高中数学（苏教版）选修2-2课程讲义习题集及答案（pdf）

目 录
第 1 章 导数及其应用 .............................................................................................................................. - 1 -
1.1 导数的概念 ................................................................................................................................. - 1 -
1.1.1 平均变化率 ...................................................................................................................... - 1 -
1.1.2 瞬时变化率——导数 ...................................................................................................... - 2 -
专题 1 导数的概念 ........................................................................................................... - 2 -
专题 2 导数的几何意义 ................................................................................................... - 3 -
1.2 导数的运算 ................................................................................................................................. - 5 -
1.2.1 常见函数的导数 .............................................................................................................. - 5 -
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 ...................................................................................... - 6 -
1.2.3 简单复合函数的导数 ...................................................................................................... - 7 -
导数几何意义及求导习题课（1.1~1.2 复习） ............................................................................... - 8 -
1.3 导数在研究函数中的应用 ....................................................................................................... - 10 -
1.3.1 单调性 ............................................................................................................................ - 10 -
抽象函数单调性与导数 .......................................................................................................... - 12 -
1.3.2 极大值与极小值 ............................................................................................................ - 13 -
1.3.3 最大值与最小值 ............................................................................................................ - 14 -
含参函数的单调区间、极值问题 .................................................................................................. - 15 -
变量分离法巧解导数含参问题 ...................................................................................................... - 16 -
利用导数研究不等式问题 .............................................................................................................. - 17 -
利用导数研究函数零点问题 .......................................................................................................... - 19 -
1.4 导数在实际生活中的应用 ....................................................................................................... - 20 -
1.5 定积分 ....................................................................................................................................... - 21 -
1.5.1 曲边梯形的面积 ............................................................................................................ - 21 -
1.5.2 定积分 ............................................................................................................................ - 22 -
专题 1 定积分的概念 ..................................................................................................... - 22 -
专题 2 定积分的简单应用 ............................................................................................. - 23 -
1.5.3 微积分基本定理 ............................................................................................................ - 24 -
导数及其应用知识串讲 .......................................................................................................... - 26 -
导数及其应用综合检测（上）（本章复习） ........................................................................ - 27 -
导数及其应用综合检测（下）（本章复习） ........................................................................ - 29 -
第 2 章 推理与证明 ................................................................................................................................ - 31 -
2.1 合情推理与演绎推理 ................................................................................................................ - 31 -
2.1.1 合情推理 ......................................................................................................................... - 31 -
专题 1 归纳推理 ..................................................................................................................... - 31 -
专题 2 类比推理 ..................................................................................................................... - 33 -
2.1.2 演绎推理 ........................................................................................................................ - 35 -
2.1.3 推理案例赏析 ................................................................................................................ - 37 -
2.2 直接证明与间接证明 ................................................................................................................ - 37 -
2.2.1 直接证明 ......................................................................................................................... - 37 -
专题 1 综合法 ......................................................................................................................... - 37 -
专题 2 分析法 ......................................................................................................................... - 39 -
2.2.2 间接证明 ......................................................................................................................... - 40 -
2.3 数学归纳法 ................................................................................................................................ - 42 -
推理与证明知识串讲及综合检测（本章复习） .......................................................................... - 45 -
冲刺满分——数学思想方法综合串讲 .......................................................................................... - 48 -
第 3 章 数系的扩充与复数的引入 ........................................................................................................ - 49 -
3.1 数系的扩充 ............................................................................................................................... - 49 -
3.2 复数的四则运算 ........................................................................................................................ - 50 -
专题 1 复数的加减运算 ......................................................................................................... - 50 -
高中数学(苏教版)选修2-2课程讲义习题集



专题 2 复数的乘除运算 ......................................................................................................... - 51 -
3.3 复数的几何意义 ....................................................................................................................... - 53 -
复数知识串讲及综合（本章复习） .............................................................................................. - 54 -
期中期末串讲——选修 2-2 模块知识串讲及综合练习（一） ........................................................... - 55 -
期中期末串讲——选修 2-2 综合练习（二） ....................................................................................... - 57 -
参考答案 .................................................................................................................................................. - 58 -
高中数学选修 2-2 课程讲义
- 1 -
第 1 章 导数及其应用
1.1 导数的概念
1.1.1 平均变化率

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 已知函数 f (x)＝－x2＋x，则 f (x)从－1 到
－0.9 的平均变化率为( )
A．3 B．0.29 C．2.09 D．2.9






























































- 2 -
1.1.2 瞬时变化率——导数
专题 1 导数的概念

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 如果质点 A 按照规律 s＝3t2 运动，则在
t0＝3 时的瞬时速度为( )
A．6 B．18 C．54 D．81






2. 设在 10 米跳台上，运动员跳离跳台时竖直
向上的速度为
35
3
m/s. 运动员在时刻 t 距离
水面的高度
235 1( ) 10
3 2
h t t gt? ? ? . 其中，g 为重力加速
度， 210m / sg ? . 则运动员在入水时的(瞬时)
速度是 .



3. 如图，函数 ( )f x 的图象是折线段 ABC ，
其中 A B C， ， 的坐标分别为 (0 4) (2 0)，， ， ，
(6 4)， ，则
( (0))f f ? ；
0
(1 ) (1)
lim
x
f x f
x? ?
? ? ?
?
?
．
（用数字作答）







































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 3 -
专题 2 导数的几何意义

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 如果曲线 y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线
方程为 x＋2y－3＝0，那么( ).
A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＜0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
2. 已知曲线 y＝f (x)在 x＝5处的切线方程是 y
＝－x＋8，则 f (5)及 f ′(5)分别为( ).
A．3，3 B．3，－1
C．－1，3 D．－1，－1
3. 已知函数 y＝x3－3x2＋1 的导函数为
y＝3x2－6x，则曲线 y＝x3－3x2＋1 在点
(1，－1)处的切线方程为__________.

4. 函数 f (x)的图象如图所示，下列数值排序
正确的是( )
A. 0＜ (2)f ? ＜ (3)f ? ＜ (3) (2)f f?
B. 0＜ (3)f ? ＜ (3) (2)f f? ＜ (2)f ?
C. 0＜ (3)f ? ＜ (2)f ? ＜ (3) (2)f f?
D. 0＜ (3) (2)f f? ＜ (2)f ? ＜ (3)f ?

5. 若函数 ( )y f x? 的导函数．．．在区间
[ , ]a b 上是增函数，则函数 ( )y f x? 在区
间[ , ]a b 上的图象可能是( )

6. 若函数 ( )y f x? 的图象在点

M(1,f(1))处的切线方程是 2y x? ? ，
则 (1) (1)f f ?? ? ．
7. 已知曲线方程为 2y x? ，求过 (3,5)B 点且
与曲线相切的直线方程.








8. （1）求函数 3y x? 在点 (2,8)处的切线方
程；
（2）过点 (2,8)且与函数 3y x? 图象相切
的直线方程.











9. 求曲线 12)( 3 ??? xxxf 在点(1，4)处的切
线方程.










- 4 -
10. 函数 ( )f x 的图象如图所示，则（ ）
A．0 3 (3) 3 (6) (6) (3)f f f f? ?? ? ? ?
B．0 3 (6) (6) (3) 3 (3)f f f f? ?? ? ? ?
C．0 3 (6) 3 (3) (6) (3)f f f f? ?? ? ? ?
D．0 (6) (3) 3 (3) 3 (6)f f f f? ?? ? ? ?


11. 研究下面函数在 0x ? 处的导数，并回答问
题：
（1）
2 , 0
( )
, 0
x x
f x
x x
? ?
? ?
??

（2）
1
3 3,y x y x? ?
问题 1：连续函数一定存在导数吗？
问题 2：在一点存在切线，则一定存在导数吗？







12. 研究下面问题，并回答问题：
(1)和曲线只有一个公共点的直线是否就是切
线？
(2)切线是否与曲线只有一个公共点？




















































y
A
B
63 xO
高中数学选修 2-2 课程讲义
- 5 -
1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 若函数 f (x)＝ x，则 f ′(1)等于( )
A．0 B．－
1
2
C．2 D.
1
2

2. 已知 f(x)＝x α，若 f ′(－1)＝－2，
则 α的值等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
3. 抛物线 y＝x2 在点(2，4)处的切线方程
是 .

4. 求函数 y=2x 和 y=log2x 的导数.





5. 设 ? ?0 sinf x x? ，
? ? ? ? ? ? ? ?1 0 2 1, ,f x f x f x f x? ?? ?
? ? ? ?1, n nf x f x? ?? ，n?N，
则 ? ?2013f x 等于( )．
A． sin x B． sin x?
C． cos x D． cos x?














































- 6 -
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 求下列函数的导数：
（1）y= x3+ log2x；


（2）y=2x3－3x2－4；


（3）y=3cosx－4sinx；


（4）y=xnex；


（5）y=
3 1
sin
x
x
?
.



2. 求导：
3 23( ) ( 1) 1
3 2
a
f x x x a x? ? ? ? ?
2 2 2( ) 4( ) ( )f x x r r x? ? ?




3. 求导：
2
2
2 1
( )
1
ax a
f x
x
? ?
?
?

? ?
2 1
1
x
f x
x
? ?
?
?
5 7 9x x x
y
x
? ?
?



4. 求导： ? ? ? ?2
1
1 ln
2
f x x ax a x? ? ? ?
? ? ? ?ln 1f x x x ax? ? ?
x
x
xf
ln
)( ?






5. 求导：
2
e
( )
x
g x
x k
?
?

2( ) e ( 1)xf x ax x? ? ?










高中数学选修 2-2 课程讲义
- 7 -
1.2.3 简单复合函数的导数

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 求下列函数的导数：
(1)y=(2x+3)
2；


(2) 1y x? ? ；


(3) y=sin(πx+? )（其中 π，?均为常数）；


(4) y=2xsin(2x+5)；


(5)y=2e
－x
；


(6)y=e
－0.05x+1
.






2. 求导：
1
( ) ln( 1)
1
x
f x ax
x
?
? ? ?
?




3. 求下列函数的导数
（1） tany x?



（2） 4 4sin cos
4 4
x x
y ? ?



（3） 2sin (1 2cos )
2 4
x x
y ? ? ?





4. 求下面函数的导数：
（1） 23 cosy x x x? ? ；


（2）
2
sin
x
y
x
? ；


（3）
2( ) sinf x x? ；


（4）
2
e
ln 3
x
y
x
? ? .


