以a、b没有公共点，
又因为a、b同在平面内，
所以a∥b.
3．定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
上述定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.
师：请同学们思考：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系？
生：借助长方体模型可以发现，若平面AC和平面A′C′ 平行，则两面无公共点，那么出就意味着平面AC内任一直线BD和平面A′C′ 也无公共点，即直线BD和平面A′C′ 平行.
师：用式子可表示为，.
用语言表述就是：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一平面.（板书）
生：由问题知直线BD与平面A′C′ 平行. BD与平面A′C′ 没有公共点. 也就是说，BD 与平面A′C′ 内的所有直线没有公共点. 因此，直线BD 与平面A′C′ 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.
生：由问题2知要两条直线平行，只要他们共面即可.
师：我们把刚才这个结论用符号表示，即是例5的证明.
师生共同完成并得出性质定理.
师引导学生得出结论：两个平行平面的判定定理与性质定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解决的问题是：在什么样的条件下两个平面平行.性质定理说明的问题是：在什么样的条件下两条直线平行，前者给出了判定两个平面平行的一种方法，后者给出了判定两条直线平行的一种方法.
师下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.
新教材常常要将面面平行转化为线面平行讨论，但没有给出结论，故补充，只是不作太多强调.
加深对知识的理解
典例分析
例2 夹在两个平行平面间的平行线段相等，如图∥，AB∥CD，且A∈，C∈，B∈，D∈，求证：AB = CD.
证明：如图，AB∥CD，AB、CD确定一个平面
，
例3如图，已知平面，AB、CD是异面直线，且AB分别交于A、B两点，CD分别交于C、D两点.M、N分别在AB、CD上，且.
求证：MN∥
证明：如图，过点A作AD′∥CD，交于D′，再在平面AB D′内作ME∥B D′，交AD′于E.则，
又
∴.
连结EN、AC、D′D，平行线AD′与CD确定的平面与、的交线分别是AC、D′D.
∵，∴AC∥D′D
又
∴EN∥AC∥D′D
∵，
∴EN∥，又MN∥.
∴平面MEN∥
∴MN∥.
师投影例2并读题，学生写出已知求证并作图（师投影）师生共同讨论，边分析边板书.
师：要证两线段相等，已知给的条件又是平行关系，那么证两线段所在四边形是平行四边形，进而说明两线段相等是解决问题常选用的一条途径.
师投影例3并读题
分析：满足怎样的条件的直线与平面平行（线线平行或面面平），我们能在平面内找到一条直线与MN平行吗？能找一个过MN且与平行的平面吗？这样的直线和平面有何特征！
证明二：利用过MN的平面AMN在平面找与MN平行的直线（如图）
连AN设交于E，连结DE，AC为相交直线AE、DC确定的平面与、的交线.
∵
∴AC∥DE
∴
又
∴
∴在△ABC中MN∥BE
又，
∴MN∥
证明三：利用过MN的平面CMN在平面中找出MN平行的直线.
巩固所学知识，培养学生书写表达能力和分析问题解决问题的能力.
构建知识体系，培养学生思维的灵活性.
随堂练习
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号.
（1）如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面. （ ）
（2）如果直线a和平面满足a∥，那么a与内的任何直线平行. （ ）
（3）如果直线a，b和平面满足a∥，b∥，那么a∥b.
（ ）
（4）如果直线a，b和平面满足a∥b，a∥，，那么b∥. （ ）
2．如图，正方体ABCD – A′B′C′D′中，AE = A1E1，AF =A1F1，求证EF∥E1F1，且EF = E1F1.
学生独立完成
参考答案：
（1）×（2）×
（3）×（4）√
提示:连结E E1， FF1，证明四边形EFF1E1为平行四边形即可.
巩固所学知识
归纳总结
1．平面和平面平行的性质
2．线线平行线面平行面面平行
学生先归纳，教师给予补充完善
回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识能力.
课后作业
2.2 第三课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备选例题
例1 如图，设平面a∥平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D．求证：MN∥ .
【证明】连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，
则MN∥AC，∴ME∥平面，
又NE∥BD，∴NE∥，
又ME∩NE = E，∴平面MEN∥平面，
∵MN平面MEN．∴MN∥．
【评析】要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．
例2 ABCD是矩形，四个顶点在平面内的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合，求证：A′B′C′D′是平行四边形．
【证明】如图．
∵A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D在平面内的射影．
∴BB′⊥，CC′⊥，
∴BB′∥CC′．
∵CC′ 平面CC′D′D，BB′ 平面CC′D′D，
∴BB′∥平面CC′D′D.