5. 求下面函数的导数：
（1） 2
1
siny
x
? ；


（2） 2sin (2 )
3
y x
?
? ? ；


（3） sine xy ? ；


（4） 5xy a? .



- 8 -
导数几何意义及求导习题课（1.1~1.2 复习）

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋
1
x
＋
1
x
3)；



(2)y＝( x＋1)(
1
x
－1)；



(3)y＝sin4
x
4
＋cos4
x
4
；



(4)y＝
1＋ x
1－ x
＋
1－ x
1＋ x
.



2. 求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；






(2)y＝ln(x＋ 1＋x2).



3. 已知曲线 y＝
2
4
x
－3lnx的一条切线的斜率
为
1
2
，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1 D.
1
2

4. 已知函数 2( ) e ( ) 4xf x ax b x x? ? ? ? ，
曲线 y = f (x)在点（0，f (0)）处切线方程为
y = 4x+4，求 a，b 的值.




5. 设 ? ? ? ?
2
5 6lnf x a x x? ? ? ，其中 Ra? ，
曲线 ? ?y f x? 在点（1，f (1)）处的切线与 y
轴相交于点（0，6），求 a 的值.




6. 过点(1，1)作曲线
3y x? 的切线，则切线
方程为 .


7. 设函数 ( )f x 是 R 上以 5 为周期的可导偶
函数，则曲线 ( )y f x? 在 5x ? 处的切线的斜
率为( )
A．
1
5
? B．0 C.
1
5
D．5
8. 已知函数
π
( ) ( )cos sin
4
f x f x x?? ? ,
则
π
( )
4
f ? __________.


9. 已知函数 ? ?f x 在R 上满足
? ? 22 cos sin 2
2
f x f x x x
?? ?
? ? ? ?? ?
? ?
，则曲线
? ?y f x? 在
4
x
?
? 处的导数
4
f
?? ?
?? ?
? ?
＝
高中数学选修 2-2 课程讲义
- 9 -
________.

10. 求下面函数的导数：
（1）
2
2
e
ln
e 1
x
x
y ?
?
；



（2）
1
( ) ln
1
x
f x
x
?
?
?
；




（3） 5
1
x
y
x
?
?
；




（4） 2 2(2 3) 1y x x? ? ? .







11. 求 = xy x 的导数.





12. 计算 (arcsin )x ' .






























- 10 -
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 单调性

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区
间：
(1)f (x)= x
3
+3x；




(2)f (x)= x
2－2x－3；




(3)f (x)= sinx－x，x∈(0，π)；




(4)f (x) =2x
3
+3x
2－24x+1.




2. 如下图，水以恒速(即单位时间内注入水的
体积相同)注入下面四种底面积相同的容器
中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h
与时间 t 的函数关系图象.


3. 求函数 2 2( ) 4( 1) (1 )f x x x? ? ? 的单调区
间.





4. 求函数 ( ) 2sin , (0,2 )f x x x x? ? ? ? 的单
调区间.







5. 求函数
2
2 1
( )
2
x
f x
x x
?
?
?
的单调区间.






6. 求函数
e
( ) 1
x
g x
x
? ? 的单调区间.






7. 求函数 ( ) ln (2 1)f x x x x? ? ? 的单调区间.






8. 求函数
1
( ) ln 6f x x x
x
? ? ? ? 的单调区间.



高中数学选修 2-2 课程讲义
- 11 -








9. 研究函数 ( ) ,( , , 0)
b
f x ax a b ab
x
? ? ? ?R
在 (0, )?? 上的单调性.














10. 已知函数 3 2( )f x px qx rx s? ? ? ? 的部分
图象如图所示，试问 2, , , , 3p q r s q pr? 的符号
能判定吗？有几个是正的？











11. 求函数 32 )1( xxy ?? 的单调区间.




- 12 -
抽象函数单调性与导数

1. 已知函数 y= f ′(x)的图象如图所示，那么函
数 f (x)的图象最有可能的是( )




2. 如果函数 ( )y f x? 的图象如左下图，那么
导函数 '( )y f x? 的图象可能是( )



3. 若函数 ( )y f x? 在 R 上可导且满足不等
式 ( ) ( ) 0xf x f x? ? ? 恒成立，且常数 a, b 满足
a b? ，则下列不等式一定成立的是( )
A. ( ) ( )af a bf b? B. ( ) ( )af b bf a?
C. ( ) ( )af a bf b? D. ( ) ( )af b bf a?
4. 若
( )
( )
ex
f x
F x ? 是定义在 R 上的函数，其
中 ( )f x 的导函数 ? ?f x? 满足 ? ? ( )f x f x? ? 对
任意的 x?R恒成立，则（ ）
A． ? ? ? ?3 ln 2 2 ln3f f?
B． ? ? ? ?3 ln 2 2 ln3f f?
C． ? ? ? ?3 ln 2 2 ln3f f?

D． ? ? ? ?3 ln 2 ,2 ln3f f 大小不确定
5. 对于 R 上可导的任意函数 ( )f x ，若满足
( 1) ( ) 0x f x?? ? ，则必有( )
A． ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? ?
B． ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? ?
C． ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? ?
D． ? ? ? ? ? ?0 2 2 1f f f? ?
6. 函数 ( )f x 的定义域为 R， ? ?1 2f ? ? ，
对任意 x?R， ( ) 2f x? ? ，则 ( ) 2 4f x x? ?
的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
———————————————————
高中数学选修 2-2 课程讲义
- 13 -
1.3.2 极大值与极小值

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 求函数 3
1
( ) 4 4
3
f x x x? ? ? 的极值.






2. 已知 f (x)的定义域为 R， f (x)的导函数
( )f ' x 的图象如图所示，则( )
A. f (x)在 x=1 处取得极小值
B. f (x)在 x=1 处取得极大值
C. f (x)是 R 上的增函数
D. f (x)是 ( ,1)?? 上的减函数， (1,+ )? 上的
增函数

3. 函数 f (x)的定义域为开区间(a，b)，导函
数 ( )f ' x 在(a，b)内的图象如图所示，则函数
f (x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个




4. 定义在 R 上的可导函数 f (x) ，已知
( )e f xy ?? 的图象如图所示，则 y=f (x)的单调
性如何？有极值点吗？





5. 求函数 2xy x? ? 的极值.




6. 函数 3 2 2( ) 3 3 1f x x a x ax? ? ? ? 在 1x ?
处取得极值，求实数 a的值.





- 14 -
1.3.3 最大值与最小值

1. 函数 y＝x3＋x2－x＋1 在区间[－2,1]上的
最小值为( )
A.
22
27
B．2 C．－1 D．－4
2. 设函数 f (x)＝ln(2x＋3)＋x2.求 f (x)在区间
3 1
[ , ]
4 4
? 上的最大值和最小值．




3. 若函数 f (x)＝
x
x
2＋a
(a>0)在[1，＋∞)上的最
大值为
3
3
，则 a 的值为________．

4. 已知函数 3 2( ) 4f x x ax? ? ? ? 在 2x ? 处
取得极值，若 , [ 1,1]m n? ? ，则 f(m)+f '(n)的
最小值是( )
A．－13 B．－15 C．10 D．15
5. 若函数 3( ) 4f x ax bx? ? ? ， 当 2x ? 时，
函数 ( )f x 有极值
4
3
? . 求函数 ( )f x 的解析
式，并求出在区间[ 3,5]? 上的最值.












6. 已知函数 xxxf ln
2
1
)( 2 ?? .
(1)求函数 ( )f x 在区间 [1, e]上的最大值、最小
值；
(2)求证：在区间 (1, )?? 上，函数 ( )f x 的图象在
函数 3
3
2
)( xxg ? 的图象的下方.






















高中数学选修 2-2 课程讲义
- 15 -
含参函数的单调区间、极值问题

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 若函数 y＝x3－ax2＋4 在(0，2)内单调递
减，则实数 a 的取值范围是_________．
2. 已知 y＝
1
3
x
3＋bx2＋(b＋2)x＋3 在 R 上是
单调增函数，则 b 的范围为_________．
3. 已知函数
1
( ) ln 1
a
f x x ax
x
?
? ? ? ?
(a∈R)，讨论 ( )f x 的单调性.








4. 已知函数
21( ) (2 1) 2 ln ,( )
2
f x x a x a x a? ? ? ? ?R ，
求 ( )f x 的单调区间和极值.







5. 已知函数
21( ) 2 2 ln ,( )
2
f x x ax a x a? ? ? ?R ，
求 ( )f x 的单调区间（和极值）.





6. 已知函数
21( ) (2 1) 2ln ,( )
2
f x ax a x x a? ? ? ? ?R ，
求 ( )f x 的单调区间.




7. 已知函数
21( ) 2 ln ,( )
2
f x ax x a x a? ? ? ?R ，
求 ( )f x 的单调区间.






8. 设函数 )1ln()1()( ???? xaaxxf ，其中
1??a . 求 )(xf 的单调区间.




- 16 -
变量分离法巧解导数含参问题

1. 已知 Ra? ，函数
1
( ) lnf x x ax
x
? ? ? ．
（Ⅰ）当 0a ? 时，求 ( )f x 的最小值；
（Ⅱ）若 ( )f x 在区间[2, )?? 上是单调函数，求
a 的取值范围．




















2. 若函数 ( ) lnf x ax x? ? 在区间 (2,4)单调
递增，则 a 的取值范围是（ ）
A.
1
(0, )
2
B.
1
[ , )
2
??
C.
1
( , ]
2
?? D.[1, )??


3. 已知函数 ( ) lnf x ax x? ? ，若 ( ) 1f x ? 在
区间（1，+∞）内恒成立，则实数 a 的取值
范围是 .

4. 已知函数 3 2( ) 2 4f x x x x? ? ? ? ，
2( ) 8g x ax x? ? ? .
（1）求函数 ( )f x 的极值；
（2）若对任意的 [0, )x? ?? 都有
)()( xgxf ? ，求实数 a 的取值范围.





5. 已知函数
3 2( ) 1f x x ax x? ? ? ? ，
Ra? ．
（1）设函数 ( )f x 在区间 )
3
1
,
3
2
( ?? 内是减函数，
求 a 的取值范围．
（2）设函数 ( )f x 在区间
2 1
( , )
3 3
? ? 内是增函数，
求 a 的取值范围．






高中数学选修 2-2 课程讲义
- 17 -
利用导数研究不等式问题

1. 求证 x－1≥
ln x
x
.



















2. 设函数
2 2( ) 2 1( 0)Rf x t x t x t x t? ? ? ? ? ?， ．
(Ⅰ)求 ( )f x 的最小值 ( )h t ；
(Ⅱ)若 ( ) 2h t t m? ? ? 对 (0 2)t? ， 恒成立，
求实数m 的取值范围．

















3. 设函数 3 2
3
( ) ( 1) 1
3 2
a
f x x x a x? ? ? ? ? ，
a?R .
(1)函数 ( )f x 在 1x ? 处能取得极小值吗？
为什么？
(2)已知不等式 2( ) 1f x x x a? ? ? ? ? 对
? a?(0,+? )都成立，求实数 x的取值范围.














4. 当 x > 0 时，求证： 21 2 e xx? ? .
















5. 证明
（1）当 0x ? 时，
2
ln(1 )
2
x
x
x
? ?
?
；




（2） 19
2
9 1
( )
10 e
? .


- 18 -


6. 若
ln 2
2
a ? ，
ln3
3
b ? ，
ln5
5
c ? ，则（ ）
A. cba ?? B. c b a? ?
C. bac ?? D. b a c? ?

7. 已知函数 ( ) lnf x x x? .
（Ⅰ）求 ( )f x 的最小值；
（Ⅱ）若对所有 1x ? 都有 ( ) 1f x ax? ? ，
求实数a 的取值范围.








8. 已知函数 ( ) lnf x x x? ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 在[1,3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在．．
1
[ ,e]
e
x? （ e 为自然对数的底
数）使不等式
22 ( ) 3f x x ax? ? ? ? 成立，
求实数a 的取值范围．
9. （1）若 1??x ，
证明：
1
1 ln( 1)
1
x x
x
? ? ? ?
?
；




（2）求证：
1
100e 1.01? （ e 2.71828? ???是自然
对数的底数）.














高中数学选修 2-2 课程讲义
- 19 -
利用导数研究函数零点问题

1. 已知函数 f (x)= x3+2x2 +x+a 有三个零点，
求 a 的取值范围.







2. 已知函数 f (x)= -x2+8x，g(x)=6lnx+m，是
否存在实数 m，使得 y=f (x)的图象与 y=g(x)
的图象有且只有三个不同的交点？若存在，
求出 m 的取值范围，若不存在，说明理由.













3. 函数 ( ) lnf x ax x? ? 有几个零点?





















4. 已知
2
2
( ) ( )
2
x a
f x x
x
?
? ?
?
R 在区间[ 1, 1]?
上是增函数.
（1）求实数a 的值所组成的集合 A；
（2）设关于 x 的方程
x
xf
1
)( ? 的两个根为
1 2x x、 ，试问：是否存在实数 m ，使得不等式
2
1 21 | |m tm x x? ? ? ? 对任意 Aa? 及 [ 1, 1]t? ?
恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存
在，请说明理由.





















- 20 -
1.4 导数在实际生活中的应用

1. 某厂生产某种产品 x 件的总成本：
C (x)＝1200＋
2
75
x
3，又产品单价的平方与产
品件数 x 成反比，生产 100 件这样的产品的
单价为 50 元，总利润最大时，产量应定为
( )
A．25 件 B．20 件
C．15 件 D．30 件


2. 一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立
方成正比．已知速度为每小时 10 千米时，燃
料费是每小时 6 元，而其它与速度无关的费
用是每小时 96 元，问轮船的速度是多少时，
航行 1 千米所需的费用总和为最小？



































































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 21 -
1.5 定积分
1.5.1 曲边梯形的面积

（知识梳理部分请听视频讲解）
无对应题目







———————————————————


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- 22 -
1.5.2 定积分
专题 1 定积分的概念

（知识梳理部分请听视频讲解）









































































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 23 -
专题 2 定积分的简单应用

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 求定积分
1
2
1
1 dx x
?
?? .



2. 一物体以速度 v＝(3t 2＋2t)m/s 做直线运
动，则它在 t＝0s 到 t＝3s 时间段内的位移是
( ).
A．31m B．36m
C．38m D．40m
3. 由曲线 y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积
为( ).
A.
1
12
B.
1
4
C.
1
3
D.
7
12













4.
3
2
2
16 6 dx x x
?
? ? ?? ___________.






















































- 24 -
1.5.3 微积分基本定理

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 计算下列定积分：
(1)
2
1
1
dx
x?
；



(2)
3
21
1
(2 ) dx x
x
?? .





2. 计算下列定积分：
(1)
π
4
π
6
cos2 dx x? ；





(2)
2
3
2
1
( ) dx x
x
?? ；





(3)
π
2
0
(3 sin ) dx x x?? ；



(4) e d
b
x
a
x? .




3. 2
3
0
| 4 | dx x?? ＝( )
A.
21
3
B.
22
3
C.
23
3
D.
25
3



4. 如图所示，阴影部分的面积是( ).
A．2 3 B．2－ 3 C.
32
3
D.
35
3




5. 计算下列定积分：
(1)
2
0
( 1)dx x x?? ；

(2)
2
21
1 1
( )dx
x x
?? ；


(3)
2
0
(e 2sin )d
2
x x x
?
?? .



6. 计算下列定积分：
(1)
2
0
| sin | dx x
?
? ；


(2)
2
2
0
| 1| dx x?? .


7. 曲线 cosy x? (
3
0
2
x
?
? ? )与坐标轴所围
成的面积是( )
A. 2 B. 3 C.
5
2
D. 4



高中数学选修 2-2 课程讲义
- 25 -
8. 如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中
任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概
率为( )
A.
1
4
B.
1
5
C.
1
6
D.
1
7


9. 求抛物线 2 2y x? 与直线 4y x? ? 围成的
平面图形的面积.




10. 定积分
1
0
(2 e )dxx x?? 的值为（ ）
A. e＋2 B. e＋1 C. e D. e－1


11. 若
1
2
0
( ) 2 ( )df x x f x x? ? ? ，
则
1
0
( )df x x ?? （ ）
A. 1? B.
1
3
? C.
1
3
D. 1
12. (1)求曲线 exy ? 、 e xy ?? 及 1x ? 所围成
的图形面积；
(2)求抛物线 2y x? 与直线 2 3 0x y? ? ? 所
围成的平面图形的面积 S .









13. 如图，点 A的坐标为 (1,0) ，点C 的坐标
为 (2,4)，函数 ? ? 2f x x? ，若在矩形 ABCD
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率
等于 .


14. 如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥
沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型，则
原始的最大流量与当前最大流量的比值
为 ．

15. 已知函数 ( )y f x? 的图象是折线段
ABC ，其中 (0,0)A 、
1
( ,5)
2
B 、 (1,0)C ，函
数 ( )y xf x? （ 10 ?? x ）的图象与 x轴围成
的图形的面积为 .





- 26 -
导数及其应用知识串讲

（知识梳理部分请听视频讲解）
1. 设 ( ), ( )f x g x 是 R 上的可导函数，
f '(x), g '(x)分别为 ( ), ( )f x g x 的导函数，
且 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f ' x g x f x g ' x? ? ? ? ，
则当 a x b? ? 时，有( )
A． ( ) ( ) ( ) ( )f x g b f b g x?
B． ( ) ( ) ( ) ( )f x g a f a g x?
C． ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f b g b?
D． ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f a g a?
2. 曲线
1
2e
x
y ? 在点(4，e2)处的切线与坐标轴
所围三角形的面积为( )
A． 2
9
e
2
B． 24e C． 22e D． 2e
3. 下面四图都是同一坐标系中某三次函数及
其导函数的图象，其中一定不正确．．．．．的序号是
( )


A. ①② B. ③④
C. ①③ D. ①④
4. 函数 3 2
1 1
( ) 2
3 2
f x x ax bx? ? ? ，极大值点
在(0，1)内，极小值点在(1，2)内，则
2
1
b
a
?
?
的
取值范围是___________.

5. 若
2 2 2
2
1 2 3
1 1 1
1
d , d , e d ,xS x x S x S x
x
? ? ?? ? ?
则 1 2 3, ,S S S 的大小关系为( )
A．
1 2 3S S S? ? B． 2 1 3S S S? ?

C．
2 3 1S S S? ? D． 3 2 1S S S? ?


















高中数学选修 2-2 课程讲义
- 27 -
导数及其应用综合检测（上）（本章复习）

1. 已知函数 ( ) lnf x x x? ，
2
( )
e ex
x
g x ? ? . 求
证：对任意 , (0, )m n? ?? ，都有 ( ) ( )f m g n? .














2. 已知函数
2
ln , ,
( )
2 3, ,
x x x a
f x
x x x a
???
? ?
? ? ? ???
其
中 0a ? ．
（1）当 0a ? 时，求函数 ( )f x 的图象在点
(1,f(1))处的切线方程；
（2）如果对于任意
1 2,x x ?R ，且 1 2x x? ，
都有
1 2( ) ( )f x f x? ，求 a 的取值范围.















3. 已知函数
1
2
e
( )
4 4
x
f x
ax x
?
?
? ?
，其中
a?R .
（1）若 0a ? ，求函数 ( )f x 的极值；
（2）当 1a ? 时，试确定函数 ( )f x 的单调区间.












4. 已知曲线 : eaxC y ? .
(1)若曲线 C 在点 (0,1) 处的切线为 2y x m? ? ，
求实数 a 和m 的值；
(2)对任意实数 a ，曲线C 总在直线 l : y ax b? ?
的上方，求实数b 的取值范围.










5. 已知函数 ( ) ln (1 )f x x a x? ? ? .
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）当 ( )f x 有最大值，且最大值大于2 2a ? 时，
求 a 的取值范围.











- 28 -
6. 设 1a ? ，不等式 ( )lnx a x x? ? ?
对 [e, )x? ? ?? 成立，求a 的取值范围.


















7. 已知函数 ( ) e ln( )xf x x m? ? ? ．
（Ⅰ）设 0x ? 是 ( )f x 的极值点，求m ，并讨
论 ( )f x 的单调性；
（Ⅱ）当 2m ? 时，证明 ( ) 0f x ? ．















































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 29 -
导数及其应用综合检测（下）（本章复习）

1. 已知函数 ( ) ln
a
f x x
x
? ? ( 0)a ? .
（Ⅰ）求 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）如果
0 0( , )P x y 是曲线 ( )y f x? 上的任
意一点，若以 0 0( , )P x y 为切点的切线的斜率

1
2
k ? 恒成立，求实数 a 的最小值；
（Ⅲ）讨论关于 x的方程
的实根情况.