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD 平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D
∵AB，BB′是平面ABB′A′ 内的两条相交直线，
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D．
又∩平面ABB′A′=A′B′，∩平面CC′D′D = C′D′，∴A′B′∥C′D′．
同理，B′C′∥A′D′，∴A′B′C′D′是平行四边形．
【评析】在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平等问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．
课件20张PPT。2.2.4平面与平面
平行的性质复习引入1. 提问：线面平行、面面平行判定定理的
符号语言？线面平行性质定理的符号语言？复习引入1. 提问：线面平行、面面平行判定定理的
符号语言？线面平行性质定理的符号语言？2. 讨论：两个平面平行，那么一个平面内
的直线与另一个平面内的直线有什么关系？讲授新课两个平面平行，其中一个平面内的直线
与另一个平面有什么位置关系？
讨论：讲授新课两个平面平行，其中一个平面内的直线
与另一个平面有什么位置关系？
两个平面内的直线有什么位置关系？
讨论：讲授新课两个平面平行，其中一个平面内的直线
与另一个平面有什么位置关系？
两个平面内的直线有什么位置关系？
当第三个平面和两个平行平面都相交，
两条交线有什么关系？为什么？讨论： 定理：两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线平行. 定理：两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言：BACD例1 求证：夹在两个平行平面间的两条
平行线段相等．已知:求证:AB＝CD．BACD例1 求证：夹在两个平行平面间的两条
平行线段相等．已知:求证:AB＝CD．BACD例1 求证：夹在两个平行平面间的两条
平行线段相等．例2 已知: l, m是两条异面直线，l∥平面?，
l∥平面?，m∥面?，m∥平面?，
求证: ?∥?．1. 若?∥?，?∥?，求证: ?∥? .练习???1. 若?∥?，?∥?，求证: ?∥? .练习ab???1. 若?∥?，?∥?，求证: ?∥? .练习ab???b'a'??1. 若?∥?，?∥?，求证: ?∥? .练习ab???b'a'anbn??1. 若?∥?，?∥?，求证: ?∥? .练习ab???b'a'anbn??2. 教材P.61练习.课堂小结1. 面面平行的性质定理及其它性质；2. 转化思想. 课后作业1. 复习本节课内容，理清脉络；
2. 《习案》第十三课时.2.2.4 平面与平面平行的性质
【课时目标】 1．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．
1．平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________________．
(1)符号表示为：________________?a∥b．
(2)性质定理的作用：
利用性质定理可证________________，也可用来作空间中的平行线．
2．面面平行的其他性质
(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于____________________，即?________，可用来证明线面平行；
(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；
(3)平行于同一平面的两个平面________．
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
2．设平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在惟一一条与a平行的直线
3．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )
①?a∥b; ②?a∥b；
③?α∥β； ④?α∥β；
⑤?α∥a; ⑥?a∥α．
A．④⑥ B．②③⑥
C．②③⑤⑥ D．②③
5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线M与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或
C．14 D．20
二、填空题
7．分别在两个平行平面的两个三角形，
(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；
(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．
8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、M分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F．已知AB＝6，＝，则AC＝________．
三、解答题
10．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求证：N为AC的中点．
能力提升
12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：
2．强调两个问题
(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．
2．2．4 平面与平面平行的性质 答案
知识梳理
1．那么它们的交线平行
(1) (2)线线平行
2．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行
作业设计
1．C [由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C．]
2．D [直线a与B可确定一个平面γ，
∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b．
由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．
因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，
所以b惟一．]
3．B [面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝()2＝()2＝．]
4．C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．]
5．D [
如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E．连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′．
则CE∥AA′，∴CE∥α．
C′E∥BB′，∴C′E∥β．
又∵α∥β，∴C′E∥α．
∵C′E∩CE＝E．
∴平面CC′E∥平面α．
∴CC′∥α．所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．]
6．B [当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝．]
7．(1)相似 (2)全等
8．平行 [由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．]
9．15 [由题可知＝?AC＝·AB＝×6＝15．]
10．证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN，
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二
过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，
∴＝，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴＝，
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，
∴EF∥平面ABCD．
11．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
12．解
当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE， ①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE， ②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF?平面BFM，
∴BF∥平面AEC．
13．解 能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，
PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝，MN＝2，
∴A1H＝．
∴S△A1MN＝×2×＝．
故S?A1MCN＝2S△A1MN＝2．
2.2.4 平面与平面平行的性质
一、基础过关
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是 ( )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
3. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于 ( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )
①?a∥b; ②?a∥b；
③?α∥β； ④?α∥β；
⑤?α∥a; ⑥?a∥α.
A．④⑥ B．②③⑥ C．②③⑤⑥ D．②③
5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”)
(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；
(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．
6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝______.
7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
二、能力提升
9．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C ( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或 C．14 D．20
11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．
12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.
求△A′B′C′的面积．
三、探究与拓展
13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
答案
1．A 2．D 3．B 4．C
5．(1)相似 (2)全等
6．15
7．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
8. 解 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF?平面BFM，
∴BF∥平面AEC.
9．D 10．B
11．2
12．解 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′，
由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′.
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反．
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，
∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，
∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.
∴＝＝.而S△ABC＝AB·AC＝×2×1＝1.
∴＝()2，
∴S△A′B′C′＝S△ABC＝×1＝.
13．解 能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝，
MN＝BC1＝2，
∴A1H＝.
∴S△A1MN＝×2×＝.
故S?A1MCN＝2S△A1MN＝2.