2. 设函数
2
e
( )
1
ax
f x
x
?
?
， Ra? ．
（Ⅰ）当
3
5
a ? 时,求函数 )(xf 的单调区间；
（Ⅱ）设 ( )g x 为 ( )f x 的导函数，当
1
[ ,2e]
e
x?

时，函数 ( )f x 的图象总在 ( )g x 的图象的上方，
求 a 的取值范围．












3. 已知 ? ? 2
1
( ) ln ,
2
f x x g x x a? ? ? （ a 为常
数），直线 l 与 ? ? ? ?,f x g x 的图象都相切，且
l 与 ? ?f x 的切点横坐标为 1.
（1）求 l 的方程及 a 的值；
（2）当 0k ? 时，讨论 ? ? ? ?21f x g x k? ? ? 的
解的个数.





4. 已知函数 ( ) ( )exf x x a? ? ，其中 e 是自然
对数的底数，a?R .
（1）求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）当 1a ? 时，试确定函数
g(x)=f(x－a)－x2 的零点个数，并说明理
由.







5. 在区间[0,1]上给定曲线 2y x? .试在此区
间内确定点 t 的值，使图中的阴影部分的面
积
1S 与 2S 之和最小， 并求最小值.


- 30 -

6. 设函数
2
e 2
( ) ( ln )
x
f x k x
x x
? ? ? （ k 为常
数， e 2.71828? ???是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 0k ? 时，求函数 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 ( )f x 在 (0,2) 内存在两个极值
点，求 k 的取值范围.









7. 设函数
2
( ) ln
2
x
f x k x? ? ， 0k ? .
证明：若 ( )f x 存在零点，则 ( )f x 在区间
(1, e]上仅有一个零点．









8. （1）设 Nn ?? ，证明：
1
e
e 1k
nn k
n?
? ?
?? ?
?? ?
?
（ e 2.71828? ???是自然对数的底数）；
（2）设n ??N ，
求证： 2
1 1 1
(1 )(1 ( ) ) (1 ( ) ) e
2 2 2
n? ? ??? ? ? ? ? ? .

















9. 设函数
2( ) ln( 1) ( )f x x a x x? ? ? ? ，其中
Ra? .
（Ⅰ）讨论函数 ( )f x 极值点的个数，并说
明理由；
（Ⅱ）若 0x? ? ， ( ) 0f x ? 成立，求 a 的取
值范围.



























高中数学选修 2-2 课程讲义
- 31 -
第 2 章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
专题 1 归纳推理

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 已知数列{an}的第一项 a1=1，且
1 ( 1, 2, 3, )
1
n
n
n
a
a n
a
? ? ?
?
… ，
试归纳出这个数列的通项公式.





2． 观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，
第 n 个图形由 n 个正方形组成：

通过观察可以发现：第 4 个图形中，火柴
杆有 根；第 n 个图形中，火柴杆有
____根．
3． 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n
2
an
(n≥2)，而 a1＝1，通过计算 a2，a3，a4，
猜想 an 等于( )
A.
2
(n＋1)2
B.
2
n(n＋1)

C.
2
2
n－1
D.
2
2n－1

4． 在△ABC 中，不等式
1
A
＋
1
B
＋
1
C
≥
9
π
成立，
在四边形 ABCD 中，不等式
1
A
＋
1
B
＋
1
C
＋
1
D
≥
16
2π
成立，在五边形 ABCDE 中，不等式
1
A
＋
1
B
＋
1
C
＋
1
D
＋
1
E
≥
25
3π
成立，猜想在 n 边形 A1A2…An
中，有怎样的不等式成立？





5 ． 观 察 下 列 等 式 ： 3 3 21 2 3? ? ，
3 3 3 21 2 3 6? ? ? ， 3 3 3 3 21 2 3 4 10? ? ? ? ，
，根据上述规律，第五个等式为_______.
6． 观察式子：
2
1 3
1
2 2
? ? ，
2 2
1 1 5
1
2 3 3
? ? ? ，
2 2 2
1 1 1 7
1
2 3 4 4
? ? ? ? 则可以归纳出：
? ?
22 2 2
1 1 1 1
1
2 3 4 1n
? ? ? ? ? ?
?
________.
7． 观察 2( ) 2x x? ? ， 4 3( ) 4x x? ? ，
(cos )x ? ? sin x? ，由归纳推理可得：若定义
在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ),f x f x? ? 记
( )g x 为 ( )f x 的导函数，则 ( )g x? 等于（ ）
A. ( )f x B. ( )f x?
C. ( )g x D. ( )g x?
8． 观察
（1）
tan10 tan 20 tan 20 tan60 tan60 tan10
1
? ?
? ，

（2）
tan5 tan10 tan10 tan75 tan75 tan5 1.? ? ?
由以上两式成立，推广到一般结论.


- 32 -
9． 已知：
2 2 2 3sin 30 sin 90 sin 150
2
? ? ? ，
2 2 2 3sin 5 sin 65 sin 125
2
? ? ? .
观察上述两等式的规律，请你写出一般性的
命题.







10． 推测 ????? ?????
212
22221111
个个 nn
? .









11． 观察下列等式：
2
1
1 1
2 2
n
i
i n n
?
? ??
2 3 2
1
1 1 1
3 2 6
n
i
i n n n
?
? ? ??
3 4 3 2
1
1 1 1
4 2 4
n
i
i n n n
?
? ? ??
4 5 4 3
1
1 1 1 1
5 2 3 30
n
i
i n n n n
?
? ? ? ??
5 6 5 4 2
1
1 1 5 1
6 2 12 12
n
i
i n n n n
?
? ? ? ??
6 7 6 5 3
1
1 1 1 1 1
7 2 2 6 42
n
i
i n n n n n
?
? ? ? ? ?? ，
…………………………………
1 1
1 1
1
1 0
n
k k k k
k k k
i
i a n a n a n
a n a
? ?
? ?
?
? ? ? ?
? ?
?

………………………………
可以推测，当 k ≥3（k∈N*）时， 1ka ? ? ；
ka ? ， 1ka ? ? ； 2ka ? = ．
12． 数列 0 1 2a a a ? ? ?， ， ， 满足：
0 1
1
3 [ ]
{ }
n n
n
a a a
a
?? ? ?，
( [ ]na 与{ }na 分别表示 na 的整数部分和小
数部分)，则 2008a ? _____________．




































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 33 -
专题 2 类比推理

(知识梳理部分请听视频讲解)
1．
圆的概念和性质 球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦（非直径）中
点的连线垂直于弦

与圆心距离相等的两
弦相等，与圆心距离不
等的两弦不等，距圆心
较近的弦较长

以点（x0，y0）为圆心，
r 为半径的圆的方程为
（x－x0）
2 ＋（y－y0）
2＝r2

2． 若数列{an}是等差数列，对于 bn＝
1
n
(a1
＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类
比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的
等比数列，对于 dn > 0，则 dn＝________时，
数列{dn}也是等比数列．

3． 已知扇形的弧长为 l ，半径为 r ，类比三
角形的面积公式：
1
2
S ? 底×高，可推知扇形
的面积公式：______________.
4． 类比平面内直角三角形的勾股定理，试
给出空间中四面体性质的猜想．

















5． 已知等差数列? ?na 中， 10 0,a ? 则有
a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(1 19n? ? ，
+n?N ). 若等比数列? ?nb 中， 15 1b ? ，类比
等差数列? ?na ，成立的一个等式 .
6． 类比实数的加法和向量的加法，从相加
的结果是否为实数(向量)，以及运算律、逆
运算、0 与0 (零向量)几个方面考虑，列出它
们相似的运算性质.















- 34 -
7． 如图，在梯形 ABCD 中，AB / / DC，AB=a，
DC=b(a>b)．若 EF / / AB，EF 到 CD 与 AB
的 距 离 之 比 为 m:n ， 则 可 推 算 出 ：
ma nb
EF
m n
?
?
?
．试用类比的方法，推想出下
述问题的结果：在上面的梯形 ABCD 中，延
长梯形两腰 AD，BC 相交于 O 点，设△ OAB，
△ OCD 的面积分别为
1 2,S S ，EF / / AB 且 EF
到 CD 与 AB 的距离之比为 m:n，则△ OEF
的面积 S 与
1 2,S S 的关系是 ．


















8． 过曲线 2 2 2x y r? ? 上的点
M 0 0( , )x y 的切线 l 的方程为
2
0 0x x y y r? ? ．求过曲线

2 2
2 2
1
x y
a b
? ?

( 0)a b? ? 上的点 M 0 0( , )x y 的切线的方
程．




















































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 35 -
2.1.2 演绎推理

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． “∵四边形 ABCD 是矩形，∴四边形
ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前
提是（ ）
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
2． 以下推理过程省略的大前提为：
.
∵a2 ＋b2 ≥ 2ab，∴2(a2＋b2) ≥ a2＋b2＋2ab.
3． 求函数 y＝ log2x－2的定义域时，第一
步推理中大前提是 a有意义时，a ≥ 0，小前
提是 log2x－2有意义，结论是________．

4． 将“函数 2xy ? 在 R 上单调递增”写成三段
论的形式.









5． 下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理
规则？
因为直线 a⊥平面? ，直线 b⊥平面? ，
所以 a∥b；
又因为 b∥c，所以 a∥c.








6． 证明函数 8 5 2( ) 1f x x x x x? ? ? ? ? 的值
恒为正数.







7． 已知函数 1
2
2
n
n
n
x
x
x
? ? ? (n∈N+)， 1 4x ? .
（1）记
2
lg
2
n
n
n
x
a
x
?
?
?
. 证明：数列 }{ na 成等
比数列，并求数列{ }nx 的通项公式；
（2）若 2n nb x? ? ， nT 是数列 }{ nb 的前 n项
和，证明 3nT ? .









8． 在1,2,3, ,2012中取一组数，使得任意
两数之和不能被其差整除，最多能取多少个
数？









9． 对任意? ，求
632cos cos6 6cos4 15cos2? ? ? ?? ? ?
的值．







- 36 -
10． P 为曲线C ：
2 2
1
4 12
x y
? ? ( 0)x ? 上的
动点， )0,2(?A ，F 是C 的焦点，是否存在
实数?，使得 PAFPFA ??? ? 恒成立？若
有，求出?的值，若没有，说明理由．
F
P
O A

x
y










11． 在 ABC? 中，
求 sin sin siny A B C? ? ? 的最大值．





































































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 37 -
2.1.3 推理案例赏析
（无对应知识及题目）
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 直接证明
专题 1 综合法

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 已知 a，b＞0，
求证 a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.







2． 给出下列不等式：
①a > b > 0，且 a2＋
b
2
4
＝1，则 ab > a2b2；
②a，b∈R，且 ab < 0，则
a
2＋b2
ab
≤ －2；
③a > b > 0，m > 0，则
a＋m
b＋m
>
a
b
；
④?
?
?
?x＋
4
x
≥ 4 ( x ≠ 0)．
其中正确不等式的序号为 ．
3． 设 a > 0，b > 0，a＋b＝1.
求证：
1
a
＋
1
b
＋
1
ab
≥ 8.










4． 1?求证： 2 2
2
( )
2
a b a b? ? ? ；
2?求证： 2 2 2 2a b b c? ? ?

2 2 2(c a a b c? ? ? ? ? )；
3?若 a + b = 1，求证：
1 1
2
2 2
a b? ? ? ? .







5． 设 a > 0， b > 0，且 a + b = 1，
求证：
2
25
)
1
()
1
( 22 ????
b
b
a
a .







6． 若 ? ?3sin sin 2? ? ?? ? ，
求证： ? ?tan 2tan? ? ?? ? .







- 38 -

7． 1 2 3, , ,a a a 是一个递增的正等差数列，
, ,k l m和 n 是给定的正整数，已知 ka 与 la 的
几何平均大于 ma 与 na 的算术平均，求证：
2
k l
mn
?
? ．



























































































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 39 -
专题 2 分析法

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 求证 3 7 2 5? ? .






2． 如果 a a＋b b＞a b＋b a，则实数 a、
b 应满足的条件是 ．
3． 当 a≥2 时，求证
a＋1－ a< a－1－ a－2.







4． 求证:
1 2 3 4x x x x? ? ? ? ? ? ? ( 4)x ? .






5． 已知 , , ,a b c d ?R，求证:
ac bd? ?
2 2 2 2( )( )a b c d? ? .






6． 若 , 0a b ? ， 2c a b? ? ，求证：
（1） 2c ab? ;
（2） c ? 2c ab? a c? ? ? 2c ab? .








7． 设 , ,a b c 是△ ABC 的三边，S 是三角形的
面积，求证： 2 2 2 4 4 3c a b ab S? ? ? ? .





8． 非负实数 4321 ,,, xxxx 满足：
)0(,4321 ????? aaxxxx ， a 是定值．
（1）若 121 ?? xx ，证明：
1111 2121 ??????? xxxx ；
（2）求 321 111 xxx ?????
41 x?? 的最小值．





















- 40 -
2.2.2 间接证明

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 求证 2 是无理数.







2． 用反证法证明命题“三角形的内角中至少
有一个不大于 60°”时，反设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于 60°
B．假设三内角都大于 60°
C．假设三内角至多有一个大于 60°
D．假设三内角至多有两个大于 60°
3． 已知直线 a，b 和平面 α，如果 ??a ，
??b ，且 / /a b，求证 / /?a .








4． 设0 , , 1a b c? ? ，求证：(1 )a b? ，(1 )b c? ，
(1 )c a? 不可能同时大于
1
4
.







5． 设 , , ,a b c d 是正有理数， ,c d 是无理
数，求证： a c b d? 是无理数.






6． 设 3 3 2a b? ? ，求证 2a b? ? .









7． 若下列三个方程：
2 4 4 3 0x ax a? ? ? ? ， 2 2( 1) 0x a x a? ? ? ? ，
2 2 2 0x ax a? ? ? 中至少有一个方程有实根，
试求 a 的取值范围.









8． 是否存在实数 x ，使得 tan 3x ? 和
cot 3x ? 都是有理数？









9． 实数 1 2 2013, , ,a a a 满足
1 2 2013 0,a a a? ? ? ?
1 2 2 3 2013 12 2 2a a a a a a? ? ? ? ? ? ．
求证： 1 2 2013 0a a a? ? ? ? ．







高中数学选修 2-2 课程讲义
- 41 -
10． 设有mn 个实数排成一个m 行n 列的
阵列{ } ,ij m na ? 使得每一行上的 n 个数从左
到右都按递增的顺序排列，即对任意
1 i m? ? ，当 1 2j j? 时，有 1 2ij ija a? ．下
面把每列上的 m 个数从上到下都按递增的
顺序重排得到阵列
'{ } ,ij m na ? 即对任意
1 j n? ? ，当 1 2i i? 时，有 1 2' ' .i j i ja a? 问
这个新的阵列
'{ }ij m na ? 每一行中的 n 个数的
大小顺序如何？给出结论并说明理由．





















































































- 42 -
2.3 数学归纳法

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 对于数列{an}，已知 a1 =1，an+1 =
1
n
n
a
a?

（n=1, 2, 3，…），求数列的通项公式.






2． 用数学归纳法证明命题：
1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.






3． 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－
(2n)
2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．






4． 求证：
1
2
＋
1
3
＋
1
4
＋…＋
1
1
2n?
>
n－2
2

(n ≥ 2)．







5． 数列{ }na 满足 1a a? ， 1
1
2
n
n
a
a
? ?
?
.
(1)求
2a ， 3a ， 4a ；
(2)猜测通项公式
na ，并证明.




6． 用数学归纳法证明2 4 6? ? 2n? ?
2 1n n? ? ? ( n?N+)时，步骤如下：
假设 n k? 时等式成立，
即 12642 2 ??????? kkk? ，
当 1n k? ? 时，
2 4 6 2 2( 1)k k? ? ? ? ? ?

2 1 2( 1)k k k? ? ? ? ? 2 3 3k k? ? ?
2( 2 1) ( 1) 1k k k? ? ? ? ? ?

2( 1) ( 1) 1k k? ? ? ? ? ，
所以，原等式成立.
上述证明正确吗？为什么？










7． 用数学归纳法证明1 2 3 n? ? ? ?
1
( 1)
2
n n? ? ( n?N+)时，步骤如下：
(1)当 1n ? 时，
1
1 1 2
2
? ? ? ，原等式成立；
(2)假设当 ( 1)n k k? ? 时，原等式成立，
即
1
1 2 3 ( 1)
2
k k k? ? ? ? ? ? ，
当 1n k? ? 时，
1 2 3 1k k? ? ? ? ? ?
1 ( 1) 1
( 1) ( 1)[( 1) 1]
2 2
k
k k k
? ?
? ? ? ? ? ? ? ，
原命题也成立.
所以，由(1)(2)知原等式对任意n?N+都成立.
上述证明正确吗？为什么？










高中数学选修 2-2 课程讲义
- 43 -
8． 用数学归纳法证明
3
( ) ( )
2
n n n ?? ?N 时，
步骤如下：
(1)当 1n ? 时，
3
1
2
? ，原命题成立；
(2)假设当 n k? 时，原命题成立，即
3
( )
2
k k? ，
当 1n k? ? 时，由归纳假设得
3 3 3 1
( ) 1
2 2 2 2
k k k k k? ? ? ? ? ? ? ，
故此时原命题成立.
所以，由(1)(2)知原命题对 n?N+成立.
上述证明正确吗？为什么？








9． 已知 2( ) 2 1f x x? ? ，数列 { }na 满足
1 1a ? ， 1 ( )n na f a? ? (n∈N+). 写出数列{ }na
的前 4 项，并由此归纳出
na 与 n的表达式，
再用数学归纳法证明.








10． 猜想
1 2 ( 1) ( 1)n n n? ? ? ? ? ? ? 2 1 ?? ? ? ? 并
用数学归纳法证明.








11． 求证： 22 3 5 4n n n? ? ? ? 能被 25 整除，
其中 n∈N+.







12． 平面上有 n条直线，其中任何两条都不
平行，任何三条都不共点，求证这 n条直线：
(1)被互相分割成 2n 段；
(2)把平面分成 2
1
( 2)
2
n n? ? 个部分.








13． 求证：
1 1 1 5
1 2 3 6n n n
? ? ? ?
? ?
( 2n ? ，n∈N+).









14． 已知数列 }{ nb 是等差数列，
???? 211 ,1 bbb + 10b =100．
设数列{ na }的通项 )
1
1lg(
n
n
b
a ?? ，记 nS
是数列{ na }的前 n 项和．
试比较 nS 与 1lg
2
1
?nb 的大小，并证明你的结
论．







15． 数列 }{ na 中，前n 项和为 nS ，
nn pnaSaa ?? ，21 ．
（1）求 p 的值；（2）确定数列 }{ na 是
否为等差数列或等比数列．





- 44 -
16． 已知函数 ( ) sinf x x x? ? ,数列{ na }满
足如下条件：
1 10 1, ( ), 1,2,3, .n na a f a n?? ? ? ?
求证： 10 1n na a?? ? ? ．









17． 已知函数
4
1
2
)( 23 ????
x
xxxf ，且
存在 0x ∈(0,
1
2
)，使 00 )( xxf ? ．
设 1x 0? ， )(1 nn xfx ?? ；
2
1
1 ?y ，
)(1 nn yfy ?? ，其中 1,2,n ? ．
求证： nnnn yyxxx ???? ?? 101 ．









































































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 45 -
推理与证明知识串讲及综合检测（本章复习）

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 对于平面几何中的命题：“夹在两条平行
线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类
比上述命题，可以得到命题：
“ ”，这个类比命题
是________命题(填“真”或“假”)．
2． 用数学归纳法证明不等式
1 1 1
1+ + + + < ( )
2 3 2 1?n
f n (n ? 2，
n∈N*)的过程中，从 n = k 到 n = k＋1，左端
增加（ ）
A．1 项 B．k 项 C.
12 ?k 项 D. 2k 项
3． 已知 a1＝1，an＋1 > an，且(an＋1－an)
2－2(an
＋1＋an)＋1＝0 计算 a2、a3，猜想 an＝( )
A．n B．n2 C．n3 D. n＋3－ n
4． 锐角三角形的面积等于底乘高的一半；
直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角
三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡
是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上
推理运用的推理规则是（ ）
A．三段论推理 B．假言推理
C．关系推理 D．完全归纳推理
5． 半径为 r 的圆的面积 S(r) = πr2，周长 C(r)
= 2πr，若将 r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′
= 2πr. ①式可用语言叙述为：圆的面积函数
的导数等于圆的周长函数． 对于半径为 R
的球，若将 R 看作(0，＋∞)上的变量，请你
写出类似于①式的式子： ，你所
写的式子可用语言叙述为 ．
6． 已知 a、b、c∈R，且 a＋b＋c = 1.
求证：a2＋b2＋c2 ≥
1
3
.







7． 已知数列{an}满足 a1 = 3，an·an－1 =
2·an－1－1. 写出数列{an}的一个通项公式并
证明．








8． 已知函数 f (x) = ax ＋
x－2
x＋1
(a > 1)．
证明方程 f (x) = 0 没有负根．











9． 已知
2 ( )
( 1)
( ) 2
f x
f x
f x
? ?
?
， (1) 1f ?
? ?x ??N ，猜想 ? ?f x 的表达式为( )
A．
4
2 2x ?
B．
2
1x ?

C．
1
1x ?
D．
2
2 1x ?

10． 我们把平面几何里相似形的概念推广到
空间：如果两个几何体大小不一定相等，但
形状完全相同，就把它们叫做相似体. 下列
几何体中，一定属于相似体的有（ ）
①两个球体；②两个长方体；③两个正四
面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎.
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
11． 在△ ABC 中，E，F 分别为 AB，AC
的中点，则有 EF∥BC，这个问题的大前
提是 .
12． 设
? ?
2
1 1 1 1
1 2
S n
n n n n
? ? ? ? ?
? ?
，则 ? ?S n

共有______项；当 2n ? 时， ? ?2S ? .
- 46 -
13． 设 ( )F n 是一个关于自然数 n的命题，若
( )( )F k k ??N 真，则 ( 1)F k ? 真 . 现已知
(7)F 不真，则有① (8)F 不真；② (8)F 真；
③ (6)F 不真；④ (6)F 真；⑤ (5)F 不真；
⑥ (5)F 真. 其中为真命题的是_______.
14． 对于直角坐标平面内的任意两点
? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y ，定义它们之间的一种
“距离”： 2 1 2 1AB x x y y? ? ? ? .
给出下列三个命题：
①若点C 在线段 AB上，则
A B A C C B? ? ；
②在 ABC? 中，若 90C? ? ?，则

2 2 2
A B A C C B? ? ；
③在 ABC? 中， AB AC CB? ? .
其中真命题的个数为（ ）
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
15． 已知函数 ( )f x 是 ( , )?? ?? 上的增函数，
,a b?R.
(1)证明命题：若 0a b? ? ，则
( ) ( ) ( ) ( )f a f b f a f b? ? ? ? ? ；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明
你的结论.








16． 已知函数 ( )( )f n n ??N 满足条件：
① (2) 2f ? ；② ( ) ( ) ( )f xy f x f y? ? ；
③ ( )f n ??N ；④当 x y? 时，有 ( ) ( )f x f y? .
(1)求 (1), (3)f f 的值；
(2)由 (1), (2), (3)f f f 的值，猜想 ( )f n 的解析式；
(3)证明你猜想的 ( )f n 的解析式的正确性.








17． 已知 A，B ，C 是椭圆
2
2: 1
4
x
W y? ? 上
的三个点，O 是坐标原点．
(1)当点 B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为
菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形
OABC是否可能为菱形，并说明理由．










18． 下面问题的解决，对吗？原因是什么？
已知 14,0,0 ???? baba ，求
ba
11
? 的最
小值．
1 1 1
2
a b ab
? ?解：第一步：
第二步：上式当且仅当 a=b 时取得“=”
4 1a b? ?第三步：又
1
5
1 1
10
a b
a b
?
?
? ?
?
第四步：
第五步： 的最小值是










19． 求证： tan3 是无理数．











高中数学选修 2-2 课程讲义
- 47 -
20． 定义在闭区间[a, b]上的实值函数 f (x)称为
凸函数是指：对任意的 ],[, 21 baxx ? 以及
]1,0[?? 恒有：
1 2 1 2[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )f x x f x f x? ? ? ?? ? ? ? ? ．
证明：（1）对任意的 ],[, 21 baxx ? 及正实数 p、
q，均有：
qp
xqfxpf
qp
qxpx
f
?
?
?
?
? )()(
)( 2121 ；
（ 2 ） 对 任 意 的 ],[,, 321 baxxx ? 且
321 xxx ?? 均有：
)()( 123 xfxx ? + )()( 231 xfxx ?
+ )()( 312 xfxx ? 0? ．












21． 设数列 ? ?na 的前 n 项和为 nS ．已知
1 1a ? ,
2
1
2 1 2
3 3
n
n
S
a n n
n
?? ? ? ? ,
*n?N ．
(Ⅰ) 求 2a 的值；
(Ⅱ) 求数列? ?na 的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有
1 2
1 1 1 7
4na a a
? ? ? ? ．
































































- 48 -
冲刺满分——数学思想方法综合串讲

1． 有n 个小球（n 是大于 2 的整数），将它
们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘
积，再将每一堆小球任意分成两堆，分别求
出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次
都将这两堆小球再任意分成两堆，并分别求
出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为
止，则所有乘积的和为 ．
2． 已知 ? ?2,2E 是抛物线 2: 2C y px? 上一点，
经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线C 交于 ,A B 两
点（不同于点 E ），直线 ,EA EB 分别交直线
2x ? ? 于点 ,M N ．
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）
已知O 为原点，求证： MON? 为定值．







3． 现有一个 n 行 n 列的数字表格
( 2)n ? ，它的每个格中都是绝对值不超
过 1 的实数，且所有数的和为 0，记a 为：
该表格每行元素之和的绝对值以及每列
元素之和的绝对值的最小值．设 a 的最
大值为b ．
（1）对于表格给出的数字阵列，求a 的值；
1 1 －0.75
1 1 －0.75
－0.75 －0.75 1?
（2）若 2n ? ，证明： 1b ? ．







4． 已知函数 ( )f x ＝ 2x ax b? ? ， ( )g x ＝
( )xe cx d? ，若曲线 ( )y f x? 和曲线
( )y g x? 都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同
的切线 4 2y x? ? ．
（Ⅰ）求a ，b ，c，d 的值；
（Ⅱ）若 x ≥－2 时， ( )f x ≤ ( )kg x ，求 k 的取
值范围．



























高中数学选修 2-2 课程讲义
- 49 -
第 3 章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 已知复数 z =
a
2－7a＋6
a
2－1
＋(a2－5a－6)i
(a∈R)．实数 a 取什么值时，z 是
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？










2． 设 2 21 1 ( 2)iz m m m? ? ? ? ? ，
2
2 4 2 ( 5 4)iz m m m? ? ? ? ? ，
若
1 2z z? ，求实数m的取值范围.









3． 试问 ( )x x?R 取何值时，复数
2 2( 2) ( 3 2)ix x x x? ? ? ? ?
是实数？是虚数？是纯虚数？




















































- 50 -
3.2 复数的四则运算
专题 1 复数的加减运算

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i).










2． 已知复数 z1 ＝3＋2i，z2 ＝1－3i，则复数 z
＝ z1－z2 在复平面内对应的点 Z 位于复平面内
的（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

































































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 51 -
专题 2 复数的乘除运算

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 计算：（1）(3＋4i)(3－4i);
（2）(1＋i)2.










2． 计算(1＋2i)÷(3－4i).









3． i 是虚数单位，若
1＋7i
2－i
＝ a＋bi
(a，b∈R)，则乘积 ab 的值是（ ）
A．－15 B．－3 C．3 D．15
4． 已知 z 是纯虚数，
z＋2
1－i
是实数，
那么 z 等于（ ）
A．2i B．i C．－i D．－2i
5． 若复数
a＋3i
1＋2i
(a∈R，i 为虚数单位)是纯虚
数，则实数 a 的值为（ ）
A．－2 B．4 C．－6 D．6
6． 已知复数 z =
1
1＋i
，则 z
－
·i 在复平面内对应
的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7． 已知函数
1
322
)(
?
??
?
x
xx
xf ，
求 f (1＋i)和 f (1－i)的值.













8． 若 z∈C，若 1 2iz z? ? ? ，则
4 3i
z
?
的值
是（ ）
A．2i B．－2i C． 2 D．－2

9． 已知复数 z1＝cos α＋isin α和复数
z2＝cos β＋isin β，则复数 z1·z2 的实部是( )
A．sin(α－β) B．sin(α＋β)
C．cos(α－β) D．cos(α＋β)
10． 把复数 z 的共轭复数记作 z ，i 为虚数单
位．若 z＝1＋i，则(1＋z)·z 等于( )
A．3－i B．3＋i C．1＋3i D．3
11． 若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z
表示复数 z，则表示复数
1 i
z
?
的点是( )
A．E B．F C．G D．H

12． (1)i+i2+i3+…+i100= ；
(2)设
1 3
i
2 2
? ? ? ? ，则
① 21 ? ?? ? =_____；②? ?? =_______；
③ 2? = ； ④ 3? =___________.
- 52 -
13． 已知复数
1z 满足(z1－2)(1+i)=1－i.
(1)求复数 z1；
(2)若 z2 为纯虚数， 1 2(2 )z z? ? 是实数，求 z2.














14． 已知复数
1 2,z z 满足 1 2| | | | 1z z? ? ，
且
1 2 iz z? ? ，求 1 2,z z 的值.














































































高中数学选修 2-2 课程讲义
- 53 -
3.3 复数的几何意义

(知识梳理部分请听视频讲解)
1． 当
2
3
< m < 1 时，复数
z = (3m－2)＋(m－1)i 在复平面上对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

2． 在复平面内，若 z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i
所对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范
围是( )
A．(0，3) B．(－∞，－2)
C．(－2，0) D．(3，4)
3． (1) 3i 5z ? ? 表示什么图形？
(2) | 3i | | 3i | 10z z? ? ? ? 表示什么图形？
(3)| 3i | | 3i | 5z z? ? ? ? 表示什么图形？
(4)已知 | i | | i | 2z z? ? ? ? ，求 | 1 i |z ? ? 的
最小值.





































































- 54 -

复数知识串讲及综合（本章复习）

1． 设复数
2lg( 2 2)z m m? ? ? ? 2( 3 2)im m? ? ，
当m 为何值时：
(1) z 是实数？
(2) z 是纯虚数？







2． 计算：(1)
3＋2i
2－3i
－
3－2i
2＋3i
；
(2)
－2 3＋i
1＋2 3i
＋(
2
1－i
)
2 010
.







3． 设向量OA表示的复数是 2 3i? (O 为坐标原
点)，将向量OA向上平移 2 个单位，再向左平
移一个单位，得到向量 1 1O A ，求向量 1 1O A 、点
1O 和向量 1AO 分别表示的复数.








4． 在△ ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对
的边长，z1＝a＋bi，z2＝cos A＋icos B．若复数
z1·z2 在复平面内对应的点在虚轴上，试判断
△ ABC 的形状．







5． 已知 | | , 2 3 4iz r z? ? ?求 对应的点的轨迹方
程.








6． 设复数 z 满足 | | 2z ? ，求复数1 3i z? ? 的
模的最大值、最小值.








7． 若 3 2? ? i 是方程 22 0x px q? ? ? 的一个
根，则实数 p ?_______； q ? ________.
8． 设关于 x的方程
2 (tan i) (2 i)x x?? ? ? ? 0? ，
若方程有实数根，求锐角? 和实数根.














高中数学选修 2-2 课程讲义
- 55 -

期中期末串讲——选修 2-2 模块知识串讲及综合练习（一）

1． 已知曲线 lny x x? ? 在点 (1,1)处的切线与曲
线 2 ( 2) 1y ax a x? ? ? ? 相切，则 a ? ．
2． 函数
1
( )
ln
f x
x x
? 的单调减区间为_____，
极值点是_________.
3． 计算
2
2
0
( 1 ( 1) ) dx x x? ? ?? .






4． 已知数列{ }na 的通项公式为
2
1
( 1)
na
n
?
?
，记
1 2( ) (1 )(1 )f n a a? ? ? (1 )na? ，其中 n ??N .
那么 (1)f ? ____； (2)f ? _____； (3)f ? _____；
(4)f ?_____；进而推测 ( )f n ?____________.
5． 给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，
R 为实数集，C 为复数集)：
①“若 a，b∈R，则 a－b＝0?a＝b”类比推出
“若 a，b∈C，则 a－b＝0?a＝b”；
②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di
? a＝c，b＝d”类比推出“若 a，b，c，d∈Q，
则 a＋b 2 ＝c＋d 2 ?a＝c，b＝d”；
③“若 a，b∈R，则 a－b>0?a>b”类比推出
“若 a，b∈C，则 a－b>0 ? a>b”．
其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6． 已知 ,a b?R， 2a ? ，且 2b ? ，证明：
ab a b? ? .






7． 求证：对于任何实数 ,a b ，三个数
| |,| |,| 1|a b a b a? ? ? 中至少有一个不小于
1
2
.








8． 求证： (cos isin ) cos isinn n n? ? ? ?? ? ?

( )n ??N .








9． 在复平面内，点 P ，Q 所对应的复数分别
是
1z ， 2z ，且 2 12 3 4iz z? ? ? ， 1 1z ? ，求点
Q 的轨迹.


















- 56 -

高中数学选修 2-2 课程讲义
- 57 -
期中期末串讲——选修 2-2 综合练习（二）

1． 设 L为曲线
ln
:
x
C y
x
? 在点 (1,0)处的切线．
(1)求 L的方程；
(2)证明：除切点 (1,0)之外，曲线C 在直线 L的
下方．













2． 已知函数 2( ) ( 2) lnf x ax a x x? ? ? ? .
(1) 当 a = 1 时，求曲线 y = f (x)在点(1，f(1))处
的切线方程；
(2) 当 a > 0 时，函数 f(x)在区间[1,e]上的最小
值为?2，求 a 的取值范围；
(3) 若对任意
1 2, (0, )x x ? ?? ， 1 2x x? ，且
1 1 2 2( )+2 ( )+2f x x f x x? 恒成立，求a的取值范围.



















3． 数列{ }na 中 1 2a a? ，数列{ }nb 的各项由下
列关系确定：
? ?1 2 1,2,3, ,kk
a a a
b k n
k
? ? ?
? ? .
(1)若 ? ?1,2, ,k kb pa k n? ? ，求常数 p 的值；
(2)在(1)的条件下，证明：{ }na 是等差数列.

































- 58 -
参考答案
第 1 章 导数及其应用
1.1 导数的概念
1.1.1 平均变化率
1．D．
1.1.2 瞬时变化率——导数
专题 1 导数的概念
1．B. 2．
55
3
m/s. 3．2，－2.
专题 2 导数的几何意义
1．B. 2．B. 3．3x+y－2=0.
4．B. 5．A. 6．4.
7． 2 1 0x y? ? ? 、10 25 0x y? ? ?
8．（1）12 16 0x y? ? ? .
（2）12 16 0x y? ? ? 、 3 2 0x y? ? ? .
9． 15 ?? xy . 10．B.
11．连续函数不一定存在导数；在一点存在切线，不一
定存在导数.
12．(1)和曲线只有一个公共点的直线不一定就是切线；
(2)切线不一定与曲线只有一个公共点，过点(1，4)的曲
线 3( ) 2 1f x x x? ? ? 的 切 线 方 程 为 15 ?? xy 或
33
4 1
12
y x? ? ?（ ）.
1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数
1.D. 2.A. 3．4x－y－4＝0.
4.y=2x 的导数 y ′=2xln2.y=log2x 的导数 y ′=
1
xln2
；
5.C.
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1. （1）y ′=3x2+
1
xln2
；（2）y ′=6x2－6x；
（3）y ′=－3sinx－4cosx；（4）y ′=xn
－1ex(n+x)；
（5）
2 3
2
3 sin ( 1)cos
sin
x x x x
y
x
? ?
? ? .
2. .
2( ) 3 ( 1)f x ax x a? ? ? ? ?
2( ) 8( ) ( 2 )f x x r r x? ? ? ?

3.
2 2
2( )( 1)
( )
( 1)
x a ax
f x
x
? ? ?
? ?
?
,
? ?
? ?
2
3
1
f x
x
? ? ?
?
,
2 32 3 4 ( 0)y x x x x? ? ? ? ?

4.
( 1)( 1 )
( ) ( 0)
x x a
f x x
x
? ? ?
? ? ? ,
? ?' ln 1f x x a? ? ? ,
? ?
2
ln 1
'
ln
x
f x
x
?
?

5.
2
2 2
e ( 2 )
( )
( )
x x x k
g x
x k
? ?
? ?
?
,

? ?? ?'( ) e 2 1xf x x ax? ? ?
1.2.3 简单复合函数的导数
1. (1) 8 12y x? ? ? ； (2)
1
2 1
y
x
? ?
?
；
(3) πcos(π )y x ?? ? ? ；
(4) 2sin(2 5) 4 cos(2 5)y x x x? ? ? ? ? ；
(5) 2e xy ?? ? ? ； (6) 0.05 10.05e xy ? ?? ? ? .
2.
2
2 2
2 2
'( )
1 (1 ) ( 1)(1 )
a ax a
f x
ax x ax x
? ?
? ? ?
? ? ? ?
( 1 0)ax? ?
3. （1）
2
1
cos x
（2）
1
sin
4
x? （3）
1
cos
2
x .
4. （1） 6 cos siny x x x x? ? ? ? ；
（2）
2
2
2 sin cos
sin
x x x x
y
x
?
? ? ；
（3） 2( ) 2 cosf x x x? ? ；
（4）
2
4 3
e 2 e e 2ex x x xx x x
y
x x
? ?
? ? ? .
5. （1）
2 2
1 1
2sin cos
1 2
sinx xy
xx x
? ? ? ? ?
（2） 4sin(2 )cos(2 ) 2sin(4 )
3 3 3
y x x x
? ? ??
? ? ? ? ? ?
（3）
sine cosxy x? ?
（4）
55 lnxy a a? ?

导数几何意义及求导习题课（1.1~1.2 复习）
1. (1) y′＝3x2－
2
3x
. (2)
1 1
(1 )
2
y =
xx
? ? ? .
(3) y′＝－
1
4
sinx. (4) y′＝
2
4
(1 )x?
.
2. (1)y′＝sin2x＋xsin2x；(2)y′＝
2
1
1 x?
.
3. A.
4. a = 4，. 4b ?
5. a =
1
2
.
6. 3 2 0x y? ? ? 或3 4 1 0x y? ? ? .
7. B.
8. 1.
9.
1
3
.
高中数学选修 2-2 课程讲义
- 59 -
10. （1）
2
1
e 1x
y? ?
?
；（2）
2
2
( )
1
f x
x
? ?
?
；
（3） 5
1
1 5 (1 )
x
y
x x x
? ? ?
? ?
；
（4） 2 2
2 2
4
(2 3) 1 ( )
2 3 1
x x
y x x
x x
? ? ? ? ?
? ?
.
11. (ln 1)xy x x? ? ? .
12.
2
1
(arcsin )
1
x ' =
x?
.
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 单调性
1. (1)函数在 R 上单调递增
(2)函数在(1,+∞)上单调递增；在(-∞,1)上单调递减
(3)函数在(0,π)上单调递减
(4)函数在(-∞,
1 17
2
? ?
)和(
1 17
2
? ?
,+∞)上
单调递增；在(
1 17
2
? ?
,
1 17
2
? ?
)上单调递减
2. (1)的图象是(B)，(2)的图象是(A)，
(3)的图象是(D)，(4)的图象是(C).
3. 函数 ? ?f x 的增区间是
1
( , )
2
?? ，减区间是
1
( , )
2
?? .
4. 函数 ? ?f x 的增区间是
5
( , )
3 3
? ?
，
减区间是
5
(0, ), ( ,2 )
3 3
? ?
? .

5. 函数 ? ?f x 的增区间是
1 5 1 5
( 0) (0 )
2 2
? ? ? ?
，， ， ，
减区间是
1 5 1 5
( , ) ( ,2), (2, )
2 2
? ? ? ?
?? ??， .
6. 函数 ? ?g x 的增区间是 ? ?1,?? ，
减区间是 ? ?,0 , (0,1)??
7. 函数 ? ?f x 的增区间是 (e, )?? ，减区间是 (0,e)
8. 函数 ? ?f x 的增区间是
1
( , )
2
?? ，减区间是
1
(0, )
2

9. 当 a>0,b>0 时，函数 ( )
b
f x ax
x
? ? 在 (0, )
b
a

上的单调递减，在 ( , )
b
a
?? 上单调递增；
当 a<0,b<0 时，函数 ( )
b
f x ax
x
? ? 在 (0, )
b
a
上
单调递增，在 ( , )
b
a
?? 上单调递减；
当 a<0,b>0 时，函数 ( )
b
f x ax
x
? ? 在 (0, )?? 上
单调递减；
当 a>0,b<0 时，函数 ( )
b
f x ax
x
? ? 在 (0, )?? 上
单调递增.
10.
20, 0, 0, 0, 3 0p q r s q pr? ? ? ? ? ? ，
有 3 个是正的.
11. 单调递减区间为 ( , 0)?? ，
2
( , )
5
?? ；
单调递增区间为
2
(0, )
5
.
抽象函数单调性与导数
1.A. 2.A. 3.A.
4.C . 5.C 6.B.
1.3.2 极大值与极小值
1. 极大值为
28
( 2)
3
f ? ? ，极小值为
4
(2)
3
f ? ? .
2. C. 3.A.
4.函数增区间 ( , 2)?? ，减区间 (2, )?? ；函数有极大值
点 2x ? .
5.
1
e ln 2
? 6.
1
2
? .
1.3.3 最大值与最小值
1. C.
2. f (x)在[ ]－
3
4
，
1
4 上的最小值为
1
( )
2
f ? ＝ln2＋
1
4
，
最大值为
1
( )
4
f ＝ln
7
2
＋
1
16
.
3. 3－1. 4.A.
5. 函数解析式为 f (x)＝
1
3
x3－4x＋4，
在区间 [ 3,5]? 上的最大值是
77
3
，最小值是
4
3
?
6. (1)最大值、最小值分别为
2e
(e) 1
2
f ? ? 、
2
1
)1( ?f ；
(2)设 3 2
2 1
( ) ( ) ( ) ln
3 2
h x g x f x x x x? ? ? ? ? ，
则
2
2 1 ( 1)(2 1)( ) 2 ( )
x x x
h' x x x
x x
? ? ?
? ? ? ? ，
因为 1x ? ，所以 ( ) 0h' x ? ，故函数 ( )h x 在区间
- 60 -
(1, )?? 上单调递增，
又因为
1
(1)
6
h ? ，所以当 1?x 时， ( ) (1) 0h x h? ? ，
即 2 3
1 2
ln
2 3
x x x? ? ，故函数 )(xf 的图象在函数
32( )
3
g x x? 图象的下方.
含参函数的单调区间、极值问题
1. [3，＋∞). 2. [-1，2].
3. 当 a≤0 时，函数 f (x)在(0,1)内单调递减，在(1,+∞)内
单调递增；
当
1
0
2
a? ? 时，函数 f (x)在(0,1)和
1
( , )
a
a
?
?? 内单调
递减，在
1
(1, )
a
a
?
内单调递增；
当
1
2
a ? 时，函数 f (x)在(0,+∞)内单调递减；
当
1
1
2
a? ? 时，函数 f (x)在
1
(0, )
a
a
?
和 (1, )?? 内单调
递减，在
1
( ,1)
a
a
?
内单调递增；
当 a≥1 时，函数 f (x)在(0,1)内单调递增，在(1,+∞)内单
调递减.
4. ①当 0a ? 时，函数 ( )f x 的增区间是 (1, )?? ，
减区间是 (0,1)，
1
( ) (1) 2
2
f x f a? ?? ?极小值 ，函数无极大值；
②当
1
0
2
a? ? 时，函数 ( )f x 的增区间是 (0, 2 )a ，
(1, )?? ，减区间是 (2 ,1)a ，
1
( ) (1) 2
2
f x f a? ? ? ?极小值 ，
2( ) (2 ) 2 2 2 ln 2f x f a a a a a? ? ? ? ?极大值 ；
③当
1
2
a ? 时，函数 ( )f x 的增区间是 (0, )?? ，
无减区间，函数 ( )f x 无极值；
④当
1
2
a ? 时，函数 ( )f x 的增区间是 (0,1)，(2 , )a ?? ，
减区间是 (1,2 )a ，
1
( ) (1) 2
2
f x f a? ?? ?极大值 ，
2( ) (2 ) 2 2 2 ln 2f x f a a a a a? ? ? ? ?极小值 .
5. 当 2a ? 时，函数 ( )f x 的增区间是
2(0, 2 )a a a? ? ， 2( 2 , )a a a? ? ?? ，
减区间是 2 2( 2 , 2 )a a a a a a? ? ? ? ；
当 0 2a? ? 时， ( )f x 的增区间是 (0, )?? ，无减区间；
当 0a ? 时，函数 ( )f x 的增区间是
2( 2 , )a a a? ? ?? ，减区间是 2(0, 2 )a a a? ? .
6.当 0a ? 时，函数 ( )f x 的增区间是 (0,2) ，减区间是
(2, )?? ；
当
1
0
2
a? ? 时，函 数 ( )f x 的增区间是 ( 0 , 2 )，
1
( , )
a
?? ，减区间是
1
(2, )
a
；
当
1
2
a ? 时，函数 ( )f x 的增区间是 (0, )?? ，无减区间；
当
1
2
a ? 时，函数 ( )f x 的增区间是
1
(0, )
a
， (2, )?? ；
减区间是
1
( , 2)
a
.
7. 当 0a ? 时，函数 ( )f x 的减区间是 (0, )?? ，无增区
间；
当 0 1a? ? 时，函数 ( )f x 的增区间是
21 1
(0, )
a
a
? ?
，
21 1
( , )
a
a
? ?
?? ，
减区间是
2 21 1 1 1
( , )
a a
a a
? ? ? ?
；
当 1a ? 时，函数 ( )f x 的增区间是 (0, )?? ，无减区间.
8. 当 01 ??? a 时，函数 )(xf 的递减区间是
),1( ??? ；
当 0?a 时，函数 )(xf 的递减区间是 )
1
,1(
a
? ，
递增区间是 ),
1
( ??
a
.
变量分离法巧解导数含参问题
1. （Ⅰ）最小值 (1) 1f ? ；
（Ⅱ） a 的取值范围是 1
4
a ? ? 或 0a ? ．
2. B. 3. [1，+∞).
4. （1）极大值为－4，极小值为
112
27
? ；
（2） 5a ? .
5. （1） 2a ? ；（2） 3a ? .
利用导数研究不等式问题
1. 令 ( ) ( 1) ln ( 0)H x x x x x? ? ? ? ，则
21 2 1 (2 1)( 1)
( ) 2 1 ( 0)
x x x x
H' x x x
x x x
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
则 x， ( )H' x ， ( )H x 的变化情况如下：
x (0，1) 1 (1，+∞)
( )H' x － 0 +
( )H x 减 极小 增
∴ min( ) (1) 0H x H? ? ，∴ ( 1) ln 0x x x? ? ? ，
即 ( 1) lnx x x? ? ，∵ ( 0)x ? ，∴x－1≥
ln x
x
.
高中数学选修 2-2 课程讲义
- 61 -
2. (Ⅰ) 3( ) 1h t t t? ? ? ? (Ⅱ) 1m ? .
3. （1）不能，理由如下：
2( ) 3 ( 1)f x ax x a? ? ? ? ? ，若 ( )f x 在 1x ? 处能取得极
小值，则 (1) 0 1f a? ? ? ? ，
当 1a ? ， ( ) ( 1)( 2)f x x x? ? ? ? ，可知函数 ? ?f x 在
1x ? 处取得极大值，矛盾.
（2） 2 0x? ? ? .
4. 令 2( ) 1 2 e xF x x? ? ? ，
则 2 2'( ) 2 2e 2(1 e )x xF x ? ? ? ? ，
∵ x > 0，∴
2e x > 1，∴ '( ) 0F x ? ，
∴F(x)在 (0, )?? 上是减函数，
又∵F(x)在 x = 0 处连续，∴F(x)在 [0, )?? 上是减函数.
∴对于任意 x > 0，总有 F(x) < F(0)=0，即
21 2 e 0xx? ? ? ，∴ 21 2 e xx? ? .
5. （1）令
2
( ) ln(1 )
2
x
f x x
x
? ? ?
?
，则
2
2 2
1 2( 2) 2
( ) 0( 0)
1 ( 2) (1 )( 2)
x x x
f ' x x
x x x x
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
∴当 0x ? 时， ( )f x 单调递增，
又∵ (0) 0f ? ，
∴ ( ) 0( 0)f x x? ? ，即
2
ln(1 ) ( 0)
2
x
x x
x
? ? ?
?
；
（2）∵ 19
2
9 1 9
( ) 19ln 2
10 10e
? ? ? ?
9 2 10 2
ln ln
10 19 9 19
? ? ? ? ?
1
2
1 9ln(1 )
19
2
9
?
? ? ?
?
，
由（1）可知
2
ln(1 ) ( 0)
2
x
x x
x
? ? ?
?
，
∴可证得 19
2
9 1
( )
10 e
? .
6. C.
7. （Ⅰ）
1
e
? ；（Ⅱ） 1a ? .
8.（Ⅰ）0；（Ⅱ）
1
2 3e
e
a ? ? ? ? .
9. （1）证明：令 ( ) ln( 1)f x x x? ? ? ，
1
( ) 1 ( 1)
1 1
x
f x x
x x
?
? ? ? ? ? ?
? ?
，
由 ( ) 0f x? ? 解 得 0x ? ， ( )f x 与 ( )f x? 在 区 间
( 1 , )? ? ?上的情况如下：
x ( 1, 0)? 0 (0, )??
( )f x? + 0 ?
( )f x ↗ 0 ↘
所以 ( )f x 在 ( 1, 0)? 上单调递增，在 (0, )?? 上单调递
减， max( ) (0) 0f x f? ? ，
即 ( ) ln( 1) 0f x x x? ? ? ? ， ln( 1)x x? ? ；
令
1
( ) 1 ln( 1)
1
g x x
x
? ? ? ?
?
，
1
( 0)
1
t t
x
? ?